Editing פרק 4 - עבודה ואנרגיה (section)

== דוגמאות ==
=== דוגמא - אנרגיה חשמלית אגורה בקבל לוחות ===
נתון המבנה באיור 2. מה האנרגיה האגורה בקבל?
[[File:Pic42.png|200px|thumb|left|איור 2]]

<math display="block">E = - \frac{V}{d} \hat z </math><math display="block">u_E = \iiint \frac{\epsilon_0}{2} |E|^2 dV  = \frac{\epsilon_0}{2} \left(\frac{V}{d}\right)^2 \cdot W \cdot l \cdot d </math>מצד שני:

<math display="block">u_E = \frac{1}{2} cV^2 </math>ולכן:

<math display="block">C = \epsilon_0 \frac{W \cdot l}{d} </math>

=== דוגמא - אנרגיה חשמלית אגורה בסליל מלבני ===
[[File:Pic43.png|200px|thumb|left|איור 3]]
באיור 3 מתואר משרן מלבני.
בתוך הסליל:

<math display="block">\vec H = H \hat z </math>מתנאי שפה מתקבל:

<math display="block">\hat n \times (0 - H \hat z) = \vec K  </math>אם עבר דרך הסליל זרם I, אז מתקיים:

<math display="block">I = K \cdot W </math>לכן:

<math display="block">
H = \frac{I}{W} \hat z \Rightarrow
u_M = \iiint \frac{\mu_0}{2} \left(\frac{I}{W}\right)^2 dV  = \frac{\mu_0}{2} \left(\frac{I}{W}\right)^2 \cdot W \cdot l \cdot d </math>
מצד שני:

<math display="block">u_M = \frac{1}{2} L I^2 </math>

לבסוף:

<math display="block">L = \mu_0 \frac{l\cdot d}{W} </math>

=== דוגמא - נגד גלילי ===
באיור 4 מתואר נגד גלילי. החומר ממנו עשוי הגליל הוא בעל מוליכות סגולית <math> \sigma </math>.
[[File:Pic44.png|200px|thumb|left|איור 4]]

בכל התחום בין הלוחות:

<math display="block">\vec E = \frac{J_0}{\sigma} \hat z </math>ולכן, מחוק אמפר השדה המגנטי הינו:

<math display="block">\vec H = \hat \varphi \cdot 
\begin{cases} \frac{J_0 r}{2}, & r<a \\ \frac{J_0 a^2}{2 r}, & r>a \end{cases} </math>נחשב את וקטור פוינטינג:

<math display="block">\vec S = \vec E \times \vec H = 
- \hat r \cdot \begin{cases} \frac{J_0^2 r}{2\sigma}, & r<a \\ \frac{J_0^2 a^2}{2\sigma r}, & r>a\end{cases} </math>צפיפות הספק ההולכה תהיה:

<math display="block">\vec E \cdot \vec J =
\begin{cases} \frac{J_0^2}{\sigma}, & r<a \\ { 0}, & r>a \end{cases} </math>נראה שאכן משפט פוינטינג מתקיים:

<math display="block">-\nabla \cdot \vec S=
\underbrace{\frac{\partial }{\partial t}(\epsilon_0/2 |E|^2 + \mu_0/2 |H|^2)}_{=0}
+ \vec E \cdot \vec J </math><math display="block">\Rightarrow -\nabla \cdot \vec S  = - \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r S_r) =
-\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} 
(\begin{cases} -\frac{J_0^2 r^2}{2\sigma}
, & r<a \\
-\frac{J_0^2 a^2}{2\sigma}, & r>a \end{cases}) =
\frac{1}{r} \cdot \begin{cases} \frac{J_0^2 r}{\sigma}
, & r<a \\
0, & r>a \end{cases} </math>בין הלוחות בתוך הנגד:

<math display="block">- \nabla \cdot \vec S = \frac{J_0^2}{\sigma} = \vec E \cdot \vec J = \frac{J_0^2}{\sigma} </math>ואכן, משפט פוינטינג מתקיים!

=== דוגמא תלויה בזמן - גל מישורי ===
השדות עבור גל מישורי כללי כלשהו נתונים ע"י
<math display="block">\vec E = \hat e E_0 cos(k \cdot r - \omega t) </math><math display="block">\vec H = \hat h \frac{E_0}{\eta} cos(k \cdot r - \omega t) </math><math display="block">\vec S = \vec E \times \vec H =
\underbrace{\hat e \times \hat h}_{\hat k} 
\frac{E_0^2}{\eta} cos^2(k\cdot r - wt) = \hat k \cdot \frac{E_0^2}{\eta} cos^2(k\cdot r - wt) </math><math display="block">-\nabla \cdot \vec S  = \hat k \cdot \hat k  \frac{E_0^2}{\eta} 2 \cos(k\cdot r - wt) \sin(k\cdot r - wt) =


\frac{k}{\eta} E_0^2 \cdot \sin(2(k\cdot r - wt)) </math>מכיוון שגל מישורי הוא פיתרון בתווך חסר מקורות:

<math display="block">\vec p = \vec E \cdot \vec J = 0 </math>צפיפויות האנרגיה יהיו:

<math display="block">u_E = \epsilon_0/2 |E|^2 = \epsilon_0/2 |E_0|^2 \cos^2(k\cdot r  - wt) </math><math display="block">u_M = \mu_0/2 |H|^2 = \epsilon_0/2 |\frac{E_0}{\eta}|^2 \cos^2(k\cdot r  - wt) </math>האם מתקיים משפט פוינטינג?

<math display="block">-\nabla \cdot S = \frac{\partial}{\partial t} (u_E+u_M) = 
E_0^2 (\epsilon_0/2 + \mu_0/2 \frac{1}{\eta^2}) \frac{\partial}{\partial t} \cos^2(k\cdot r - wt) = 
E_0^2 (\epsilon_0/2 + \mu_0/2 (\frac{1}{\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}})^2) \cdot
2 \cos(k\cdot r - wt) \sin(k \cdot r - wt) \cdot (-1) \cdot (-\omega) = 
\omega \epsilon_0 </math>התוצאה המקורית הייתה <math>\frac{k}{\eta} </math>.

האם אכן מתקיים:

<math display="block">\frac{k}{\eta} = \omega \epsilon_0 </math>

אכן כן!
=== דוגמא נוספת תלויה בזמן - קבל בקירוב קוואזי - סטטי ===
המערכת מתוארת באיור 5.
[[File:Pic45.png|200px|thumb|left|איור 5]]

<math display="block">\vec E ^{(0)} = -\frac{V_0}{d} \cos(\omega t) \hat z  </math><math display="block">\vec H^{(1)} = \frac{\epsilon_0 V_0}{d} \omega \sin(\omega t) \hat y \cdot (x- W/2)  </math>משפט פוינטינג בצורה האינטגרלית:

<math display="block">-\iint \vec S \cdot \hat n dS = \frac{\partial}{\partial t} (U_E+U_M) + P_{\text{transmission}}  </math><math display="block">\vec S = \vec E^{(0)} \times \vec H^{(1)} =
-\epsilon_0 (\frac{V_0}{d})^2 \cos(\omega t) \hat z \times
\omega \sin(\omega t) \cdot (x-W/2) \hat y =
-\hat x \epsilon_0 \frac{V_0}{d} (x-W/2) \omega 
\underbrace{\sin(\omega t) \cos(\omega t)}_{=\frac{sin(2\omega t)}{2}}  </math><math display="block">-\iint \vec S \cdot \hat n dS =
-[\vec S(x=0)\cdot (-\hat x)\cdot dL + \vec S(x=W)\cdot \hat x \cdot dL]=
-[\epsilon_0 (\frac{V_0}{d})^2 \frac{-W}{4} \omega \sin(2\omega t) \cdot dL\cdot 2]=
-\epsilon_0 (\frac{V_0}{d})^2 \frac{W}{2} \omega \sin(2\omega t)\cdot dL  </math><math display="block">U_E= \iiint u_E = (\frac{V_0}{d} \cos(\omega t))^2 \frac{\epsilon_0}{2}\cdot d\cdot L\cdot W  </math><math display="block">\frac{\partial U_E}{\partial t} = \frac{\epsilon_0}{2} (\frac{V_0}{d})^2 \cdot d \cdot L
\cdot W \cdot
\underbrace{2 \cos(\omega t) \sin(\omega t)}_{=\sin(2\omega t)}
\cdot( -1)  </math>מהו וקטור פוינטינג הממוצע?

<math display="block">\vec S_a= \frac{1}{T} \int_t^{t+T} \vec S dt \propto
\frac{1}{T} \int_t^{t+T} \sin(2\omega t) dt = 0  </math>מה בכל זאת האנרגיה המגנטית?

<math display="block">U_M = \iiint \mu_0/2 |H^{(1)}|^2 dV
=\underset{x=W}{\iiint} \mu_0/2 (\frac{\epsilon_0 V_0}{d} \cdot \omega \sin(\omega t)
(x-W/2))^2 dV =
dL \int_{x=0}^{x=W} \mu_0/2 (\frac{\epsilon_0 V_0}{d})^2 \omega^2 \sin^2(\omega t) \cdot (x-W/2)^2 dx
=...  </math><math display="block">...=
dL \cdot \mu_0/2 (\frac{\epsilon_0 V_0}{d})^2 \omega ^2 \sin^2(\omega t)
\frac{(x-W/2)^3}{3}|^W_0 =
2 dL \cdot \mu_0/2 (\frac{\epsilon_0 V_0}{2})^2 \omega^2 \sin^2(\omega t) \frac{W^3}{24} \cdot 2  </math>בפיתרון הקוואזי סטטי:

<math display="block">I = \frac{\epsilon_0 V_0}{d} \omega \sin(\omega t) \cdot W \cdot L  </math>ומצד שני:<math display="block">U_M = \frac{1}{2}
\underbrace{L}_{\text{inductance}} 
I^2  </math>

ולכן:

<math display="block">L = \frac{\mu_0 d W}{12 L}  </math>