Editing פרק 5 - אלקטרוסטטיקה (section)

=== דוגמא 2 - דיסקה טעונה בצפיפות אחידה ===
[[File:Pic506.png|170px|thumb|right|איור 6]]

באיור 6 נתונה דיסקה טעונה בצפיפות מטען משטחי אחידה <math> \eta </math>, ורדיוסה <math> R </math>. חשבו את הפוטנציאל הנוצר על ציר <math> z </math>.

<math display="block">
\vec r' = x' \hat x + y' \hat y = r' \cos \varphi' \hat x + r' \sin \varphi' \hat y,
\vec r = z \hat z,
dq = \eta dS' = \eta r' dr' d\varphi'
</math>
<math display="block">
\phi = \iint \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\eta dS'}{|\vec r - \vec r'|} =
\iint \frac{1}{4\pi \epsilon_0 } \frac{\eta r' dr' d \varphi'}{\sqrt{r'^2 \cos^2 \varphi'
    + r'^2 \sin^2 \varphi' + z^2
}} = 
</math>
<math display="block">
=\iint \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\eta r' dr' d \varphi'}{\sqrt{r'^2 + z'^2}} =

\underbrace{2\pi}_{\int_0^{2\pi} d\varphi'} 
\int \frac{\eta r'}{4\pi \epsilon_0 \cdot \sqrt{r'^2 + z'^2}} =

\frac{\eta}{2\epsilon_0} (\sqrt{R^2 + z^2}- |z|)

</math>

ניתן לראות [https://www.desmos.com/calculator/wu0yj0bmjh/ תרשים של הפונקציה] באיור (7).

* מקרה 1 - <math>|z| \gg R</math> (איור 8)
עבור מקרה זה נרשום:

<math display="block">\phi = \frac{\eta}{2\epsilon_0} (\sqrt{R^2+z^2} - |z|) = 
\frac{\eta}{2\epsilon_0} |z| (\sqrt{1+ \frac{R^2}{z^2}} - 1)
\approx
\frac{\eta}{2\epsilon_0} |z| \cdot (1 + 1/2 \frac{R^2}{|z|^2} - 1) = 
\frac{\eta R^2 }{\epsilon_0} \cdot \frac{1}{|z|} = 
\frac{\overbrace{\eta (\pi R^2)}^{Q_{disk}}}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{|z|} = 
\frac{Q_{disk}}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{|z|}</math>
רחוק מאוד מהדיסקה, היא נראית כמטען נקודתי, ולכן גם הפוטנציאל נראה כך. הפוטנציאל של מטען נקודתי נתון על ידי הקו השחור באיור 8.

* מקרה 2 - <math>|z| \ll R</math> (איור 9)
<math display="block">\eta = \frac{\eta}{2\epsilon_0} [\sqrt{R^2+z^2} - |z|] \approx 
\frac{\eta R}{2\epsilon_0} [\sqrt{1+(\frac{z}{R} } )^2 - \frac{|z|}{R}]
\approx \frac{\eta R}{2\epsilon_0} [1+1/2 \frac{z^2}{R^2} - \frac{|z|}{R}] \approx
\underbrace{\frac{\eta R}{2\epsilon_0}}_{Constant} -
\frac{\eta |z|}{2\epsilon_0}</math><math display="block">\Rightarrow
\phi= \begin{cases} -\frac{\eta z}{2\epsilon_0}, & z>0 \\ \frac{\eta z}{2\epsilon_0}, & z<0 \end{cases}
\Rightarrow
E_z = - \frac{\partial \phi}{\partial z} =
\begin{cases} \frac{\eta}{2\epsilon_0}, & z>0 \\ -\frac{\eta}{2\epsilon_0}, & z<0 \end{cases}</math>
קרוב מאוד לדיסקה (ביחס לרדיוסה), הדיסקה נראית כמשטח אינסופי, ולכן מתקבל פוטנציאל שמשתנה לינארית בקירוב, השתנות המתאימה לשדה האחיד שיוצר לוח אינסופי.
<gallery widths=300px heights=200px mode="packed">
File:Pic507.png|איור 7
File:Pic508.png|איור 8
File:Pic509.png|איור 9
</gallery>