Editing פרק 9 - מגנטוסטטיקה (section)

=== חוק Biot - Savart ===
[[File:Pic0903.png|200px|thumb|left|איור 3]]

הראינו כיצד לחשב את <math>\vec A</math>. כדי לקבל את השדה המגנטי עלינו להפעיל את אופרטור הרוטור על התוצאה. ניתן לעשות זאת על הביטוי האינטגרלי הכללי, ולקבל את חוק Biot - Savart (BS).

<math display="block">\vec A = \int \frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|} dV'
\Rightarrow
\vec H = \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \vec A = \frac{1}{4\pi} \nabla \times 
\int \frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|} dV'
=...</math><math display="block">...=
\frac{1}{4\pi}
\int \nabla \times \left(\frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|}\right) dV' = 
\frac{1}{4\pi} \int \left[
\nabla \left(\frac{1}{|r-r'|}\right) \times \vec J(r') +
\frac{1}{|r-r'|} \underbrace{\nabla \times \vec J}_
{=0 }
\right]  dV'</math>כאשר השתמשנו בזהות:

<math display="block">\nabla \times (\psi \vec F)
=
\nabla \psi \times \vec F +
\psi (\nabla \times \vec F)</math>ובנוסף איפסנו את <math>\nabla \times \vec J</math> מכך שהגזירה היא לפי קורדינטת הצופה, בעוד <math>\vec J</math> הוא פונקציה של קורדינטות המקור <math>\vec{r}'</math> בלבד.

נקבל:

<math display="block">\Rightarrow
\vec H = \frac{1}{4\pi} \int \nabla \left(\frac{1}{|r-r'|}\right) \times \vec J(\vec r') dV'
=
\frac{1}{4\pi} \int \left[
-\frac{1}{|r-r'|^2} \cdot \hat i_{r',r} \times \vec J(\vec r')
\right] dV'</math><math display="block">\text{Biot Savart law: }
\vec H =
\frac{1}{4\pi} \int 
\frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
 dV'</math>אם יש גם מקורות משטחיים או קווים:

<math display="block">\vec H =
\underbrace{\frac{1}{4\pi} \int 
\frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
 dV'}_{\text{Volume charges}} +
 \underbrace{\frac{1}{4\pi} \int 
\frac{\vec K(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
 dS'}_{\text{Surface charges}} +
 \underbrace{\frac{1}{4\pi} \int 
\frac{ I \vec{dl'}\times\hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
 }_{\text{Linear charges}}</math>המגבלה של החוק הנ"ל הוא שהוא שימושי רק כאשר ידועים כל הזרמים במרחב, וניתן לחשב את כולם כסופרפוזיציה.

'''ואם זה לא המצב?'''

במקרים רבים, ידועים לנו במפורש הזרמים רק על חלק מהמקורות. לדוגמא - טבעת זרם הנמצאת בקרבת גוף כלשהו. הזרם על הטבעת ידוע, אבל הזרמים שמתעוררים בגוף בתגובה לשדה שיוצרת הטבעת אינם ידועים מראש, ולכן לא ניתן לחשב את השדה באמצעות סופרפוזיציה. במקרה כזה, הפתרון המלא לשדה גם כן ניתן לייצוג כסכום של פתרון פרטי הנובע ישירות מהמקורות, ופתרון הומוגני שיווצר בהשפעת תנאי השפה ותכונות הגופים האחרים בבעיה.