Editing פרק 5 - אלקטרוסטטיקה (section)

== פוטנציאל חשמלי - המשוואה הדיפרנציאלית ==

עד כה, הדרך שהראנו לחישוב הפוטנציאל הייתה סופרפוזיציה. אבל בדרך כלל לא ידוע לנו כל פילוג המטענים בבעיה, אלא נתון שילוב כלשהו של מקורות + תנאי שפה.

בסופרפוזיציה לא הבאנו כלל בחשבון את קיומם של תנאי שפה.

לצורך כך, כדאי לחזור למשוואת הדיפרנציאלית המתארת את <math> \phi </math>:

<math display="block">\nabla \times E = 0 \Rightarrow
\vec E = - \vec \nabla \phi</math><math display="block">\vec \nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho \Rightarrow
\vec \nabla \cdot (\epsilon_0 (-\nabla \phi)) = \rho </math>ונקבל את משוואת פואסון:

<math display="block">\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}</math>

=== אופרטור הלפלאסיאן ===
קרטזיות:

<math display="block">\nabla^2 \phi=\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}</math>צילינדריות:

<math display="block">\nabla^2 \phi
={1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
 \left( \rho {\partial \phi \over \partial \rho} \right)
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 \phi \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 \phi \over \partial z^2 }</math>כדוריות:

<math display="block">\nabla^2 \phi
={1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
 \left( r^2 {\partial \phi \over \partial r} \right)
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
 \left( \sin \theta {\partial \phi \over \partial \theta} \right)
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 \phi \over \partial \varphi^2}</math>

=== פתרון פרטי ופתרון הומוגני  ===
[[File:Pic510.png|200px|thumb|left|איור 10]]

נגדיר תחום <math> \mathcal {D} </math> בו אנו מחשבים את הפוטנציאל (איור 10). את הפיתרון נחלק ל-2 חלקים:

<math display="block">\phi = \underbrace{\phi_p}_{\text{private solution}}  +
\underbrace{{\phi}_h}_{\text{homogenous solution}}</math>

* פיתרון פרטי <math> \phi_p </math> - נובע מפילוג המטען <math> \rho </math>, אבל לא חייב לקיים לקיים תנאי שפה.
* פתרון הומוגני <math> \phi_h </math> - מקיים את המשוואה חסרת המקורות (המשוואה ההומוגנית) ו"עוזר" לפתרון הפרטי לקיים את תנאי השפה
<math display="block">
\nabla^2(\phi_p + \phi_h) = - \frac{\rho}{\epsilon_0 }=
\underbrace{\nabla^2 \phi_p}_{-\frac{\rho}{\epsilon_0 }}
+
\nabla^2 \phi_h
</math>

<math display="block">
\phi(\partial D) = \phi_p (\partial D) + \phi_h (\partial D) = \phi_B 
</math>
כשמגיעים לפתור את הפיתרון ההומוגני, כבר יודעים פתרון פרטי (סופרפוזיציה, ניחוש, ואולי נתון).
מתוך ת.ש. לפוטנציאל הכולל, נקבל תנאי שפה ל- <math>\phi_h</math> (פתרון הומוגני):

<math display="block">\phi_h (\partial D) = \phi_B - \phi_p (\partial D)</math>

פיצלנו את הבעיה ל-2 בעיות שלרוב הן פשוטות יותר:

את הפיתרון הפרטי נמצא באמצעות סופרפוזיציה ללא התחשבות בתנאי השפה.

את הפיתרון ההומוגני נקבל על ידי תפירת תנאי שפה.

=== תנאי שפה של הפוטנציאל ===

* '''צפיפות מטען משטחית'''


<math display="block">\hat n\cdot \left(\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1 \right) = \eta 
\Rightarrow
\hat n\cdot \left(\epsilon_0 (-\nabla \phi_2) - \epsilon_0 (-\nabla \phi_1)\right) = \eta
\Rightarrow
-\epsilon_0 \frac{\partial \phi_2}{\partial n} - (- \epsilon_0 \frac{\partial \phi_1}{\partial n})=\eta </math>

* '''רציפות הפוטנציאל'''


<math display="block">
\phi_2 |_{\text{boundry}} = \phi_1 |_{\text{boundry}}</math><math display="block">\triangle \phi = -\int_{\text{very short path}} \vec E \cdot \vec {dl} \approx
\vec E \cdot \triangle \vec L 
</math>
מאחר ו-<math> \Delta\vec{L} </math> הוא בעל אורך קטן מאוד, בבעיות בהן השדה לא סינגולרי, אין בעיה והפוטנציאל חייב להיות רציף.

* '''גבול בין חומר מוליך לואקום'''
נשתמש בשימור מטען על השפה:
[[File:Pic511.png|200px|thumb|left|איור 11]]
<math display="block">\hat n \cdot (\underbrace{\vec J_2}
_{\text{the second area is vacuum }\rightarrow =0}
- \vec J_1) + \underbrace{\vec \nabla_S \vec K}_{=0} = - 
\underbrace{\frac{\partial \eta}{\partial t } }_{=0}</math><math display="block">\Rightarrow
\hat n \cdot \vec J_1 = 0 \Rightarrow
\hat n \cdot (\sigma \vec E_1) = 0
\Rightarrow
\hat n \cdot \sigma (-\vec \nabla \phi_2) = 0
\Rightarrow
\frac{\partial \phi_1}{\partial n} = 0</math>

==== שפה של PEC ====
מאחר ובתוך מוליך אידאלי השדה החשמלי מתאפס (איור 11), מתקיים:
<math display="block">\hat n \times (\vec E_{out} - \underbrace{\vec E_{in}}_{=0}) = 0
\Rightarrow
\hat n \times \vec E_{out}=0</math>ולכן השדה החשמלי המשיק לפני המוליך האידאלי מתאפס, ולכן השדה החשמלי בעל רכיב ניצב לפני המוליך בלבד.

<math display="block">\nabla^2 \phi = -\int 
\underbrace{\vec E \cdot \vec{dl}}_{\text{E and dl are prependicular to each other}}=0</math>השפה של מוליך אידאלי ← משטח שווה פוטנציאל <math>\phi</math>.