Editing פרק 9 - מגנטוסטטיקה (section)

== פתרון בעיית תנאי שפה עבור השדה המגנטי ==
=== תנאי שפה לשדה מגנטי בנוכחות מוליך אידאלי (PEC) ===
[[File:Pic0904.png|200px|thumb|left|איור 4]]
כדי לבנות באופן שיטתי צריך פיתרון לבעיה המלאה עבור מקורות סמוכים לגופים העשויים מוליך אידאלי,
נרשום את תנאי השפה עבור <math>\vec H</math> במקרה זה (איור 4). נזכור כי על פי הגדרה, מוליך אידאלי הוא חומר שבו השדות מתאפסים, כלומר <math>\vec{E}=0,\vec{H}=0</math>. 

<math display="block">\begin{cases} 
\hat n \times (\vec H_{out} - \vec H_{in}) = \vec K \Rightarrow
\hat n \times \vec H = \vec K
\\ 
\hat n \cdot (\mu_0 \vec H_{out} - \mu_0 \vec H_{in}) = 0 \Rightarrow
\hat n \cdot \mu_0 \vec H = 0
\end{cases}</math>לכן סמוך לשפת PEC, <math>\vec H</math> יהיה רק מקביל לשפה.

=== ניסוח בעיית השדה המגנטוסטטי ===
בעיית השדה המגנטי מתוארת ע"י (איור 5)
[[File:Pic0905.png|200px|thumb|left|איור 5]]
<math display="block">\begin{cases}

\nabla \times \vec H = \vec J
, & \hat n \times \vec H |_{\text{boundry}}=\vec K \\ 
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H) = 0
, & \hat n \cdot \vec H_{\text{boundry}} = 0
\end{cases}</math>

את הפיתרון נחלק ל-2 חלקים: פרטי והומוגני,

<math display="block">\vec H = \vec H_p + \vec H_h</math>

את הפתרון הפרטי נקבל ישירות מסופרפוזיציה באמצעות חוק ביו סבר

<math display="block">\vec H_p =
\frac{1}{4\pi} \int 
\frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
 dV'</math>

עבור הפתרון ההומוגני, עלינו להגדיר תחילה את המשוואות אותן הוא מקיים

<math display="block">
\nabla \times (\vec H_h) = \nabla \times (\vec H - \vec H_p) = 0
</math>
משוואה זו מתקיימת מכיוון שצפיפות הזרם בבעיה היא בדיוק צפיפות הזרם אותה לקחנו בחשבון כאשר חישבנו את הפתרון הפרטי.
<math display="block">
\nabla \cdot (\vec H_h) = \nabla \cdot (\vec H - \vec H_p) = 0 
</math>
גם הפתרון הפרטי וגם השדה המלא הם חסרי דיברגנץ.

תנאי השפה:

<math display="block">\hat n \cdot (\mu_0 \vec H)|_{\text{boundry}} = 
\hat n (\mu_0 \vec H_p + \mu_0 \vec H_h) = 0</math><math display="block">\Rightarrow
\hat n \cdot \mu_0 \vec H_h = 
\underbrace{-\hat n \cdot \mu_0 \vec H_p}_{\text{Already known}}</math>
נשים לב ש <math>\vec H_h</math> - החלק ההומוגני של השדה המגנטי - מקיים את אותן משוואות שמקיים השדה האלקטרוסטטי! ולכן - אפשר להגדיר את הפוטנציאל המגנטי הסקלרי:

<math display="block">
\nabla\times\vec H_h=0 \Rightarrow \vec H_h \equiv -\nabla \phi_m</math>
כאשר <math>\phi_m</math> הוא הפוטנציאל המגנטי '''הסקלרי'''/
נציב בחוק גאוס המגנטי:

<math display="block">\begin{cases} 
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H_h)=
\nabla \cdot (\mu_0 (-\nabla \phi_m)) = \nabla^2 \phi_m = 0
\\ 
\hat n \cdot H_h = -\frac{\partial \phi_m}{\partial n} = - \hat n \cdot H_p 

\end{cases}</math>וקיבלנו את משוואת לפלאס עבור הפוטנציאל המגנטי הסקלרי. עובדה זו כמובן מעודדת מאוד, מאחר ולמדנו מגוון רחב של כלים מתמטיים לפתרון משוואת לפלס. 

חשוב לציין ששימוש בפוטנציאל מגנטי סקלרי מוגבל לבעיות מגנטוסטטיות בלבד, ומאחר ואם יש שינויים בזמן, אז גם באיזור בו מתקיים <math>\vec{J}=0</math> יתקיים <math>\nabla\times\vec{H}=-\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}</math>, כלומר השדה המגנטי לא יהיה שדה משמר (באופן אופן שבו זה קורה בבעיות אלקטרוסטטיות).

==== הערה חשובה - תחומים פשוטי קשר ====
בעצם, מתוך ההבנה שאנו מחשבים את השדה המגנטי בתחום שבו <math>\vec{J}=0</math> (מאחר וניסחנו את הבעיה עבור הפתרון הומוגני) קיבלנו שהשדה המגנטי הוא שדה משמר, ולכן ניתן לרשום אותו הגרדיאנט של פונקציית פוטנציאל סקלרית. האם זה תמיד המצב כאשר פותרים שדה באיזור חסר זרמים? יש להזהר מעט עם המסקנה הזו. נחזור להגדרה הפורמלית עבור שדה משמר - שדה שאינטגרל העבודה עליו לא תלוי במסלול, אלא רק בנקודת ההתחלה והסיום. באופן שקול, ניתן לקבל שכל שדה שמקיים
<math display="block">
\oint \vec{F}\cdot\vec{d\ell}=0</math>
הוא שדה משמר. תנאי זה שקול לתנאי הדיפרנציאלי <math>\nabla\cdot\vec{F}=0 </math> אך ורק כאשר מדובר בתחום פשוט קשר. 
כעת, אם נחזור למשוואות מקסוול האינטגרליות בסטטיקה, נראה שמתקיים 


<math display="block">\oint \vec H \cdot \vec{dl} = I</math>
<math display="block">\oint \vec E \cdot \vec{dl} = 0</math>

כלומר, השדה חשמלי הסטטי הוא תמיד שדה משמר, אך השדה המגנטי הסטטי יכול להיות לא משמר, גם כאשר באיזור שבו אנחנו מסתכלים לא זורמים זרמים. זה יקרה כאשר יש באיזור שבו אנחנו מסתכלים "חור", ודרך חור סה"כ חולף נטו זרם, כך שאם נקיף את ה"חור" במסלול אינטגרציה ונבצע אינטגרציה על השדה המגנטי, נקבל תוצאה שונה מאפס. ולכן, עלינו להזהר כאשר אנחנו עוסקים בתחומים שאין פשוטי קשר, מכיוון שיכולים לחלוף "דרכם" זרמים.
נסתכל על הדוגמא המוכרת של תיל אינסופי (איור 6). מחוץ לתיל מתקיים <math>\vec{J}=0 </math>. את השדה בבעיה זו אנו יודעים לחשב  מתוך חוק אמפר האינטגרלי ולקבל:
[[File:Pic0906.png|100px|thumb|left|איור 6]]
<math display="block">\vec H = \frac{I}{2\pi} \hat \varphi  </math>
ולכן, פורמלית ניתן לחשוב שאפשר להגדיר פונקציית פוטנציאל:
<math display="block">\phi_m = \frac{I}{2\pi} \varphi </math>, ואם נבצע עליה גרדיאנט אכן נקבל את השדה הנכון. אבל, מאחר והתחום מחוץ לתיל אינו תחום פשוט קשר, עלולה להתעורר כאן בעייתיות, בפרט כשברור לנו שב"חור" שיש בתחום זורם זרם. בעייתיות זו באה לידי ביטוי כאן בעובדה שזו לא פונקציה חד - ערכית ולמעשה:
<math display="block">\phi(2\pi) - \phi(0) = \oint \vec H \cdot \vec{dl} = I  </math>'''מתי לא תהיה בעיה?'''כאשר התחום שבו מתקיים <math>\nabla \times \vec H=0</math> הוא תחום פשוט קשר.

=== דוגמא 1 - כדור PEC בשדה מגנטי ===
[[File:Pic0907.png|200px|thumb|left|איור 7]]
כדור שרדיוסו <math>a</math> עשוי מוליך אידאלי, ומוכנס לתחום שבו שורר שדה מגנטי אחיד <math>H_0\hat{z} </math>, כמוראה באיור 7. עלינו לפתור את <math>\vec H </math> מחוץ לכדור.

מאחר ואין זרמים מחוץ לכדור:

<math display="block">\nabla \times \vec H = 0
\Rightarrow
\vec H = -\nabla \phi_m </math>הפוטנציאל <math>\phi_m </math> מקיים:

<math display="block">\nabla ^2 \phi_m=0 </math>תנאי השפה הינם:

<math display="block">\begin{cases} 
\hat n \cdot \mu_0 \vec H = 0 \Rightarrow
\hat r \cdot \mu_0 (-\nabla \phi_m) = 0 \Rightarrow 
\frac{\partial \phi_m}{\partial r}|_{r=a} = 0
\\ 
\phi_m(r \gg a) = -H_0 z = -H_0 r \cos\theta
\end{cases} </math>כדי לקיים את תנאי השפה:

<math display="block">\phi_m = (Ar + \frac{B}{r^2}) 
\underbrace{\cos\theta}_{=P_1^0 (\cos\theta)}  </math>נציב בתנאי השפה:

<math display="block">\begin{cases} 
A-\frac{2B}{a^3} = 0 \Rightarrow B = \frac{a^3}{2} A
\\ 
\phi_m (r \gg a) \sim Ar\cos\theta = - H_0 r \cos\theta
\end{cases}  </math>נקבל:

<math display="block">A=-H_0, B=-\frac{H_0}{2} a^3  </math>בסוף, הפוטנציאל המגנטי יהיה:

<math display="block">\phi_m = -H_0 (r + \frac{a^3}{2r^2}) \cos\theta 
=
\underbrace{-H_0 r \cos\theta}_{\text{Stimulated potential}} 
\underbrace{- H_0 \frac{a^3}{2r^2} \cos\theta}_{\text{Reaction potential} }   </math>'''מה השדה המגנטי?'''

<math display="block">\vec H = - \nabla \phi_m 
=
H_0 \hat z - 
\frac{H_0 a^3}{2}\underbrace{\frac{1}{r^3} [2\cos\theta \hat r+ \sin\theta \hat \theta]}
_{=-\nabla \cdot (\frac{\cos\theta}{r^2})}  </math>
כאשר אנחנו מזהים את המבנה הדיפולי של שדה התגובה (תרשים של השדה מלא מוצג באיור 8).

מה מומנט הדיפול המגנטי השקול שיוצר את שדה התגובה?

<math display="block">\frac{m}{4\pi} = -\frac{H_0 a^3}{2}
\Rightarrow
m = \underbrace{- 2\pi a^3}_{\text{Magnetic polarizability of PEC ball}} 
\cdot 
\underbrace{H_0}_{\text{Stimulated}}  </math>

קיבלנו <math>\alpha_m = -2\pi a^3 \equiv -\frac{3}{2} V  </math>, בעוד במקרה החשמלי קיבלנו <math>\alpha_e = \epsilon_0 \cdot 4\pi a^3 \equiv \epsilon_0 \cdot 3V  </math>. מעבר לעובדה שיש הבדל בערך עצמו, הסימנים הם שונים. בפרט, הקיטוביות המגנטית היא שלילית - כלומר נוצר דיפול בעל מומנט '''הפוך''' לכיוון השדה המעורר.

אינטואיציה לכך ניתן לקבל מההתנהגות השדות ההפוכה שראינו בקרבת טבעת זרם ודיפול מטען (איור 2). התפלגות המקורות המושרים על הכדור (גם במקרה החשמלי וגם במקרה המגנטי) נוצרת כך ששדה התגובה '''בתוך הכדור''' יקזז את השדה החיצוני, כדי שנקבל שערכו אפס בתוך ה-PEC. מאחר ומטענים חשמליים יוצרים בקרבתם שדה חשמלי הפוך לכיוון מומנט הדיפול, מומנט הדיפול יווצר עם כיוון השדה החיצוני כדי לקבל את הקיזוז הדרוש. בתגובה לשדה מגנטי קורה ההיפך - סמוך לטבעת השדה המגנטי שנוצר הוא באותו כיוון של הדיפול שנצפה מבחוץ, ולכן הדיפול חייב להווצר הפוך לשדה החיצוני כדי לקבל את הקיזוז הדרוש בתוך הכדור.

* האם הפוטנציאל <math>\phi_m </math> רציף?
[[File:Pic0908.png|200px|thumb|left|איור 8 - השדה בבעיה]]

בתוך הכדור <math>\vec H = 0  </math> ולכן <math>\phi_m = \text{Const}  </math>

על שפת הכדור, מבחוץ: <math>\phi_m = -H_0 \frac{3}{2} \cdot a \cos\theta   </math>

ולכן הפוטנציאל לא רציף. מדוע זה קורה כאן, בניגוד למקרה החשמלי? נזכור, שרציפות הפוטנציאל נובעת מרציפות הרכיב המשיקי של השדה. עבור השדה החשמלי - רכיב זה תמיד רציף. לעומת זאת עבור השדה המגנטי, כאשר מתעורר זרם משטחי, הרכיב המשיקי אינו רציף. ולכן, כאן ניתן לצפות מראש לחוסר רציפות הפוטנציאל, מאחר וחייבים להתעורר זרמים על שפת הכדור, שבתורם יוצרים את שדה התגובה הדיפולי.

* מה הזרם על שפת הכדור?

<math display="block">\vec K = \hat r \times \vec H |_{r=a} = \hat r \times
(H_0 \hat z - \frac{H_0 a^3}{2 a^3} \sin\theta \hat \theta) = -\frac{3}{2} H_0 \sin\theta \hat \varphi  </math>אם נסכם את מומנט הדיפול של "שכבות" הכדור, נקבל סך הכל את מומנט הדיפול השקול.

=== דוגמא 2 - גליל PEC בשדה מגנטי אחיד  ===
[[File:Pic0909.png|200px|thumb|left|איור 9]]
נתון גליל שרדיוסו <math>a </math> ונמצא בשדה מגנטי חיצוני אחיד, כמוראה באיור 9. תנאי השפה דומים מאוד לדוגמא הקודמת.עם זאת, נשים לב כי כעת אנחנו מחשבים את השדה בתחום שאינו פשוט קשר. ננסה לפתור, ולוודא בסוף שאכן קיבלנו שסך הזרמים בגליל מתאפסים. 

ניתן לפתור עם פוטנציאל סקלרי ולקבל:

<math display="block">\phi_{m,s} = H_0 \frac{a^2}{r}\sin\varphi  </math><math display="block">\phi_m = \phi_{m,s} + \phi_{ext}  </math>ולכן:

<math display="block">\vec K = -2H_0 \cos\varphi \hat z  </math>אם נסתכל על חתך הגליל, סך הזרם החוצה את החתך הוא אפס!

ולכן - לא הייתה בעיה בהגדרה של <math>\phi_m </math>.

נשווה מקדמים:<math display="block">\frac{P_{2D}}{2\pi} = H_0 a^2
\Rightarrow
P_{2D} = H_0 \cdot (2\pi a^2) = (-H_0) \cdot (-2\pi a^2)  </math><math display="block">\Rightarrow \alpha_{2D} = -2\pi a^2 = -2S  </math><math display="block">\vec H_s = -\frac{H_0 a^2}{r^2} \cdot [-\sin\varphi \hat r +
\cos\varphi \hat \varphi]  </math><math display="block">H_{2D} = \frac{Id}{2\pi r^2} (\sin\varphi \hat r - \cos\varphi \hat \varphi)  </math>

=== שיקופים ===

בדומה לבעיות שדה חשמלי, גם במקרה של שדה מגנטי ניתן לפתור באמצעות שיקופים עבור בעיות של מקורות בסמוך למשטחים אינסופיים עשויים מוליך אידאלי. באיור 10 מוצג סיכום של פתרון שיקוף עבור דיפולים חשמליים ומגנטיים.

[[File:c9-images.png|700px|thumb|center|איור 10]]