Editing פרק 0 - מבוא מתמטי

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
בפרק 0 של הקורס [[שדות אלקטרומגנטיים]] נחזור ונגדיר מושגים מתמטיים חשובים, שיידרשו להבנת החומר בקורס.

== מערכת קורדינטות אורתוגונלית ==
נגדיר 3 פונקציות
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
u_1(x,y,z),\;u_2(x,y,z),\;u_3(x,y,z)
</math>
</div>
אם המשטחים שווי הערך (כלומר המשטחים המקיימים את המשוואות <math> u_i(x,y,z)=u_{i,0} </math>) ניצבים זה לזה בכל נקודה ונקודה, הפונקציות מגדירות מערכת קורדינטות אורתוגונלית, והמשוואות הנ"ל מגדירות משטחים שווי קורדינטה. וקטורי היחידה בכיוון הקורדינטות, המסומנים <math> \hat{u_i} </math> מוגדרים בכיוון הגדלת הקורדינטה <math> u_i </math> כאשר הקורדינטות האחרות קבועות.
[[File:C0f1.png|left|thumb|תרשים 1 - משטחים שווי קורדינטה במערכת אורתוגונלית כללית]]

=== יחסים מטריים ===
אם נניח שניתן להפוך את היחסים, ניתן לרשום את וקטור המיקום על ידי
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\vec{r}=x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}=x(u_1,u_2,u_3)\hat{x}+y(u_1,u_2,u_3)\hat{y}+z(u_1,u_2,u_3)\hat{z}
</math>
</div>
שינוי קטן בוקטור המיקום הנובע מצעד אינפיטסימלי בכיוון הקורדינטה <math> u_1 </math> ניתן לרשום על ידי <math> \vec{dr}=h_1du_1\hat{u_1} </math> כאשר <math> h_1 </math> הוא '''היחס המטרי''' - היחס הקושר בין ערך השנוי בקורדינטה (<math> du_1 </math>), לגודל הצעד ה"אמיתי" שעשינו במרחב. 
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\vec{dr}=h_1du_1\widehat{u_1}=\left|\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_1}\right|du_1\widehat{u_1}=\left|\frac{\partial x}{\partial u_1}\hat{x}+\frac{\partial y}{\partial u_1}\hat{y}+\frac{\partial z}{\partial u_1}\hat{z}\right| \Longrightarrow h_1=\left[ \left(\frac{\partial x}{\partial u_1}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial u_1}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial u_1}\right)^2   \right]^{1/2}
</math>
</div>
את היחסים המטריים <math> h_2,h_3 </math> ניתן להגדיר באופן אנלוגי לחלוטין, ומכאן ניתן לרשום עבור צעד כללי כלשהו בוקטור המיקום
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\vec{dr}=h_1du_1\widehat{u_1}+h_2du_2\widehat{u_2}+h_3du_3\widehat{u_3}
</math>
</div>
וניתן לרשום את אלמנטי האורך בכיוון כל אחת מהקורדינטות באמצעות קשרים אלו - <math> d\ell_1=h_1du_1,\; d\ell_2=h_2du_2,\; d\ell_3=h_3du_3 </math>.

באופן דומה ניתן להראות ששטחו של אלמנט שטח קטן שנוצר כתוצאה מתוספת אינפיטסימלית לקורדינטות <math> u_2,u_3 </math> לדוגמא יהיה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
dS=h_2du_2h_3du_3=d\ell_2d\ell_3
</math>
</div>
כשטחו של מלבן קטן בעל צלעות <math> d\ell_2,d\ell_3 </math> (זה חייב להיות מלבן מאחר ומדובר במערכת קורדינטות אורתוגונלית). עבור אלמנט נפח נקבל
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
dV=h_1du_1h_2du_2h_3du_3=d\ell_1d\ell_2d\ell_3
</math>
</div>

=== דוגמא - קורדינטות גליליות ===
קורדינטות גליליות מוגדרות על ידי הטרנספורמציה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>\left\{ \begin{matrix} x=r\cos\varphi \\ y=r\sin\varphi \\ z=z \end{matrix} \right.</math>
</div>
נחשב את היחסים המטריים ונקבל
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\begin{matrix} 
h_r=\left[ \left( \frac{\partial x}{\partial r} \right)^2+\left( \frac{\partial y}{\partial r} \right)^2+\left( \frac{\partial z}{\partial r} \right)^2 \right]^{1/2}=1\;\Rightarrow\;d\ell_r=dr \\
h_{\varphi}=\left[ \left( \frac{\partial x}{\partial \varphi} \right)^2+\left( \frac{\partial y}{\partial \varphi} \right)^2+\left( \frac{\partial z}{\partial \varphi} \right)^2 \right]^{1/2}=r\;\Rightarrow\;d\ell_{\varphi}=rd\varphi \\ 
h_z=1\;\Rightarrow\;d\ell_z=dz
\end{matrix}
</math>
</div>

== הגדרות האופרטורים הדיפרנציאליים ==

=== הגדרת הדיברגנץ ===
[[File:C0f2.jpg|left|thumb|תרשים 2]]
על מנת לקבל אינטואיציה לגבי הגדרת הדיברגנץ של שדה וקטורי בנקודה מסוימת, אינטואיטיבי להתחיל ממשפט הדיברגנץ. אמנם יש כאן שאלה של "ביצה ותרנגולת", אך בשל ההיכרות של רבים עם המשפט, והשלכותיו, זה אינטואיטיבי מאוד להתחיל ממנו (תרשים 2)
<math>
\iiint_V div(\vec{F})dV=\iint_{S=\partial V} \vec{F}\cdot\vec{da}
</math>
כלומר, סכימת הדיברגנץ בנפח נתון שקולה לחישוב שטף השדה החוצה את המעטפת. מכאן, אם ניקח נפח קטן מאוד <math> dV </math>, ונניח שדיברגנץ השדה הוא פונקציה "חלקה" שלא משתנה משמעותית אם הנפח קטן מאוד, נקבל <math> div(\vec{F})_{\vec{r}}dV=\iint_{S=\partial V} \vec{F}\cdot\vec{da} </math> ומכאן נוכל לקבל את ההגדרה הפורמלית
<div id="def_div" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\left. div(\vec{F})\right|_{\vec{r}}=\lim_{V\rightarrow 0}\frac{1}{V}\iint_{S=\partial V}\vec{F}\cdot\vec{da}
</math>
</div>
מעבר לחשיבות שבהגדרה הפורמלית, הגדרה זו תהיה שימושית עבורנו כאשר נרצה לקבל את הייצוג הדיפרנציאלי למשוואות מקסוול מתוך הייצוג האינטגרלי. אם נרצה לקבל ביטויים ספציפיים למערכת קורדינטות מסוימת, עלינו לבחור את הקורדינטות ולחשב את האינטגרל המופיע בהגדרה, בקירוב של אינטגרציה על אלמנט נפח קטן מאוד סביב הנקודה. בתרשים 2, מימין, מתואר אלמנט נפח כללי במערכת קורדינטות. אם נסתכל על הדופן ה"קדמית" וה"אחורית" ונניח שהן נמצאות בקורדינטות <math> u_1,u_1+du_1 </math> בהתאמה, התרומה שלהן לאגף ימין בהגדרת הדיברגנץ תהיה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\left.\vec{F}(u_1)\cdot(-\widehat{u_1})d\ell_2d\ell_3\right|_{u_1}+\left.\vec{F}(u_1+du_1)\cdot\widehat{u_1}d\ell_2d\ell_3\right|_{u_1+du_1}
</math>
</div>
בנוסף, נזכור שנפח האלמנט הוא <math> dV=d\ell_1d\ell_2d\ell_3 </math>, ולכן, לאחר מספר צעדים אלגבריים פשוטים, התרומה לדיברגנץ תהיה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\frac{1}{h_1h_2h_3}\frac{\partial}{\partial u_1}\left(h_2h_3\vec{F}\cdot\widehat{u_1}\right)
</math>
</div>
ובאופן דומה ניתן לחשב את התרומה מכל שאר הפאות. פעמים רבות רישום הדיברגנץ מבוצע על ידי אופרטור הנבלה הוקטורי. סה"כ נקבל
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
div\left(\vec{F}\right)=\vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left[ \frac{\partial}{\partial u_1}\left(h_2h_3\vec{F}\cdot\widehat{u_1}\right)+\frac{\partial}{\partial u_2}\left(h_1h_3\vec{F}\cdot\widehat{u_2}\right)+\frac{\partial}{\partial u_3}\left(h_1h_2\vec{F}\cdot\widehat{u_3}\right) \right]
</math>
</div>
בדף הנוסחאות של הקורס (שגם יחולק בבחינה) ניתן למצוא ביטויים אלו רשומים עבור שלוש מערכות הקורדינטות הנפוצות ביותר - קרטזית, גלילית, וכדורית.

=== הגדרת הרוטור (Curl) ===
נתחיל גם כאן במשפט האינטגרלי המתאים - משפט סטוקס. לצורך כך נגדיר משטח <math> S </math>, ואת שפתו של המשטח <math> C=\partial S </math> (תרשים 3 משמאל)
[[File:C0f3b.jpg|left|thumb|תרשים 3]]
<div id="def_rot" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}=\iint_S curl\left(\vec{F}\right)\cdot\hat{n}da
</math>
</div>
נשים לב כי כאן ההגדרה תהיה מעט יותר עדינה, שכן המשפט האינטגרלי קושר בין השדה ובין '''ההיטל''' של הרוטור בכיוון הניצב למשטח. אם נניח כי המשטח שנבחר הוא אלמנט שטח קטן מאוד סביב נקודה מסוימת, נוכל לפשט את אגף ימין של משפט סטוקס
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}=\hat{n}\cdot curl(\vec{F})da
</math>
</div>
כיצד לבחור את <math> \hat{n} </math> בצורה נכונה? כיצד לבחור את הלולאה?

אם אנחנו רוצים הגדרה כללית, שאינה קשורה לבחירה מסוימת של מערכת הקורדינטות, אז מהביטוי ניתן לראות שכאשר <math> \hat{n} </math> הוא בדיוק בכיוון הרוטור, ההיטל הוא בעל גודל מקסימלי, ולכן נוכל לרשום את ההגדרה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
curl(\vec{F})=\lim_{S\rightarrow 0}\frac{1}{S}\hat{n}\left[\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}\right]_{max}
</math>
</div>
אם בחרנו מערכת קורדינטות כללית כלשהי, <math> u_1,u_2,u_3 </math> אז ניתן לבצע את האינטגרציה באופן מפורש (תרשים 3, ימין), עבור כל אחד מרכיבי <math> \widehat{u_1},\widehat{u_2},\widehat{u_3} </math>. לדוגמא, עבור הרכיב <math> \widehat{u_1} </math>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}=\left[ \int_{AB}+\int_{CD} \right]+\left[ \int_{BC}+\int_{DA} \right]...=\frac{1}{h_2h_3}\left[-\frac{\partial}{\partial u_3}\left(h_2F_{u_2}\right) +\frac{\partial}{\partial u_2}\left(h_3F_{u_3}\right) \right]
</math>
</div>
באופן דומה ניתן לבצע את האינטגרציה עבור רכיבים הרוטור האחרים. בדף הנוסחאות של הקורס ביטויים אלו נתונים עבור שלוש מערכת הקורדינטות הנפוצות. גם פעולה זו נהוג להציג באמצעות אופרטור הנבלה - <math> curl(\vec{F})=\nabla\times\vec{F} </math>.

== דיברגנץ משטחי ==
נגדיר משטח באמצעות הפרמטריזציה הבאה:

<math display="block">S=[X(u,v),Y(u,v),Z(u,v)]</math>המקדמים המטריים של המשטח יכולים להיות מוגדרים ע"י:

<math display="block">\begin{cases} 
S+dS_u = [X(u+du,v),Y(u+du,v),Z(u+du,v)]
\\ 
S+dS_v = [X(u,v+dv),Y(u,v+dv),Z(u,v+dv)]
\end{cases}</math><math display="block">\Rightarrow

\begin{cases} 
dS_u = [X(u+du,v) - X(u,v),Y(u+du,v) - Y(u,v),Z(u+du,v) - Z(u,v)]

\\ 
dS_v = [X(u,v+dv) - X(u,v),Y(u,v+dv) - Y(u,v),Z(u,v+dv) - Z(u,v)]
\end{cases}</math>אם נשאיף את <math>du,dv</math> לאפס, נקבל:

<math display="block">\begin{cases} 
dS_u = [\frac{\partial X}{\partial u},\frac{\partial Y}{\partial u},\frac{\partial Z}{\partial u}] du
\\
dS_v = [\frac{\partial X}{\partial v},\frac{\partial Y}{\partial v},\frac{\partial Z}{\partial v}] dv
\end{cases}
</math>כעת נגדיר את הפרמטרים המטריים:

<math display="block">\begin{cases} 
||dS_u||=h_u du 
\\
||dS_v||=h_v dv 
\end{cases}

\Rightarrow

\begin{cases} 
h_u = \sqrt{(\frac{\partial X}{\partial u})^2 + (\frac{\partial Y}{\partial u})^2 + (\frac{\partial Z}{\partial u})^2 }
\\ 
h_v = \sqrt{(\frac{\partial X}{\partial v})^2 + (\frac{\partial Y}{\partial v})^2 + (\frac{\partial Z}{\partial v})^2 }

\end{cases}

</math>כעת, נגדיר את השדה הוקטורי על השפה:

<math display="block">F=F_u(u,v) \hat u + F_v(u,v) \hat v</math>
[[File:Wiki0New.png|500px|thumb|center|תרשים 4 - השטח האינפיטיסימלי הנוצר ע"י du,dv]]
כעת נחשב את השטף העובר דרך משטח סופי:

<math display="block">\psi = \oint_l F \cdot \hat n_l dl = </math><math display="block">=F_u(u+du,v)h_v(u+du,v)dv - F_u(u,v)h_v(u,v)dv + 
F_v(u,v+dv)h_u(u,v+dv)du - F_v - F_v(u,v)h_u(u,v)du</math>אם נשאיף את <math>du,dv</math> לאפס, נקבל:

<math display="block">\psi = \oint_l F\cdot \hat n_l dl = 
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_u) dudv + 
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_v) dudv =</math><math display="block">=
\underbrace{
\frac{1}{h_u h_v} [\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_v)] h_u
}_{\equiv \nabla_s \cdot F}
\underbrace{du h_v dv}_{ds}</math>כעת, נסתכל על משטחים בעלי קורדינטה שווה <math>w=const</math>, בהשוואה לדיברגנט התלת מימדי:

<math display="block">\begin{cases} 
\nabla_s \cdot F = 
\frac{1}{h_u h_v}
[\frac{\partial}{\partial u} (h_v F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_v)]
\\ 
\nabla \cdot F = \frac{1}{h_u h_v h_w}
[\frac{\partial}{\partial u} (h_v h_w F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_w F_v)
+ \frac{\partial}{\partial w}(h_u h_v F_w)]
\end{cases}</math>כעת נוכל לראות כי התנאי ההכרחי לחישוב הדיברגנט המשטחי הוא "איפוס" את הקורדינטה השווה בדיברגנט התלת מימדי:

<math display="block">h_w=const</math>תנאי זה מתקיים, למשל על המשטח של ספרה, אך לא על חרוט.
</div>