Editing פרק 3א - מבוא לקווזיסטטיקה - גלים

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== מבוא ==
משוואות מקסוול שקיבלנו בהרצאות הקודמות הינן:

<math display="block">(1)\text{ } \nabla \times E = -\mu_0 \frac{\partial H}{\partial t}</math><math display="block">(2)\text{ }\nabla \times H = \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t} + J</math><math display="block">(3)\text{ }\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec{E}) = \rho</math><math display="block">(4) \text{ }\nabla \cdot (\mu_0 \vec{H}) = 0</math>
נשים לב כי זו מערכת משוואות  בה השדות הן פונקציה של 4 משתנים - וקטור המיקום <math> \vec{r} </math> והזמן <math> t </math>. המשוואות מצומדות זו לזו, כלומר - הפעלת שדה מגנטי משתנה בזמן יוצרת שדה חשמלי משתנה בזמן (משוואה 1), אך משינוי בשדה החשמלי, ישתנה גם השדה המגנטי (משוואה 2). דהיינו לא ניתן למצוא את השדה החשמלי, בלי לדעת מהו השדה המגנטי, ולהיפך. 

כפי שהוזכר בהרצאות קודמות, הצימוד דרך המשוואות הוא זה שמאפשר פתרונות גליים. פתרונות אלו, המשתנים בזמן, הם אלו שמאפשרים את האפליקציות הטכנולוגיות ותופעות הטבע כמו אור השמש שמגיע אלינו (פיזור), ולכן אנו לא יכולים להתעלם מהשפעתן של הנגזרות הזמניות.

אחת הדרכים "להסיר" צימוד זה, היא להניח שהשדות סטטיים, ואז הנגזרות הזמניות מתאפסות. הנחה זו מובילה בד"כ לבעיה פשוטה הרבה יותר, אבל כמובן שסטטיקה מושלמת היא מקרה תאורטי, ובנוסף אינה מאפשרת טיפול באופי הגלי של השדה האלקרטומגנטי. עם זאת, היא מהווה נדבך בסיסי בטיפול במשטר ביניים שימושי מאוד - הפתרון הקוואזי-סטטי.

== משוואות מקסוול - משטר קווזי סטטי ==

במשטר קווזיסטטי אנו מניחים שהשדות משתנים בזמן, אך לאט מאוד. מה הכוונה ב"משתנים לאט מאוד"? נראה בהמשך הפרק.

=== משוואת הגלים - תווך חסר מקורות ===
בתווך חסר מקורות:

<math display="block">\vec J = 0, \rho = 0</math>כעת, נפעיל רוטור על שני האגפים של משוואה (1) (חוק פארדיי):

אגף שמאל:

<math display="block">\nabla \times (\nabla \times \vec E) = \underbrace{\nabla \cdot (\nabla \cdot \vec E)}_{\rho = 0} - \nabla^2 \vec E= -\nabla^2 \vec E</math>כאשר במעבר הראשון השתמשנו בזהות וקטורית:

<math display="block">\nabla \times (\nabla \times \vec a) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec a) - \nabla^2 \vec a</math>אגף ימין:

<math display="block">\nabla \times (-\mu_0 \frac{\partial \vec H}{\partial t})= 
-\mu_0 \nabla \times \frac{\partial \vec H}{\partial t}</math>מכיוון שהנחנו שכל השדות שאנו עובדים איתם הינם גזירים ורציפים, נחליף את הסדר בין הרוטור המרחבי שפועל על השדה המגנטי, לנגזרת בזמן:

<math display="block">=-\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \vec H) = 
-\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} 
\underbrace{
(\epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t} + \underbrace{\vec J}_{J=0})}_
{\text{Eq. 2 - Ampere's law}}
 = 
- \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}</math>בסך הכל נקבל:

<math display="block">-\nabla^2 \vec E
 = 
- \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}</math>

נגדיר את מהירות הגל להיות <math>c \equiv \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}</math>, נעביר אגפים ונקבל את משוואת הגלים:<math display="block">(5) \text{ }\nabla^2 \vec E - 
\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}
=
0</math>זוהי מערכת של 3 משוואות גלים סקלריות לכל רכיב (<math>\hat x, \hat y, \hat z</math>).

=== משוואת הגלים - תווך חסר מקורות - פתרונות ===
כעת נרצה לפתור את משוואת הגלים שקיבלנו, ולהבין כיצד נראים השדות החשמליים והמגנטיים שמקיימים אותה.

נזכור כי משוואת הגלים נובעת ממשוואות מקסוול, ולכן כל פיתרון של משוואת הגלים מוכרח לקיים את תנאי השפה של משוואות מקסוול.

==== השדה החשמלי ====
על מנת להבין אינטואיטיבית את פיתרון משוואת הגלים, נניח את הפיתרון הבא:

<math display="block">\vec E = E_x(z,t) \hat x</math>כלומר, שדה חשמלי שתלוי בזמן ובקורדינטה Z, וכיוונו בקורדינטה X.

נציב את התוצאה בנוסחה (5):

<math display="block">\nabla^2 \vec E - 
\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}
=
\underbrace{\frac{\partial^2 E}{\partial x^2}}_{=0} +
\underbrace{\frac{\partial^2 E}{\partial y^2}}_{=0} +
\frac{\partial^2 E}{\partial z^2} -
\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}

= \frac{\partial^2 E}{\partial z^2} -
\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}</math>

כעת קיבלנו משוואה פשוטה יותר, שהפיתרון שלה הוא:

[[File:Pic13A.png|400px|thumbnail|left|תרשים 1]]

<math display="block">(6) \text{ }

\vec E = E_x(z,t) \hat x = 
\left(f_1\left[t-\frac{z}{c}\right] + f_2\left[t+\frac{z}{c}\right]\right) \hat x</math>
כאשר <math> f_1,f_2 </math> פונקציות שרירותיות. 


בתרשים 1 ניתן לקבל אינטואציה לשינוי הגל בציר z, כתלות בזמן.

==== השדה המגנטי ====
כעת, כדי למצוא את השדה המגנטי, נציב את השדה החשמלי שמצאנו לתוך משוואה (1) (חוק פאראדיי):

מצד שמאל:

<math display="block">\nabla \times \vec E = \begin{vmatrix} 
\hat x & \hat y & \hat z \\ 
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
E_x & E_y & E_z

\end{vmatrix}

=
\begin{vmatrix} 
\hat x & \hat y & \hat z \\ 
0 & 0 & \frac{\partial}{\partial z} \\
E_x & 0 & 0

\end{vmatrix}
=
\frac{\partial E_x}{\partial z} \hat y</math>כאשר איפסנו את הנגזרות בכיוון x,y ואת השדות בכיוונים y,z משום שהשדה שלנו תלוי ב z וכיוונו הוא ב x.

נציב את תוצאת משוואה (6) לתוך תוצאת הרוטור

<math display="block">\frac{\partial E_x}{\partial z} = 
\frac{\partial f_1(t - \frac{z}{c})}{\partial z} + 
\frac{\partial f_2(t + \frac{z}{c})}{\partial z} \underbrace{=}_{\text{ chain rule}}

\underbrace{
\frac{\partial f_1(t - \frac{z}{c})}{\partial (t-\frac{z}{c})}}_{f'_1}
\cdot
\underbrace{
\frac{\partial (t-\frac{z}{c})}{\partial z}}_{-\frac{1}{c}}
+
\underbrace{
\frac{\partial f_2(t + \frac{z}{c})}{\partial (t+\frac{z}{c})} }_{f'_2}
\cdot
\underbrace{
\frac{\partial (t+\frac{z}{c})}{\partial z}}_{\frac{1}{c}}
=
-\frac{f'_1}{c} + \frac{f'_2}{c} = -\frac{1}{c} (f'_1-f'_2) = - \sqrt{\mu_0 \epsilon_0} (f'_1 - f_2')</math>כעת נציב בחוק פאראדיי:

<math display="block">- \sqrt{\mu_0 \epsilon_0} (f'_1 - f_2') \hat y
=
-\mu_0 \frac{\partial \vec H}{\partial t}</math>נחלץ את השדה המגנטי:

<math display="block">\partial \vec H = 
\sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} (f_1'(t-\frac{z}{c}) - f_2'(t+\frac{z}{c})) \partial t \text{ } \hat y</math><math display="block">\partial \vec H = 
\sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} (\frac{f_1(t-\frac{z}{c})}{\partial(t-\frac{z}{c})} 
- \frac{\partial f_2(t+\frac{z}{c})}{\partial (t+\frac{z}{c}
)}) 
\partial t \text{ } \hat y</math>נשים לב כי:

<math display="block">\partial t = 
\partial(t-\frac{z}{c})
=
\partial(t+\frac{z}{c})</math>לכן הנגזרות הזמניות של f1,f2 יתבטלו עם הנגזרת הזמנית <math>\partial t</math>. אחרי אינטגרציה בזמן נקבל (נאפס את קבוע האינטגרציה c):

<math display="block">\vec H  =
\sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} (f_1 - f_2)\hat y</math>ואכן, כצפוי קיבלנו שהשדה המגנטי ניצב לשדה החשמלי.

=== תכונות הפתרונות ===
נרצה לשאול: מהי "מהירות" הגל? כלומר, באיזו מהירות עלינו לנוע על מנת להישאר עם השיא (ראו תרשים 2)?


[[File:Pic23A.png|400px|thumb|left|תרשים 2]]

נביט בשרטוט בצד שמאל, של <math>f_1 (t-\frac{z}{c})</math>:

ברגע <math>t=0</math> הארגומנט הוא: <math>const = -\frac{z}{c}</math>

ולפיכך, בזמן כלשהו <math>t</math> , נקבל: <math>t-\frac{z}{c}=const</math>.

לכן:

<math display="block">z=c(t - const)</math>לכן נבין, כי הגל נע במהירות c, שהגדרנו אותה כמהירות האור:

<math display="block">c\equiv \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}
\approx
3\cdot 
{10^8} [\frac{m}{s}]</math>והשדות הינם:

<math display="block">\vec E = f_1(t-\frac{z}{c}) \hat x</math><math display="block">\vec H = \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} f_1(t-\frac{z}{c}) \hat y
\equiv
\frac{1}{\eta}
f_1(t-\frac{z}{c}) \hat y</math>כאשר <math>\eta</math> הוא קבוע שנקרא "אימפדנס הואקום", והוא שווה ל:

<math display="block">\eta \approx 377 [\Omega]</math>עד כה, דנו בפיתרונות כללים למשוואת הגלים (f1,f2 פונקציות ארביטרריות), כעת נרצה למצוא פיתרונות הרמוניים למשוואת הגלים.

== משוואת הגלים - פתרונות הרמוניים ==
הפתרונות ההרמוניים הם מהפתרונות החשובים והשימושיים ביותר למשוואת הגלים, ננחש:

[[File:Pic33A.png|150px|thumb|left|תרשים 3 - שלשה ימנית]]

[[File:Pic43A.png|400px|thumb|left|תרשים 4]]

<math display="block">f_1(t) = A_1 \cdot cos(\omega t)</math>ולכן נקבל את השדות:

<math display="block">\vec E = f_1(t-\frac{z}{c}) \hat x = A_1\cdot cos(\omega(t - \frac{z}{c}))
\hat x</math><math display="block">\vec H = \frac{1}{\eta}f_1(t-\frac{z}{c}) \hat y = \frac{1}{\eta} A_1\cdot cos(\omega(t - \frac{z}{c}))
\hat y</math>כאשר לעתים קרובות נהוג להגדיר את מספר הגל, כ:

<math display="block">k \equiv \frac{\omega}{c} [\frac{1}{m}]</math>

כפי שניתן לראות בשרטוטים מצד שמאל, השדה החשמלי (הגל הסגול) מאונך לשדה החשמלי (הגל הצהוב), ושניהם מאונכים לכיוון התקדמות הגל (z), לכן נקבל שלשה ציקלית ימנית: <math>\vec E, \vec H, \hat z</math> (תרשימים 3 ו- 4).


נשאל, מדוע הפיתרון ההרמוני שהצגנו נקרא "גל מישורי"?

מכיוון שכל הנקודות שעליהן השדה החשמלי קבוע, נמצאות על מישור שניצב לציר z.

=== תכונות ===

==== זמן מחזור ====
אם נעמוד בנקודה מסויימת <math>z=z_0</math>, ונמדוד את השדה החשמלי כתלות בזמן, קיים זמן כלשהו, שנקרא זמן המחזור ומוגדר:

[[File:pic53AB.png|200px|thumb|left|תרשים 5]]

<math display="block">T=\frac{2\pi}{\omega}</math> שעבורו מתקיים:

<math display="block">E_x(z,t_0) = E_x(z,t_0 + T)</math>

כלומר זהו הזמן בקצר ביותר שלאחריו השדה חוזר בדיוק לערכו המקורי (תרשים 5) כאשר השדה מחזורי בזמן.

==== אורך גל ====
אם "נקפיא" את הזמן ונמדוד את השדה החשמלי בכיוון x, נקבל את אורך הגל:

[[File:pic63AB.png|200px|thumb|left|תרשים 6]]

<math display="block">\lambda  = \frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi c}{\omega}=\frac{c}{f}</math>

זהו המרחק הקרוב ביותר בני שתי נקודות בהן ערך השדה זהה, כאשר השדה מחזורי במרחב (תרשים 6).

==== מהירות הפאזה ==== 
נשים לב כי המהירות שבה מתקדם גל הסינוס ימינה או שמאלה (כתלות בהיותו גל מתקדם או גל נסוג), אותה אנו מכנים מהירות הפאזה <math> v_p </math> היא בדיוק מהירות הגל שראינו עבור פולסים שרירותיים, כשדיברנו על פתרונות משוואת הגלים הכלליים. קיבלנו תוצאה זו עבור התפשטות בואקום, אבל למעשה היא תהיה תקפה כל עוד הפרמטרים של הסביבה אינם תלויים בתדר (אינם דיספרסיביים) או שהתלות בתדר שלהם זניחה בסביבת העבודה. כאשר יש תלות בתדר (דבר שתמיד מתקיים במידה זו או אחרת במציאות) זה כבר אינו המצב, מאחר ומהירות הפאזה הופכת להיות גודל התלוי גם הוא בתדר, ומהירות הגל כלל אינה מוגדרת היטב מאחר ודיספרסיה גורמת ל"עיוות" צורתו של הפולס המתפשט. עוד בנושא זה תלמדו בקורס "תמסורת גלים".

== משוואת הגלים - פתרונות הרמוניים - ייצוג פאזורי ==
לעתים מסובך אלגברית להשתמש בייצוג של סינוסים וקוסינוסים לפונקציות מחזוריות (במיוחד עבור גזירה ואינטגרציה), לכן כדי לפתור בעיה זו נציג את הייצוג הפאזורי של הפתרונות ההרמוניים:
<math display="block">\vec E = \Re\{\vec \tilde E (\vec r, \omega)\cdot {e^{j \omega t}}\}=
\frac{1}{2} \{ \vec \tilde E {e^{j \omega t}} + \vec \tilde E^{*} {e^{-j \omega t}} \}</math>
<math display="block">\vec H = \Re\{\vec \tilde H (\vec r, \omega)\cdot {e^{j \omega t}}\}=
\frac{1}{2} \{ \vec \tilde H {e^{j \omega t}} + \vec \tilde H^{*} {e^{-j \omega t}} \}</math>
=== משוואת הגלים - משוואת הלמהולץ ===
נציב את הייצוג הפאזורי למשוואת הגלים:

<math display="block">\nabla^2 \vec E - 
\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}
= \frac{1}{2} 
\underbrace{
\nabla^2 [\vec \tilde E {e^{j \omega t}} + \vec \tilde E^{*} {e^{-j \omega t}} ]}_
{=\nabla ^2 \vec \tilde E \cdot {e^{j \omega t}} + \nabla ^2 \vec \tilde E^* \cdot {e^{- j \omega t}}}
-
\frac{1}{2c^2} \cdot \frac{\partial^2}{\partial t^2}
\underbrace{
[\vec \tilde E {e^{j \omega t}} + \vec \tilde E^{*} {e^{-j \omega t}} ]}_
{=-\omega^2 (\vec \tilde E \cdot {e^{j \omega t}} - \vec \tilde E^* \cdot {e^{- j \omega t}})}
= 0</math>נכפול את הביטוי ב 2, ונכנס אגפים, לפי חזקת האקספוננט:

<math display="block">{e^{j \omega t}} (\nabla^2 \vec \tilde E + \frac{\omega ^2}{c^2} \vec \tilde E)
+
{e^{- j \omega t}} (\nabla^2 \vec \tilde E^* - \frac{\omega ^2}{c^2} \vec \tilde E^*) = 0</math>מאחר והאקספוננטים לעולם לא יתאפסו, כל אחד מהאיברים בסוגריים מתאפס זהותית:

<math display="block"> \nabla^2 \vec \tilde E + k^2 \vec \tilde E = 0
\text{ ; }
\nabla^2 \vec \tilde E^* - k^2 \vec \tilde E^* = 0</math>כאשר K הוא מספר הגל (ראינו אותו כבר).

נקבל לבסוף את משוואת הלמהולץ - משוואת הגלים בתחום התדר:<math display="block">\nabla^2 \tilde E + k^2 \tilde E = 0</math>

=== משוואת הגלים - משוואת הלמהולץ - גל מישורי כללי ===
נכתוב את השדה החשמלי כ:

<math display="block">\tilde E = \tilde E_0 \cdot {e^{ -j (\vec k \cdot \vec r)}}</math>נשים לב שאם נבחר את וקטור הגל להיות: <math>\vec k = k \hat z</math>, נקבל את הפיתרון שראינו מקודם.

נציב את השדה החשמלי החדש למשוואת הלמהולץ, ונקבל:

<math display="block">\nabla^2 \vec \tilde E  + \frac{\omega^2}{c^2} \vec \tilde E

= \nabla^2(\tilde E_0 \cdot {e^{-j \vec k \cdot \vec r}})+ \frac{\omega^2}{c^2} \vec \tilde E
=
(-j \vec k)\cdot (-j \vec k) \cdot \tilde E_0 \cdot {e ^ {-j \vec k \cdot \vec r}}+ \frac{\omega^2}{c^2} \vec \tilde E
=
(-\vec k \cdot \vec k) \tilde E_0 \cdot {e^{-j \vec k\cdot \vec r}}+ \frac{\omega^2}{c^2} \vec \tilde E = 
(-\vec k \cdot \vec k + \frac{\omega^2}{c^2})E = 0</math>

על מנת לקיים את המשוואה, נוכל מחד לאפס את השדה החשמלי, אבל אז נקבל פתרונות לא מעניינים, מנגד ניתן לאפס את הביטוי בסוגריים:

<math display="block">k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = (\frac{\omega}{c})^2</math> קיבלנו משוואה שמזכירה משוואה של כדור, ולכן כל הווקטורים האפשריים נמצאים על שפה של כדור, שנקרא Ewald sphere (תרשים 7).

[[File:Pic73AB.png|300px|thumb|left|תרשים 7]]

נציב בחוק גאוס:

<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \nabla \cdot (\epsilon_0 \tilde E_0 {e^{-j \vec k \cdot \vec r}}) =

-j \vec k \cdot \epsilon_0 \tilde E_0 {e^{-j \vec k \cdot \vec r}} = 0</math>ולכן:

<math display="block">\vec k \cdot \tilde E_0=0</math>כלומר, ווקטור K ניצב לשדה החשמלי.

ניתן לקבל באופו אופן:

<math display="block">\vec k \cdot \tilde H_0=0</math>ניתן לראות שקיבלנו שוב את השלשה הימנית.

=== משוואת הגלים - גל מישורי כללי - מישורים שווי פאזה ===
נביט בתרשים 8, ונחזור חזרה לתחום הזמן:

[[File:Pic83AB.png|300px|thumb|left|תרשים 8]]

<math display="block">\vec E = \real \{   \vec \tilde E_0 {e^{-j \vec k \cdot \vec r}} \cdot {e^{j \omega t}} \} = 
\vec E_0 \cos(\omega t - \vec k \cdot \vec r)</math>כמו שראינו מקודם, על מנת למצוא את הנקודות שבהם ווקטור השדה החשמלי קבוע, נשווה את הארגומנט של הקוסינוס למספר קבוע. נקבל:

<math display="block">\vec k \cdot \vec r = \omega t - const</math>הפעם, עבור המקרה הכללי, קיבלנו כי המישור ניצב לוקטור k.

== משוואות מקסוול עבור הפאזורים של השדות ==
אם נרשום את השדות:

<math display="block">\vec E = \real \{  \vec \tilde E \cdot {e^{j \omega t}} \} \text{ ; }
\vec H = \real \{  \vec \tilde H \cdot {e^{j \omega t}} \}</math>נציב את השדות החדשים במשוואות מקסוול, ונקבל את משואוות מקסוול הפאזוריות:
<math display="block">\nabla  \times \tilde E = -j \omega \mu_0 \tilde H</math><math display="block">\nabla \times \tilde H = j \omega \epsilon_0 \tilde E + \tilde J</math><math display="block">\nabla \cdot \epsilon_0 \tilde E = \tilde \rho</math><math display="block">\nabla \cdot \mu \tilde H = 0</math>
== קוואזי סטטיקה ==

[[File:C3af9.jpg|300px|thumb|left|תרשים 9]]

על מנת לפתור את הבעיה, שדנו בה בתחילת הפרק, נצטרך להגדיר ולהבדיל בין שדות שמתשנים "מהר" לשדות שמשתנים "לאט".
בתרשים 9a ניתן לראות שבמערכת שבה מתקיים <math>L > \lambda</math> השדות משתנים בצורה משמעותית לאורך המערכת. במקרה זה, נאלץ לספק פיתרון מלא למשוואות מקסוול.
בתרשים 9b אנו רואים שתחת התנאי <math>L<<\lambda</math> השדה משתנה "לאט" ביחס לגודל המערכת.

מה יהיה הזמן, במקרה זה, שלוקח לגל להתפשט במערכת ולחזור לנקודת התחלה?
<math display="block">t_{\text{propagating}} = \frac{2L}{c} << \frac{2 \lambda}{ c} = 
\frac{2}{c} \cdot \frac{2\pi c}{ \omega} = 2 \cdot \frac{2 \pi}{\omega} = 2T</math>
=== דוגמא ===
נתון מעגל חשמלי שגודלו 1cm.

התדר האופייני של הסיגנל במערכת הוא <math>f= 1KHz</math>.

מה אורך הגל האופייני?

<math display="block">\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3\cdot {10^8}}{{10^3}} = 300 Km >> 1cm</math>הקירוב שלנו מתקיים, ולכן נוכל לפתור מערכת זו בקירוב קווזי סטטי.
</div>