Editing פרק 4 - עבודה ואנרגיה

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== אינטואיציה ==
[[File:Pic41.png|200px|thumb|left|איור 1]]
מה ההספק שהמקור מספק בבעיה הזו?

<math display="block">
P_{out} = v(t)\cdot i(t) = v(t) [i_L + i_C + i_R] = v(t)\cdot i_L + v(t) \cdot i_C + v(t) \cdot i_R =
</math>
<math display="block">
L\cdot \dot{i_L} \cdot i_L + v \cdot c \cdot \dot{v} + v \cdot \frac{v}{R} = 
\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} (L \cdot i_L^2) + \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} (C  \cdot v^2) + \frac{v^2}{R}
</math>

<math display="block">P_{out} = \frac{\partial}{\partial t} \underbrace{(\frac{1}{2}L i_L^2)}_{u_M}
+
\frac{\partial}{\partial t} \underbrace{(\frac{1}{2} C v^2)}_{u_E} + 
\underbrace{\frac{v^2}{R}}_{P_{\text{resistor loss}}}</math>
ולכן, ההספק שנמסר למעגל על ידי המקור מקיים:

<math display="block">
P_{out} = \frac{\partial}{\partial t} (u_M + u_E) + \underbrace{P_{loss}}_{>0}
</math>

זהו מבנה טיפוסי של חוק שימור!

נשים לב כי בפיתוח זה, ההספק המועבר לנגד תמיד חיובי.

=== חוק שימור המטען ===
גם חוק שימור המטען הוא חוק כזה:<math display="block">\iint \vec J \cdot \hat n ds = - \frac{d}{dt} \iiint \rho dV</math><math display="block">\Rightarrow
F_{in} = -\frac{d}{dt}Q</math>מבנה זהה למה שראינו קודם, ולכן באנלוגיה לחוק שימור המטען הדיפרנציאלי:

<math display="block">\nabla \cdot \vec J = -\frac{\partial \rho}{\partial t}</math>כאן אין הפסדי הולכה, ולכן "חסר איבר", היינו מצפים לקבל משהו כמו:
<math display="block">\nabla \cdot \vec S = \frac{d}{dt}u + P_{loss}</math>

=== חוק שימור התנע ===
נביט בחוק שימור התנע:<math display="block">\vec F = \frac{d \vec p}{dt} / \cdot \vec p</math><math display="block">\Rightarrow \vec F \cdot \vec p = \vec p \frac{d\vec p}{dt}</math>התנע הוא <math>\vec p = m \vec v</math>, ולכן:

<math display="block">
\vec F \cdot m \vec v = \frac{\partial}{\partial t} [(\vec p \cdot \vec p)/2]
</math>
<math display="block">
\int \vec F \vec v =\int \frac{\partial}{\partial t} 
\underbrace{\left(\frac{|p|^2}{2m}\right)}_{\text{kinetic energy}}
</math>
ולכן:

<math display="block">
W = \int \vec F \cdot \vec v 
=
\frac{1}{2m} (p_f^2 - p_i^2)
</math>

== משפט פוינטינג ==
כעת, נניח כי יש מטען <math> \rho </math> צפיפות זרם <math>\vec J = \rho \vec v</math>, ויש גם שדה חשמלי ומגנטי. על המטען פועל [[פרק 1 - משוואות מקסוול (חוקים אינטגרליים, חוקים דיפרנציאליים)#כוח לורנץ|כוח לורנץ]].


<math display="block">
\underbrace{p}_{\text{lorentz force}} = 
\underbrace{\iiint}_{\text{system}} (\rho \vec E  + 
\underbrace{\mu_0 \rho \vec v \times \vec H}_{\text{prependicular to }\vec v\Rightarrow =0}
)
\cdot \vec v dv = 
\iiint \vec E \cdot \rho \vec v dv =\iiint \vec E \cdot \vec J dv
</math>
נציב ב <math>\vec E \cdot \vec J</math> את:
<math display="block">
J = \nabla \times \vec H - \epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t}
</math>
וגם נשתמש בזהות <math>\vec E \cdot (\nabla \times \vec H) = -\nabla \cdot (\vec E \times \vec H) + \vec H \cdot (\nabla \times \vec E) </math> ונקבל
<br>
<br>
<math display="block">
\vec E \cdot \vec J = \vec E \cdot (\nabla \times \vec H - \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}) = 
-\epsilon_0 \vec E \cdot \frac{\partial \vec E}{\partial t} + \vec H \cdot \underbrace{(\nabla \times E)}
_{=-\mu_0\frac{\partial \vec H}{\partial t}} - 
\nabla \cdot (\vec E \times \vec H) = 

- \epsilon_0 \vec E \cdot \frac{\partial E}{\partial t} - \mu_0 \vec H \cdot\frac{\partial H}{\partial t}
- \nabla \cdot (\vec E \times \vec H)
</math>
נציב את הביטוי, בתוך האינטגרל, ונקבל:

<math display="block">
\iiint \vec E \cdot \vec J dV = 
\iiint \left[\frac{\partial}{\partial t}\left( -\frac{\epsilon_0}{2} |E|^2 - \frac{\mu_0}{2} |H|^2\right) - 
\nabla \cdot (\vec E \times \vec H)\right] dV
</math>


מכיוון שהחוק חייב להתקיים עבור כל מעטפת (כלומר, בחירת המעטפת היא שרירותית) חייב להתקיים שיוויון באינטגרנד:

<math display="block">
- \underbrace{\nabla \cdot (\vec E \times \vec H)}_{\text{sources of flux of } \vec E \times \vec H}
= 
\underbrace{\vec E \cdot \vec J}_{\text{power}}
+
\frac{\partial}{\partial t} 
\underbrace{\left(\frac{\epsilon_0}{2} |E|^2 + \frac{\mu_0}{2} |H|^2\right)}_{\text{energy density}} </math>

אם נשתמש בחוק גאוס, נוכל גם להציג את משפט פוינטינג בצורתו האינטגרלית ע"י
<math display="block"> \underbrace{-\iint (\vec E\times\vec H) \cdot \hat n ds}_{\text{total flux going in from the poynting vector}}
= 
\frac{\partial}{\partial t} 
\underbrace{\iiint \left[\frac{\epsilon_0}{2} |E|^2 + \frac{\mu_0}{2} |H|^2\right] {dV}}_{\text{all the stored energy}}
+
\underbrace{\iiint \vec E \cdot \vec J dV}_{\text{all the power}} </math>


=== הגדלים במשפט פוינטינג ===
'''וקטור פוינטינג -''' מציין את כיוון "זרימת" צפיפות ההספק בבעיה (<math>[\vec S] = \frac{\text{Watt}}{m^2} </math>):

<math display="block">\vec S \equiv \vec E \times \vec H </math>'''צפיפות האנרגיה החשמלית''' (<math>[u_E]=\frac{J}{m^3} </math>):

<math display="block">u_E = \frac{\epsilon_0}{2} |E|^2 </math>'''צפיפות האנרגיה המגנטית''' (<math>[u_M]=\frac{J}{m^3} </math>):

<math display="block">u_M = \frac{\mu_0}{2} |H|^2 </math>'''צפיפות הספק הולכה''' (<math>[p] = \frac{\text{Watt}}{m^3} </math>):

<math display="block">\vec p = \vec E \cdot \vec J </math>

=== הספק הולכה ===
את ההספק המושקע בהולכה ניתן לפרק, במידת הצורך, ל-2 תרומות:

אם מדובר בחומר מוליך אז ניתן לפרק את הזרם לשתי קבוצות - זרמי מקורות וזרמי הולכה:

<math display="block">\vec J = \vec J_{\text{source}} + \vec J_{\text{transport in material}} </math><math display="block">\vec E \cdot \vec J = \vec E \cdot (\vec J_{\text{source}} + \vec J_{\text{transport}}) = 
\vec E \cdot \vec J_{\text{source}} + \vec E \cdot \sigma \vec E = 
\underbrace{\vec E \cdot \vec J_{\text{source}} }_{\text{can be energy source or sink}}
+
\underbrace{\sigma |E|^2}_{>0} </math>

== דוגמאות ==
=== דוגמא - אנרגיה חשמלית אגורה בקבל לוחות ===
נתון המבנה באיור 2. מה האנרגיה האגורה בקבל?
[[File:Pic42.png|200px|thumb|left|איור 2]]

<math display="block">E = - \frac{V}{d} \hat z </math><math display="block">u_E = \iiint \frac{\epsilon_0}{2} |E|^2 dV  = \frac{\epsilon_0}{2} \left(\frac{V}{d}\right)^2 \cdot W \cdot l \cdot d </math>מצד שני:

<math display="block">u_E = \frac{1}{2} cV^2 </math>ולכן:

<math display="block">C = \epsilon_0 \frac{W \cdot l}{d} </math>

=== דוגמא - אנרגיה חשמלית אגורה בסליל מלבני ===
[[File:Pic43.png|200px|thumb|left|איור 3]]
באיור 3 מתואר משרן מלבני.
בתוך הסליל:

<math display="block">\vec H = H \hat z </math>מתנאי שפה מתקבל:

<math display="block">\hat n \times (0 - H \hat z) = \vec K  </math>אם עבר דרך הסליל זרם I, אז מתקיים:

<math display="block">I = K \cdot W </math>לכן:

<math display="block">
H = \frac{I}{W} \hat z \Rightarrow
u_M = \iiint \frac{\mu_0}{2} \left(\frac{I}{W}\right)^2 dV  = \frac{\mu_0}{2} \left(\frac{I}{W}\right)^2 \cdot W \cdot l \cdot d </math>
מצד שני:

<math display="block">u_M = \frac{1}{2} L I^2 </math>

לבסוף:

<math display="block">L = \mu_0 \frac{l\cdot d}{W} </math>

=== דוגמא - נגד גלילי ===
באיור 4 מתואר נגד גלילי. החומר ממנו עשוי הגליל הוא בעל מוליכות סגולית <math> \sigma </math>.
[[File:Pic44.png|200px|thumb|left|איור 4]]

בכל התחום בין הלוחות:

<math display="block">\vec E = \frac{J_0}{\sigma} \hat z </math>ולכן, מחוק אמפר השדה המגנטי הינו:

<math display="block">\vec H = \hat \varphi \cdot 
\begin{cases} \frac{J_0 r}{2}, & r<a \\ \frac{J_0 a^2}{2 r}, & r>a \end{cases} </math>נחשב את וקטור פוינטינג:

<math display="block">\vec S = \vec E \times \vec H = 
- \hat r \cdot \begin{cases} \frac{J_0^2 r}{2\sigma}, & r<a \\ \frac{J_0^2 a^2}{2\sigma r}, & r>a\end{cases} </math>צפיפות הספק ההולכה תהיה:

<math display="block">\vec E \cdot \vec J =
\begin{cases} \frac{J_0^2}{\sigma}, & r<a \\ { 0}, & r>a \end{cases} </math>נראה שאכן משפט פוינטינג מתקיים:

<math display="block">-\nabla \cdot \vec S=
\underbrace{\frac{\partial }{\partial t}(\epsilon_0/2 |E|^2 + \mu_0/2 |H|^2)}_{=0}
+ \vec E \cdot \vec J </math><math display="block">\Rightarrow -\nabla \cdot \vec S  = - \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r S_r) =
-\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} 
(\begin{cases} -\frac{J_0^2 r^2}{2\sigma}
, & r<a \\
-\frac{J_0^2 a^2}{2\sigma}, & r>a \end{cases}) =
\frac{1}{r} \cdot \begin{cases} \frac{J_0^2 r}{\sigma}
, & r<a \\
0, & r>a \end{cases} </math>בין הלוחות בתוך הנגד:

<math display="block">- \nabla \cdot \vec S = \frac{J_0^2}{\sigma} = \vec E \cdot \vec J = \frac{J_0^2}{\sigma} </math>ואכן, משפט פוינטינג מתקיים!

=== דוגמא תלויה בזמן - גל מישורי ===
השדות עבור גל מישורי כללי כלשהו נתונים ע"י
<math display="block">\vec E = \hat e E_0 cos(k \cdot r - \omega t) </math><math display="block">\vec H = \hat h \frac{E_0}{\eta} cos(k \cdot r - \omega t) </math><math display="block">\vec S = \vec E \times \vec H =
\underbrace{\hat e \times \hat h}_{\hat k} 
\frac{E_0^2}{\eta} cos^2(k\cdot r - wt) = \hat k \cdot \frac{E_0^2}{\eta} cos^2(k\cdot r - wt) </math><math display="block">-\nabla \cdot \vec S  = \hat k \cdot \hat k  \frac{E_0^2}{\eta} 2 \cos(k\cdot r - wt) \sin(k\cdot r - wt) =


\frac{k}{\eta} E_0^2 \cdot \sin(2(k\cdot r - wt)) </math>מכיוון שגל מישורי הוא פיתרון בתווך חסר מקורות:

<math display="block">\vec p = \vec E \cdot \vec J = 0 </math>צפיפויות האנרגיה יהיו:

<math display="block">u_E = \epsilon_0/2 |E|^2 = \epsilon_0/2 |E_0|^2 \cos^2(k\cdot r  - wt) </math><math display="block">u_M = \mu_0/2 |H|^2 = \epsilon_0/2 |\frac{E_0}{\eta}|^2 \cos^2(k\cdot r  - wt) </math>האם מתקיים משפט פוינטינג?

<math display="block">-\nabla \cdot S = \frac{\partial}{\partial t} (u_E+u_M) = 
E_0^2 (\epsilon_0/2 + \mu_0/2 \frac{1}{\eta^2}) \frac{\partial}{\partial t} \cos^2(k\cdot r - wt) = 
E_0^2 (\epsilon_0/2 + \mu_0/2 (\frac{1}{\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}})^2) \cdot
2 \cos(k\cdot r - wt) \sin(k \cdot r - wt) \cdot (-1) \cdot (-\omega) = 
\omega \epsilon_0 </math>התוצאה המקורית הייתה <math>\frac{k}{\eta} </math>.

האם אכן מתקיים:

<math display="block">\frac{k}{\eta} = \omega \epsilon_0 </math>

אכן כן!
=== דוגמא נוספת תלויה בזמן - קבל בקירוב קוואזי - סטטי ===
המערכת מתוארת באיור 5.
[[File:Pic45.png|200px|thumb|left|איור 5]]

<math display="block">\vec E ^{(0)} = -\frac{V_0}{d} \cos(\omega t) \hat z  </math><math display="block">\vec H^{(1)} = \frac{\epsilon_0 V_0}{d} \omega \sin(\omega t) \hat y \cdot (x- W/2)  </math>משפט פוינטינג בצורה האינטגרלית:

<math display="block">-\iint \vec S \cdot \hat n dS = \frac{\partial}{\partial t} (U_E+U_M) + P_{\text{transmission}}  </math><math display="block">\vec S = \vec E^{(0)} \times \vec H^{(1)} =
-\epsilon_0 (\frac{V_0}{d})^2 \cos(\omega t) \hat z \times
\omega \sin(\omega t) \cdot (x-W/2) \hat y =
-\hat x \epsilon_0 \frac{V_0}{d} (x-W/2) \omega 
\underbrace{\sin(\omega t) \cos(\omega t)}_{=\frac{sin(2\omega t)}{2}}  </math><math display="block">-\iint \vec S \cdot \hat n dS =
-[\vec S(x=0)\cdot (-\hat x)\cdot dL + \vec S(x=W)\cdot \hat x \cdot dL]=
-[\epsilon_0 (\frac{V_0}{d})^2 \frac{-W}{4} \omega \sin(2\omega t) \cdot dL\cdot 2]=
-\epsilon_0 (\frac{V_0}{d})^2 \frac{W}{2} \omega \sin(2\omega t)\cdot dL  </math><math display="block">U_E= \iiint u_E = (\frac{V_0}{d} \cos(\omega t))^2 \frac{\epsilon_0}{2}\cdot d\cdot L\cdot W  </math><math display="block">\frac{\partial U_E}{\partial t} = \frac{\epsilon_0}{2} (\frac{V_0}{d})^2 \cdot d \cdot L
\cdot W \cdot
\underbrace{2 \cos(\omega t) \sin(\omega t)}_{=\sin(2\omega t)}
\cdot( -1)  </math>מהו וקטור פוינטינג הממוצע?

<math display="block">\vec S_a= \frac{1}{T} \int_t^{t+T} \vec S dt \propto
\frac{1}{T} \int_t^{t+T} \sin(2\omega t) dt = 0  </math>מה בכל זאת האנרגיה המגנטית?

<math display="block">U_M = \iiint \mu_0/2 |H^{(1)}|^2 dV
=\underset{x=W}{\iiint} \mu_0/2 (\frac{\epsilon_0 V_0}{d} \cdot \omega \sin(\omega t)
(x-W/2))^2 dV =
dL \int_{x=0}^{x=W} \mu_0/2 (\frac{\epsilon_0 V_0}{d})^2 \omega^2 \sin^2(\omega t) \cdot (x-W/2)^2 dx
=...  </math><math display="block">...=
dL \cdot \mu_0/2 (\frac{\epsilon_0 V_0}{d})^2 \omega ^2 \sin^2(\omega t)
\frac{(x-W/2)^3}{3}|^W_0 =
2 dL \cdot \mu_0/2 (\frac{\epsilon_0 V_0}{2})^2 \omega^2 \sin^2(\omega t) \frac{W^3}{24} \cdot 2  </math>בפיתרון הקוואזי סטטי:

<math display="block">I = \frac{\epsilon_0 V_0}{d} \omega \sin(\omega t) \cdot W \cdot L  </math>ומצד שני:<math display="block">U_M = \frac{1}{2}
\underbrace{L}_{\text{inductance}} 
I^2  </math>

ולכן:

<math display="block">L = \frac{\mu_0 d W}{12 L}  </math>

== וקטור פוינטינג ממוצע, אנרגיה ממוצעת, הספק ממוצע ==
באופן כללי כאשר אנו עוסקים בשדות הרמוניים התלויים בזמן, התלות הרגעית של הגדלים הפיזיקליים

במשפט פוינטינג פחות מעניינים אותנו, ומאחר ומדובר בגדלים מחזוריים בזמן, היינו רוצים להבין מה קורה

בממוצע, על פני זמן מחזור.

נגדיר:

<math display="block">T=\frac{2\pi}{\omega} </math>כל גודל פיזיקלי F ניתן למצע על פני מחזור, על ידי הביטוי הבא:

<math display="block">F_a = \frac{1}{T} \int_t^{t+T} F(t) dt </math>

=== משפט פוינטינג לשדות קומפלקסיים ===
את השדה החשמלי והשדה המגנטי ניתן לרשום באמצעות הפאזורים שלהם:

<math display="block">
\vec E = Re(\tilde E e^{j \omega t}) = \frac{1}{2}(\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E^* e^{- j\omega t}) 
</math>
<math display="block">
\vec H = Re(\tilde H e^{j \omega t}) = \frac{1}{2} (\tilde H e^{j\omega t} + \tilde H^* e^{- j\omega t})
</math>
נציב את הביטויים הקומפלקסיים לשדה המגנטי והחשמלי במשוואת פוינטינג:
<math display="block">\vec S = \vec E \times \vec H =\frac{1}{4}(\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E^* e^{- j\omega t})\times 
(\tilde H e^{j\omega t} + \tilde H^* e^{- j\omega t})
=
\frac{1}{4}(\tilde E^* \times \tilde H + \tilde E \times \tilde H^* + \tilde E \times \tilde H e^{2j\omega t}
+
\tilde E^* \times \tilde H^* e^{-2j\omega t}) = 
\frac{1}{2} \Re(\tilde E \times \tilde H^* + \tilde E \times \tilde H e^{2j\omega t})  </math>
זרימת הספק ממוצעת:

<math display="block">\vec S_a = \frac{1}{2} \Re(\tilde E \times \tilde H^*)  </math>

נחשב את האנרגיה החשמלית:

<math display="block">u_E  = \frac{\epsilon_0}{2} \vec E \cdot \vec E = 
\frac{\epsilon_0}{2}\frac{1}{2}(\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E^* e^{- j\omega t})\cdot \frac{1}{2} (\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E^* e^{- j\omega t})
=
\frac{1}{4} \frac{\epsilon_0}{2} (2 |E|^2  + \tilde E \cdot \tilde E e^{2j\omega t} +
\tilde E^* \tilde E^* e^{-2j\omega t})  </math>
ובאותה דרך האנרגיה המגנטית תהיה:

<math display="block">u_M
=
\frac{1}{4} \frac{\mu_0}{2} (2 |H|^2  + \tilde H \cdot \tilde H e^{2j\omega t} +
\tilde H^* \tilde H^* e^{-2j\omega t})  </math>
נגזרות בזמן את השדה החשמלי:

<math display="block">\frac{\partial u_E}{\partial t} =
2j\omega (\tilde E \cdot \tilde E e^{2j\omega t}) - 2j\omega (\tilde E^* \cdot \tilde E^* e^{-2j\omega t})
\underbrace{=}_{\text{averaging in time}}
0  </math>ואת אותה התוצאה נקבל עבור השדה המגנטי.

נחשב את ההספק שמושקע בהנעת זרמים במערכת:

<math display="block">\vec E \cdot \vec J  = \frac{1}{2} (\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E ^* e^{-j\omega t}) \cdot 
 \frac{1}{2} (\tilde J e^{j\omega t} + \tilde J ^* e^{-j\omega t}) =
 \frac{1}{4} (2 \Re(\tilde E \cdot \tilde J^*) + 2\Re(\tilde E \cdot \tilde J e^{2j\omega t}))  </math><math display="block">\Rightarrow p_a = \frac{1}{2} \Re(\tilde E \cdot \tilde J^*)  </math>משפט פוינטינג לאחר מיצוע בזמן:

<math display="block">-\nabla\cdot\left[\frac{1}{2} \Re(\tilde E \times \tilde H^*)\right] = \frac{1}{2} \Re(\tilde E \cdot \tilde J^*)  </math>

== משפט פוינטינג עבור הפאזורים של השדות - פיתוח ==
וקטור פוינטינג הממוצע:

<math display="block">\vec S_a = \frac{1}{2} \Re (\tilde E \times \tilde H^*)  </math>נשתמש בחוק אמפר (בצורה הפאזורית):

<math display="block">\nabla \times \tilde H = \tilde J + \epsilon_0 \cdot j \omega \tilde E   </math>ונחשב בעזרתו את צפיפות הספק ההולכה:

<math display="block">\vec p_a = \tilde E \cdot \tilde J^* = \tilde E (\nabla \times \tilde H^* + j \omega \epsilon_0 \tilde E ^*)

=

\tilde E \cdot (\nabla \times \tilde H^*) + j\omega \epsilon_0 |\tilde E |^2
=
j\omega \epsilon_0 |\tilde E |^2 + \tilde H^* \cdot (\nabla \times \tilde {E}) - 
\nabla \cdot (\tilde E \times \tilde H ^*)  </math>
נעביר אגפים ונקבל:

<math display="block">-\nabla \cdot (\tilde E \times \tilde H^*) = \tilde E \cdot \tilde J^* - 
j\omega (\mu_0 |\tilde H|^2 - \epsilon_0|\tilde E|^2)  </math>

משוואה זו היא בעצם מעין משפט פוינטינג קומפלקסי עבור הפאזורים של השדות והזרמים.
נפריד לחלק ממשי ומדומה:

<math display="block">\text{Real: } \Re (-\nabla \cdot (\tilde E \times \tilde H^*)) = \Re(\tilde E \cdot \tilde J^*)  </math>
החלק הממשי הוא בעצם משפט פוינטינג הממוצע בזמן שכבר קיבלנו.

<math display="block">\text{Imaginary: } \Im \left[-\nabla \cdot (\tilde E \times \tilde H^*)\right] =
\Im \left[\tilde E \cdot \tilde J^*\right] - \omega (\mu_0 |\tilde H|^2| - \epsilon_0 |\tilde E|^2)= \Im \left[\tilde E \cdot \tilde J^*\right] - 4\omega (u_M - u_E))  </math>

'''חלק ממשי -''' מתאר את זרימת ההספק הממשי בבעיה, הספק שמושקע בביצוע עבודה.

'''חלק מדומה -''' מאזן של אנרגיה ריאקטיבית.