Editing פרק 6 - משוואת לפלאס

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
בהרצאות הקודמות ראינו את החשיבות של פתרון הבעיה הסטטית כבסיס לכל בעית EQS.

== הגדרת הבעיה ==
[[File:Pic601.png|200px|thumb|left|איור 1]]
את הפיתרון הפרטי למשוואת פואסון אנחנו כבר יודעים לחשב. נביט בתחום כלשהו <math>\mathcal{D}</math>, בו קיימים מטענים שצפיפותם <math>\rho</math> (איור 1). תנאי השפה יכולים להיות להיות באופן כללי נתונים כתנאי שפה דיריכלה על חלק מהשפה, ותנאי שפה נוימן על החלק האחר, ובלבד שמוגדרים על פני כל השפה. ולכן, התאור המלא של הבעיה נתון על ידי משוואות פואסון, ותנאי השפה שהיא צריכה לקיים. באופן כללי, תנאי השפה יכול להיות כזה שעל חלק מהשפה (נכנה את הנקודות האלו <math> r_{B,1} </math>, קו שחור באיור 1) נתון תנאי שפה דיריכלה, ועל חלקה (נכנה אותן <math> r_{B,2} </math>, קו צהוב באיור 1) תנאי נוימן.
<math display="block">
\nabla ^2 \phi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}
</math>
<br>
<math display="block">
\phi(r_{B,1})=f(r_{B,1})
</math>
<br>
<math display="block">
\frac{\partial\phi}{\partial n}_{r=r_{B,2}}=g(r_{B,2})
</math>

כפי שכבר ראינו (לדוגמא בשיטת השיקופים), את הפתרון ניתן לפרק לסכום של פתרון פרטי (הנובע מפילוג המטען הנתון, אך לאו דווקא מקיים את תנאי השפה הדרושים) אותו ניתן לקבל באמצעות סופרפוזיציה, ופתרון הומוגני (פתרון ללא מקורות).
<math display="block">
\phi=\phi_p+\phi_h
</math>
<br>
כאשר הפתרון ההומוגני מקיים את המשוואה ללא המקורות - משוואת לפלאס <math> \nabla ^2 \phi_h=0 </math>.

== תכונות הפתרון ==
=== עקרון המינימום / מקסימום ===
עקרון זה קובע כי לפתרונות משוואת '''לפלאס''' אין נקודות קיצון מקומיות בתוך התחום.

'''אינטואיטיבית:''' אם קיים למשל מינימום, אז השדה בסביבה כלשהו של נקודת המינימום בפוטנציאל יהיה מכוון אל המינימום. במקרה כזה, אם נבנה מעטפת קטנה סביב הנקודה, ונשתמש בחוק גאוס

<math display="block">\iint \vec E \cdot \hat n dS = Q_{in}</math>

ולכן חייב להיות מטען בנקודה. אבל <math>\phi</math> מקיים את משוואת לפלאס, כלומר הפוטנציאל הוא ללא מטענים בתחום, ולכן, לא יתכן שיש קיצון מקומי. (הטיעון תקף גם לנקודת מקסימום).

באופן ריגורוזי יותר, בנק' קיצון מקומית <math>\nabla \phi = 0</math>. כדי שזה אכן יהיה קיצון, נרשום את מטריצת ההסיאן:

<math display="block">\bar{\bar{H}} = 
\begin{pmatrix} \phi_{xx} & \phi_{xy} & \phi_{xz} \\ \phi_{yx} & \phi_{yy} & \phi_{yz}\\
\phi_{zx} & \phi_{zy} & \phi_{zz} \end{pmatrix}</math>
<br>
ולהאסיאן זה צריכים להיות ערכים עצמיים שהם כולם חיוביים (נקודת מינימום) או כולם שליליים (נקודת מקסימום):

<math display="block">\sum_i \lambda_i = tr({\bar{\bar{H}}}) =
\frac{\partial^2 \phi}{\partial^2 x} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial^2 y}+
\frac{\partial^2 \phi}{\partial^2 z} \underbrace{=}_{\text{Laplace}}0</math>ולכן לא יכולות להיות נקודות קיצון.

מכאן נובע ש <math>\phi</math> מקבלת את ערכי הקיצון שלה על השפה. אחת המסקנות מכאן היא שאם <math>\phi</math> קבועה על השפה, אז היא חייבת להיות קבועה בכל התחום ומכך נבין כי השדה בתוך התחום יהיה אפס.


=== יחידות הפתרון (פואסון) ===
נניח בשלילה שיש 2 פתרונות לבעיה <math>\phi_1</math>, <math>\phi_2</math>. נגדיר:

<math display="block">\phi_3 \equiv \phi_2-\phi_1</math>
ולכן:

<math display="block">
\nabla^2 \phi_3 = \nabla^2\phi_2 - \nabla^2\phi_1 = 
-\frac{\rho}{\epsilon_0} - (-\frac{\rho}{\epsilon_0})=0
</math>
מה לגבי תנאי שפה?

<math display="block">
\begin{cases}
\phi_3(r_{B,1}) = \phi_2(r_{B,1}) - \phi_1(r_{B,1}) = 0
\\
\left.\frac{\partial \phi_3}{\partial n}\right|_{r_{B,2}} = ... = 0
\end{cases}
</math>
המטרה: להראות ש <math>\vec E_3 = -\nabla \phi_3=0</math>, ומכאן ינבע ש <math>\vec E_1 = \vec E_2</math>.

אם נצליח להראות שהאנרגיה האגורה ב <math>\vec E_3</math> מתאפסת נוכל להסיק ש-<math>\vec E_3</math> הוא אפס זהותית בכל התחום. 
האנרגיה החשמלית האגורה בתחום היא:

<math display="block">u_E = \iiint_D \frac{\epsilon_0}{2}|\vec E_3|^2 dV</math>

נרצה לקשר את הביטוי ל <math>u_E</math> לערכי <math>\phi_3</math> או <math>\vec E_3</math> על השפה, על מנת להעזר בתנאי השפה הנתונים לנו.

נשתמש בזהות הוקטורית:
<math display="block">
\nabla \cdot (\psi \vec F) =
\psi(\nabla \cdot \vec F) + \nabla \psi \vec F
</math>
ונקבל:

<math display="block">
\nabla \cdot (\phi_3 \vec E_3) = \underbrace{\phi_3 (\nabla \cdot \vec E_3)}_{=\frac{\rho_3}{\epsilon_0}=0} 
+\underbrace{
\underbrace{\vec \nabla \phi_3}_{-\vec E_3}
\cdot \vec E_3}_{-|\vec E_3|^2}
</math>
כעת נציב זאת בביטוי לאנרגיה האגורה
<math display="block">\iiint_D \frac{\epsilon_0}{2} |\vec E_3|^2 =
\iiint_D \frac{\epsilon_0}{2} (-\nabla \cdot (\phi_3 \cdot \vec E_3 ))dV =
-\frac{\epsilon_0}{2} \iint_{S=\partial D} \phi_3 \vec E_3 \cdot \hat n dS
</math>
בנקודה <math>r_{B,1}</math> מתקיים <math>\phi_3=0</math>

בנקודה <math>r_{B,2}</math> מתקיים <math>\vec E_3 \cdot \hat n=0</math>

ולכן האינטגרנד מתאפס בכל מקום על השפה:

<math display="block">
\Rightarrow
\int \frac{\epsilon_0}{2} |E_3|^2 dV=0 \;\Rightarrow\;
\vec E_3 |_{\text{in all D}}=0
</math>
בעזרת זהות זו ניתן גם לקשור את האנרגיה האגורה לפוטנציאל ולפילוג המטען אם הוא ידוע. נניח <math> \mathcal{D} </math> אינסופי, ואנו יודעים את פילוג המטען בכל מקום, והוא מוגבל לאזור סופי במרחב:

<math display="block">\iiint_{\text{All space}} \frac{\epsilon_0}{2}|E|^2 = \frac{\epsilon_0}{2} \iiint \phi
\underbrace{(\nabla\cdot \vec E)}_{\frac{\rho}{\epsilon_0}}
- \frac{\epsilon_0}{2}\iiint \nabla\cdot(\phi_3 \vec E_3)</math>ממשפט הדיברגנץ נקבל:

<math display="block">\iiint \frac{\epsilon_0}{2} |E|^2 dV = \frac{\epsilon_0}{2}\iiint \phi \frac{\rho}{\epsilon_0} -\frac{\epsilon_0}{2} 
\underbrace{\oint_{\partial \mathcal{D}} \phi_3 \vec E_3 dr}_{\rightarrow 0 \text{ as }  V\rightarrow\infty}</math>ולכן:

<math display="block">\iiint \frac{\epsilon_0}{2} |E|^2 dV = \frac{1}{2} \iiint \rho dV 
\iiint \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot \frac{\rho}{|r-r'|} dV'</math>
<br>
<math display="block">\Rightarrow\;u_E = \frac{1}{2} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} 
\iiint\iiint \frac{\rho(r)\rho(r')}{|r-r'|} dV dV'</math>

=== משפט הערך הממוצע ===
משפט הערך הממוצע אומר שכל פתרון למשוואת לפלס בנקודה מסוימת שווה לממוצע ערכי הפתרון על כדור שהנקודה נמצאת במרכזו (איור 2).
[[File:Pic602.png|200px|thumb|left|איור 2]]
<math display="block">\phi(r) =\frac{1}{4\pi a^2}
\iint_{\text{sphere}} \phi(r') dS'</math>

את הפוטנציאל על שפת הכדור ניתן לרשום ע"י
<math display="block">
\phi(r')=\phi(r)+\left(-\int_r^{r'}\vec{E}\cdot\hat{R}dR\right)
</math>
כאשר את האינטגרציה בחרנו לעשות בכיוון הרדיאלי. מאחר והשדה משמר, אנו רשאים לבחור את מסלול האינטגרציה כרצוננו.
כעת, נציב בחישוב הערך הממוצע

<math display="block">
\frac{1}{4\pi a^2}\iint_{\text{sphere}} \phi(r') dS' =
</math>
<math display="block">
=\frac{1}{4\pi a^2}\iint_{\text{sphere}}\left[ \phi(r)+\left(-\int_r^{r'}\vec{E}\cdot\hat{R}dR\right) \right]dS'=
</math>
נחליף את סדר האינטגרציה
<math display="block">=
\phi(r) - \int_r^{r'}dR\left[\underbrace{\iint_{\text{Sphere}} \vec E \cdot \hat{R} dS'}_{=0 \text{ propotional to the flux of the field}}\right]
 = \phi(r)</math>

=== ייצוג נומרי מקורב למשוואת לפלאס ===
משוואת לפלס בקורדינטות קרטזיות היא
<math display="block">\phi_{xx} + \phi_{yy} + \phi_{zz}=0
</math>
אם נסתכל על נקודה ספציפית <math> (x,y,z) </math>, נוכל לרשום את ערכי הפוטנציאל בסביבתה ע"י פיתוח של הפוטנציאל לטור טיילור
<br>
<math display="block">
\begin{cases} 
\phi(x+\Delta x,y,z)=\phi(x,y,z)+ \Delta x\frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{1}{2}\Delta x ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} +... \\
\phi(x+\Delta x,y,z)=\phi(x,y,z)- \Delta x\frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{1}{2}\Delta x ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} +... \\
\phi(x,y+\Delta y,z)=\phi(x,y,z)+ \Delta y\frac{\partial \phi}{\partial y}+\frac{1}{2}\Delta y ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} +... \\
\phi(x,y-\Delta y,z)=\phi(x,y,z)- \Delta y\frac{\partial \phi}{\partial y}+\frac{1}{2}\Delta y ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} +... \\
\phi(x,y,z+\Delta z)=\phi(x,y,z)+ \Delta z\frac{\partial \phi}{\partial z}+\frac{1}{2}\Delta z ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} +... \\
\phi(x,y,z-\Delta z)=\phi(x,y,z)- \Delta z\frac{\partial \phi}{\partial z}+\frac{1}{2}\Delta z ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} +... 
\end{cases}
</math>
נניח ש <math>\Delta x = \Delta y = \Delta z \equiv \Delta</math>. בנוסף נניח ש <math>\Delta</math> הוא ממש קטן, כך שקירוב סדר שני הוא מספיק.
נסכום את כל המשוואות:

<math display="block">
\phi(x+\Delta) + \phi(x-\Delta) + \phi(y+\Delta) + \phi(y-\Delta)+\phi(z+\Delta)+\phi(z-\Delta) = 
6 \phi(x,y,z) + \Delta^2 \underbrace{\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\right)}_{=0}
</math>
נחלק ב - 6 ונקבל
<math display="block">\phi(x,y,z) = \frac{1}{6} [\phi(x+\Delta) + \phi(x-\Delta) + \phi(y+\Delta) + \phi(y-\Delta)+\phi(z+\Delta)+\phi(z-\Delta)]
</math>
כלומר, 
<math>\phi
</math> בנקודה x,y,z שווה לממוצע של הערכים בנקודת הסריג שמקיפות את הנקודה.

== פתרון בהפרדת משתנים ==
הפרדת משתנים היא טכניקת לפתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות כאשר פותרים בתחום ספרבילי - תחום שאת כל השפות שלו ניתן לתאר כמשטחים שווי קורדינטה. אפשרויות שונות לצורת התחום במערכות קורדינטות שונות ניתן לראות באיור 3.
<gallery widths=800px heights=350px class="center">
File:Pic603.png|איור 3 - פתרון בהפרדת משתנים בקורדינטות שונות
</gallery>
== הפרדת משתנים בקורדינטות קרטזיות ==
משוואת לפלאס בקורדינטות אלו:<math display="block">\phi_{xx} + \phi_{yy}+\phi_{zz}=0</math>
פתרון בהפרדת משתנים הוא פתרון המורכב ממכפלה של פונקציות, שכל אחת מהן תלויה במשתנה אחד בלבד, מהצורה

<math display="block">
\Phi = X(x) Y(y) Z(z)
</math>
נציב בלפלאס:
<math display="block">X''YZ+XY''Z+XYZ''=0</math>
נחלק ב <math> XYZ </math>, ונקבל:

<math display="block">\underbrace{\frac{X''}{X}}_{=-k_x^2 \text{ depends only on x}} +
\underbrace{\frac{Y''}{Y}}_{=-k_y^2 \text{ depends only on y}} +
\underbrace{\frac{Z''}{Z}}_{=-k_z^2 \text{ depends only on z}} =0</math>
מאחר וכל אחד מהמחוברים תלוי במשתנה יחיד, ושונה מהמחוברים האחרים, נובה שכל אחד משלושת המחברים חייב להיות פונקציה קבועה שאינה תלויה בקורדינטות. הקבועים חייבים לקיים את הקשר
<math display="block">\Rightarrow
k_x^2 + k_y^2 + k_z^2=0</math>
מכאן, הבעיה "מופרדת" ל-3 משוואות דיפרנציאליות רגילות:

<math display="block">(1) \frac{X''}{X}=-k_x^2,\;\;(2) \frac{Y''}{Y}=-k_y^2\;\;(3) \frac{Z''}{Z}=-k_z^2</math>

* הפיתרון הטריוויאלי:

<math display="block">k_x=k_y=k_z=0
\Rightarrow
X''=0,Y''=0,Z''=0</math><math display="block">\Rightarrow
\phi = (Ax+B)(Cy+D)(Ez+F)</math>

* במקרה הכללי:

<math display="block">\frac{X''}{X}=-k_x^2 \Rightarrow X''+k_x^2 X=0</math>נחלק לשני מקרים:
{| class="wikitable"
|+
!<math>k_x^2>0</math>
!<math>k_x^2<0</math>
|-
|<math>X=A\sin(k_x x)+B\cos(k_x x)</math>
|<math>X=A\cdot e^{\tilde k_x x} + B\cdot e^{-\tilde k_x x}</math>
|}
כאשר <math>k_x \equiv i \tilde k_x</math>.

באופן כללי, תמיד ניתן לרשום:

<math display="block">
\phi = (A\cos(k_x x)+B\sin(k_x x))\cdot (C\cos(k_y y)+D\sin(k_y y))
\cdot (E\cos(k_z z)+F\sin(k_z z))
</math>
מכיוון ש <math>k_x^2+k_y^2+k_z^2=0</math> , חלק מהקבועים חייבים להיות מדומים.

אופציה נוספת: לכתוב חלק מהפתרונות כפונקציות טריגונומטריות וחלק כאקספוננציאליות, כך ש:

<math display="block">\underbrace{\sum_m k_m^2}_{\text{Trigonometric}} = 
\underbrace{\sum_n \tilde k_n^2}_{\text{Exponential}}</math>

==== קורדינטות קרטזיות - דוגמא 1  ====
[[File:Pic604.png|200px|thumb|left|איור 4]]
באיור 4 נתון קבל לוחות. מתקיים - 
* הפוטנציאל בין לוחות הקבל מקיים <math>\nabla^2\phi = 0</math>
* התחום ספירבילי
* תנאי שפה: <math>\phi(z=0)=0,\phi(z=d)=V</math>

מאחר וערך הפוטנציאל קבוע על משטחים שווי z:

<math display="block">\phi=(Ez+F)\cdot (Ax+B)\cdot (Cy+D)</math>נציב תנאי שפה:

<math display="block">\phi(z=0)=F=0,\phi(z=d)=Ed= V </math><math display="block">\Rightarrow \phi=\frac{V}{d}\cdot z \Rightarrow\vec E = -\nabla \phi =-\frac{V}{d} \hat z</math>

==== קורדינטות קרטזיות - דוגמא 2 ====
[[File:Pic605.png|200px|thumb|left|איור 5]]

באיור 5 נתון המבנה הבא - חריץ דו-ממדי (אינסופי בכיוון הניצב לדף), ומעליו קובעים את הפוטנציאל על השפה העליונה, <math> \phi(y=a)=V(x) </math>.
נרצה לחשב את הפוטנציאל בתוך החריץ.

מאחר והבעיה דו-ממדית, נצפה שהפוטנציאל כלל לא יהיה תלוי בקורדינטה <math> z </math>, ולכן <math> k_z=0 </math>.
המשוואה שהפוטנציאל מקיים בתוך החריץ היא משוואת לפלאס, ולכן אנו יכולים לבחור את הפתרון מתוך "קטלוג" הפתרונות שפיתחנו לבעיות קרטזיות. 

<math display="block">\begin{cases} 
\text{No charge: } \nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}=0 \\
\text{Static problem: } \nabla \times \vec E = \mu_0 \frac{\partial H}{\partial t}=0 
\Rightarrow \vec E = -\nabla \phi
\end{cases}</math>

תנאי שפה:
<math display="block">\begin{cases} 
\phi(x=0)=\phi(x=d)=0 \\
\phi(y=0)=0 \\ 
\phi(y=a)=V(x) 
\end{cases}</math><math display="block">k_x^2+k_y^2=0\Rightarrow
|k_x|=|k_y|\equiv k</math>ולכן נכתוב את הפיתרון כך:

<math display="block">\phi = (A\sin(k x) + B\cos(k x))\cdot (C\sinh(k y) + D\cosh(k y))</math>
כאשר האינטואיציה לבחירת צורה זו נובעת מהעובדה שהפוטנציאל בבעיה זו מתאפס בשתי קורדינטות <math> X </math> שונות, ולכן בכיוון זה חייב להיות פתרון טריגונומטרי. נציב בתנאי שפה:

<math display="block">\begin{cases} 
\phi(x=0)=B\cdot f(y)=0 \Rightarrow B=0 \\ 
\phi(x=d)=A\sin(k d)\cdot f(y)=0 \Rightarrow \sin(kd)=0\Rightarrow k=\frac{\pi n}{d} , n\in\N\\ 
\phi(y=0)=g(x)\cdot D=0 \Rightarrow D=0
\end{cases}
</math>
עד כה, את הפיתרון ניתן לייצג באופן הבא:

<math display="block">
\phi = \sum_n \tilde A_n \sin(\frac{\pi n}{d}x) 
\underbrace{\sinh(\frac{\pi n a}{d})}_{\text{Constant}} =V(x)
</math>
ניתן לכתוב לפיכך:

<math display="block">\phi = \sum_n \tilde B_n \sin(\frac{\pi n}{d} x), \tilde B_n\equiv \tilde A_n
\sinh(\frac{\pi n a}{d})</math>
הערות:

# הטור הוא מייצג של פיתוח של פונקציות מחזוריות. נשאלת השאלה - אז איזו פונקציה אנחנו מפתחים לטור?
# מה המחזור של הפונקציה שמיוצגת על ידי הטור הנתון?

המחזור הכי גדול הוא של האיבר הראשון <math>\sin(\frac{\pi x}{d})</math>, שהמחזור שלו הוא <math> 2d </math>. נסיק כי המחזור של הפונקציה הוא <math> 2d </math>.

לפונקציה המחזורית המלאה נקרא <math>\tilde V(x)</math>.

בתחום <math>0<x<d</math> מתקיים: <math>\tilde V(x) = V(x)</math>. מאחר ומדובר בפיתוח לטור סינוסים נרחיב את הפונקציה <math> V(x) </math> הנתונה הרחבה אי-זוגית כדי לקבל את <math> \tilde{V}(x) </math>, למחזור של <math> 2d </math>.

עכשיו רק נותר למצוא את המקדמים בפיתוח של <math>\tilde V(x)</math> לטור הסינוסים:

<math display="block">\tilde V(x) = \sum_n B_n \sin(\frac{\pi n}{d} x) \text{ (*)}</math>
נשתמש בפונקציה <math>V(x)=V_0</math>:

נכפול את הביטוי (*) ב <math>\int_{-d}^d \sin(\frac{\pi}{d} mx) dx</math>:

<math display="block">\int_{-d}^d \sum_n \tilde B_n \sin(\frac{\pi}{d} nx) \sin(\frac{\pi}{d}mx) dx=
\int_{-d}^d \sin(\frac{\pi}{d} mx) \cdot \tilde V(x) dx</math>מאורתוגונליות:

<math display="block">\tilde B_m \int_{-d}^d \sin^2(mx) \cdot \frac{\pi}{d} dx =
2\int^d_0 V_0 \sin(\frac{\pi}{d} mx) dx</math>נקבל:

<math display="block">\tilde B_m \cdot d =
2\int_0^d V_0 \sin\left(mx \cdot \frac{\pi}{d}\right)  dx</math><math display="block">\Rightarrow \tilde B_m = 
\frac{4 V_0 d}{\pi m} \cdot 
\begin{cases} 0 , & \text{if }m\text{ is even} \\ 1, & \text{if }m\text{ is odd} \end{cases}
</math>
<math display="block">\Rightarrow
\phi = \sum_n \frac{8V_0}{(2n-1)\pi} \cdot 
\frac{1}{\sinh\left[\frac{\pi a}{d}\cdot (2n-1)\right]}\cdot
\sin\left(\frac{(2n-1)\cdot \pi x}{d}\right)\cdot
\sinh\left[\frac{(2n-1)\pi}{d}y\right]
</math>
<math display="block">\Rightarrow
\vec E = -\nabla \phi = 
\sum_n \frac{-8V_0}{d \sinh(\frac{(2n-1)\pi a}{d})}\left[
\cos\left(\frac{(2n-1)\pi x}{d} \right)\cdot \sinh\left[\frac{(2n-1)\pi y}{d}\right] \hat x +
\sin\left(\frac{(2n-1)\pi x}{d} \right)\cdot \cosh\left[\frac{(2n-1)\pi y}{d}\right] \hat y
\right]
</math>
<gallery widths=900px heights=450px class="center">
File:Pic607.png| איור 7 - תרשים שדה (אדום) וקווים שווי פוטנציאל (שחור)
</gallery>

'''מה הקיבול?'''

[[File:Pic608.png|200px|thumb|left|איור 8]]

כדי לחשב את הקיבול, נחשב את סף המטען על האלקטרודה <math>V(x)</math>.

<math display="block">\eta = \hat y \cdot (\epsilon_0 \vec E_{up} - \epsilon_0 \vec E_{down})=
-2\hat y \cdot \epsilon_0 \cdot \vec E_{down}|_{\text{middle board}}=
-2 \epsilon_0 (-\frac{\partial \phi}{\partial y})|_{y=a} = ...</math><math display="block">...=
\sum_n \frac{-8 V_0 \epsilon_0}{d} \cdot (-2) \cdot \coth(\frac{(2n-1)\pi a}{d})
\cdot \sin(\frac{(2n-1)\pi x}{d})</math>נחשב את סך המטען:

<math display="block">Q = \int^d_0 \eta dx = 
\sum_n \frac{32 V_0 \epsilon_0}{2n-1} \coth(\frac{(2n-1)\pi a}{d})</math>אך זה מתבדר בגלל אי הרציפות של הפוטנציאל.

בבעיה אמיתית ניתן להניח שהשינוי של הפוטנציאל ב - δ (איור 8) הוא לינארי.

[[File:Pic609.png|200px|thumb|left|איור 9 - גרף מקורב לקיבול]]