פרק 0 - מבוא מתמטי - Revision history

84.110.59.168 at 15:11, 7 May 2023

2023-05-07T15:11:55Z

← Older revision		Revision as of 11:11, 7 May 2023
Line 129:		Line 129:
	נגדיר משטח באמצעות הפרמטריזציה הבאה:		נגדיר משטח באמצעות הפרמטריזציה הבאה:

	<math display="block">S=[X(u,v),Y(u,v),Z(u,v)]</math>המקדמים המטריים של המשטח יכולים להיות ~~מוגדים~~ ע"י:		<math display="block">S=[X(u,v),Y(u,v),Z(u,v)]</math>המקדמים המטריים של המשטח יכולים להיות מוגדרים ע"י:

	<math display="block">\begin{cases}		<math display="block">\begin{cases}

85.64.114.243: /* הגדרת הדיברגנץ */

2023-03-13T18:51:19Z

הגדרת הדיברגנץ

← Older revision		Revision as of 14:51, 13 March 2023
Line 70:		Line 70:
	\iiint_V div(\vec{F})dV=\iint_{S=\partial V} \vec{F}\cdot\vec{da}		\iiint_V div(\vec{F})dV=\iint_{S=\partial V} \vec{F}\cdot\vec{da}
	</math>		</math>
	כלומר, סכימת הדיברגנץ בנפח נתון שקולה לחישוב ~~שדה~~ השדה החוצה את המעטפת. מכאן, אם ניקח נפח קטן מאוד <math> dV </math>, ונניח שדיברגנץ השדה הוא פונקציה "חלקה" שלא משתנה משמעותית אם הנפח קטן מאוד, נקבל <math> div(\vec{F})_{\vec{r}}dV=\iint_{S=\partial V} \vec{F}\cdot\vec{da} </math> ומכאן נוכל לקבל את ההגדרה הפורמלית		כלומר, סכימת הדיברגנץ בנפח נתון שקולה לחישוב שטף השדה החוצה את המעטפת. מכאן, אם ניקח נפח קטן מאוד <math> dV </math>, ונניח שדיברגנץ השדה הוא פונקציה "חלקה" שלא משתנה משמעותית אם הנפח קטן מאוד, נקבל <math> div(\vec{F})_{\vec{r}}dV=\iint_{S=\partial V} \vec{F}\cdot\vec{da} </math> ומכאן נוכל לקבל את ההגדרה הפורמלית
	<div id="def_div" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">		<div id="def_div" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
	<math>		<math>
Line 181:		Line 181:
	\frac{1}{h_u h_v} [\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_v)] h_u		\frac{1}{h_u h_v} [\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_v)] h_u
	}_{\equiv \nabla_s \cdot F}		}_{\equiv \nabla_s \cdot F}
	\underbrace{du h_v dv}_{ds}</math>כעת, ~~נסטכל~~ על משטחים בעלי קורדינטה שווה <math>w=const</math>, בהשוואה לדיברגנט התלת מימדי:		\underbrace{du h_v dv}_{ds}</math>כעת, נסתכל על משטחים בעלי קורדינטה שווה <math>w=const</math>, בהשוואה לדיברגנט התלת מימדי:

	<math display="block">\begin{cases}		<math display="block">\begin{cases}

85.64.114.243: /* יחסים מטריים */

2023-03-12T20:14:00Z

יחסים מטריים

← Older revision		Revision as of 16:14, 12 March 2023
Line 19:		Line 19:
	</math>		</math>
	</div>		</div>
	שינוי קטן בוקטור המיקום הנובע מצעד אינפיטסימלי בכיוון הקורדינטה <math> u_1 </math> ניתן לרשום על ידי <math> /vec{dr}=h_1du_1\hat{u_1} </math> כאשר <math> h_1 </math> הוא '''היחס המטרי''' - היחס הקושר בין ערך השנוי בקורדינטה (<math> du_1 </math>), לגודל הצעד ה"אמיתי" שעשינו במרחב.		שינוי קטן בוקטור המיקום הנובע מצעד אינפיטסימלי בכיוון הקורדינטה <math> u_1 </math> ניתן לרשום על ידי <math> \vec{dr}=h_1du_1\hat{u_1} </math> כאשר <math> h_1 </math> הוא '''היחס המטרי''' - היחס הקושר בין ערך השנוי בקורדינטה (<math> du_1 </math>), לגודל הצעד ה"אמיתי" שעשינו במרחב.
	<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">		<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
	<math>		<math>
Line 31:		Line 31:
	</math>		</math>
	</div>		</div>
	וניתן לרשום את אלמנטי האורך בכיוון כל אחת מהקורדינטות ~~בקמצעות~~ קשרים אלו - <math> d\ell_1=h_1du_1,\; d\ell_2=h_2du_2,\; d\ell_3=h_3du_3 </math>.		וניתן לרשום את אלמנטי האורך בכיוון כל אחת מהקורדינטות באמצעות קשרים אלו - <math> d\ell_1=h_1du_1,\; d\ell_2=h_2du_2,\; d\ell_3=h_3du_3 </math>.

	באופן דומה ניתן להראות ששטחו של אלמנט שטח קטן שנוצר כתוצאה מתוספת אינפיטסימלית לקורדינטות <math> u_2,u_3 </math> לדוגמא יהיה		באופן דומה ניתן להראות ששטחו של אלמנט שטח קטן שנוצר כתוצאה מתוספת אינפיטסימלית לקורדינטות <math> u_2,u_3 </math> לדוגמא יהיה

RonelM at 19:43, 12 May 2022

2022-05-12T19:43:50Z

← Older revision		Revision as of 15:43, 12 May 2022
Line 168:		Line 168:
	</math>כעת, נגדיר את השדה הוקטורי על השפה:		</math>כעת, נגדיר את השדה הוקטורי על השפה:

	<math display="block">F=F_u(u,v) \hat u + F_v(u,v) \hat v</math>כעת נחשב את השטף העובר דרך משטח סופי:		<math display="block">F=F_u(u,v) \hat u + F_v(u,v) \hat v</math>
			[[File:Wiki0New.png\|500px\|thumb\|center\|תרשים 4 - השטח האינפיטיסימלי הנוצר ע"י du,dv]]
			כעת נחשב את השטף העובר דרך משטח סופי:

	<math display="block">\psi = \oint_l F \cdot \hat n_l dl = </math><math display="block">=F_u(u+du,v)h_v(u+du,v)dv - F_u(u,v)h_v(u,v)dv +		<math display="block">\psi = \oint_l F \cdot \hat n_l dl = </math><math display="block">=F_u(u+du,v)h_v(u+du,v)dv - F_u(u,v)h_v(u,v)dv +

RonelM at 19:38, 12 May 2022

2022-05-12T19:38:25Z

@@ Line 10: / Line 10: @@
 </div>
 אם המשטחים שווי הערך (כלומר המשטחים המקיימים את המשוואות <math> u_i(x,y,z)=u_{i,0} </math>) ניצבים זה לזה בכל נקודה ונקודה, הפונקציות מגדירות מערכת קורדינטות אורתוגונלית, והמשוואות הנ"ל מגדירות משטחים שווי קורדינטה. וקטורי היחידה בכיוון הקורדינטות, המסומנים <math> \hat{u_i} </math> מוגדרים בכיוון הגדלת הקורדינטה <math> u_i </math> כאשר הקורדינטות האחרות קבועות.
-[[file:c0f1.png|thumbnail|left|תרשים 1 - משטחים שווי קורדינטה במערכת אורתוגונלית כללית]]
+[[File:C0f1.png|left|thumb|תרשים 1 - משטחים שווי קורדינטה במערכת אורתוגונלית כללית]]
 === יחסים מטריים ===
 אם נניח שניתן להפוך את היחסים, ניתן לרשום את וקטור המיקום על ידי
@@ Line 44: / Line 45: @@
 </math>
 </div>
 === דוגמא - קורדינטות גליליות ===
 קורדינטות גליליות מוגדרות על ידי הטרנספורמציה
@@ Line 59: / Line 61: @@
 </math>
 </div>
 == הגדרות האופרטורים הדיפרנציאליים ==
 === הגדרת הדיברגנץ ===
-[[file:c0f2.jpg|thumbnail|left|תרשים 2]]
+[[File:C0f2.jpg|left|thumb|תרשים 2]]
 על מנת לקבל אינטואיציה לגבי הגדרת הדיברגנץ של שדה וקטורי בנקודה מסוימת, אינטואיטיבי להתחיל ממשפט הדיברגנץ. אמנם יש כאן שאלה של "ביצה ותרנגולת", אך בשל ההיכרות של רבים עם המשפט, והשלכותיו, זה אינטואיטיבי מאוד להתחיל ממנו (תרשים 2)
 <math>
@@ Line 91: / Line 95: @@
 </div>
 בדף הנוסחאות של הקורס (שגם יחולק בבחינה) ניתן למצוא ביטויים אלו רשומים עבור שלוש מערכות הקורדינטות הנפוצות ביותר - קרטזית, גלילית, וכדורית.
 === הגדרת הרוטור (Curl) ===
 נתחיל גם כאן במשפט האינטגרלי המתאים - משפט סטוקס. לצורך כך נגדיר משטח <math> S </math>, ואת שפתו של המשטח <math> C=\partial S </math> (תרשים 3 משמאל)
-[[file:c0f3b.jpg|thumbnail|left|תרשים 3]]
+[[File:C0f3b.jpg|left|thumb|תרשים 3]]
 <div id="def_rot" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <math>
@@ Line 121: / Line 126: @@
 באופן דומה ניתן לבצע את האינטגרציה עבור רכיבים הרוטור האחרים. בדף הנוסחאות של הקורס ביטויים אלו נתונים עבור שלוש מערכת הקורדינטות הנפוצות. גם פעולה זו נהוג להציג באמצעות אופרטור הנבלה - <math> curl(\vec{F})=\nabla\times\vec{F} </math>.
 </div>

EMFWIKIAdmin at 12:04, 16 November 2021

2021-11-16T12:04:04Z

← Older revision		Revision as of 08:04, 16 November 2021
Line 94:		Line 94:
	נתחיל גם כאן במשפט האינטגרלי המתאים - משפט סטוקס. לצורך כך נגדיר משטח <math> S </math>, ואת שפתו של המשטח <math> C=\partial S </math> (תרשים 3 משמאל)		נתחיל גם כאן במשפט האינטגרלי המתאים - משפט סטוקס. לצורך כך נגדיר משטח <math> S </math>, ואת שפתו של המשטח <math> C=\partial S </math> (תרשים 3 משמאל)
	[[file:c0f3b.jpg\|thumbnail\|left\|תרשים 3]]		[[file:c0f3b.jpg\|thumbnail\|left\|תרשים 3]]
	<div id="~~rot_div~~" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">		<div id="def_rot" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
	<math>		<math>
	\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}=\iint_S curl\left(\vec{F}\right)\cdot\hat{n}da		\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}=\iint_S curl\left(\vec{F}\right)\cdot\hat{n}da

EMFWIKIAdmin at 12:03, 16 November 2021

2021-11-16T12:03:20Z

← Older revision		Revision as of 08:03, 16 November 2021
Line 94:		Line 94:
	נתחיל גם כאן במשפט האינטגרלי המתאים - משפט סטוקס. לצורך כך נגדיר משטח <math> S </math>, ואת שפתו של המשטח <math> C=\partial S </math> (תרשים 3 משמאל)		נתחיל גם כאן במשפט האינטגרלי המתאים - משפט סטוקס. לצורך כך נגדיר משטח <math> S </math>, ואת שפתו של המשטח <math> C=\partial S </math> (תרשים 3 משמאל)
	[[file:c0f3b.jpg\|thumbnail\|left\|תרשים 3]]		[[file:c0f3b.jpg\|thumbnail\|left\|תרשים 3]]
	<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">		<div id="rot_div" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
	<math>		<math>
	\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}=\iint_S curl\left(\vec{F}\right)\cdot\hat{n}da		\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}=\iint_S curl\left(\vec{F}\right)\cdot\hat{n}da

EMFWIKIAdmin at 08:21, 16 November 2021

2021-11-16T08:21:41Z

← Older revision		Revision as of 04:21, 16 November 2021
Line 61:		Line 61:
	== הגדרות האופרטורים הדיפרנציאליים ==		== הגדרות האופרטורים הדיפרנציאליים ==
	=== הגדרת הדיברגנץ ===		=== הגדרת הדיברגנץ ===
	~~{{anchor\|defdiv}}~~
	[[file:c0f2.jpg\|thumbnail\|left\|תרשים 2]]		[[file:c0f2.jpg\|thumbnail\|left\|תרשים 2]]
	על מנת לקבל אינטואיציה לגבי הגדרת הדיברגנץ של שדה וקטורי בנקודה מסוימת, אינטואיטיבי להתחיל ממשפט הדיברגנץ. אמנם יש כאן שאלה של "ביצה ותרנגולת", אך בשל ההיכרות של רבים עם המשפט, והשלכותיו, זה אינטואיטיבי מאוד להתחיל ממנו (תרשים 2)		על מנת לקבל אינטואיציה לגבי הגדרת הדיברגנץ של שדה וקטורי בנקודה מסוימת, אינטואיטיבי להתחיל ממשפט הדיברגנץ. אמנם יש כאן שאלה של "ביצה ותרנגולת", אך בשל ההיכרות של רבים עם המשפט, והשלכותיו, זה אינטואיטיבי מאוד להתחיל ממנו (תרשים 2)

EMFWIKIAdmin at 08:18, 16 November 2021

2021-11-16T08:18:11Z

← Older revision		Revision as of 04:18, 16 November 2021
Line 61:		Line 61:
	== הגדרות האופרטורים הדיפרנציאליים ==		== הגדרות האופרטורים הדיפרנציאליים ==
	=== הגדרת הדיברגנץ ===		=== הגדרת הדיברגנץ ===
			{{anchor\|defdiv}}
	[[file:c0f2.jpg\|thumbnail\|left\|תרשים 2]]		[[file:c0f2.jpg\|thumbnail\|left\|תרשים 2]]
	על מנת לקבל אינטואיציה לגבי הגדרת הדיברגנץ של שדה וקטורי בנקודה מסוימת, אינטואיטיבי להתחיל ממשפט הדיברגנץ. אמנם יש כאן שאלה של "ביצה ותרנגולת", אך בשל ההיכרות של רבים עם המשפט, והשלכותיו, זה אינטואיטיבי מאוד להתחיל ממנו (תרשים 2)		על מנת לקבל אינטואיציה לגבי הגדרת הדיברגנץ של שדה וקטורי בנקודה מסוימת, אינטואיטיבי להתחיל ממשפט הדיברגנץ. אמנם יש כאן שאלה של "ביצה ותרנגולת", אך בשל ההיכרות של רבים עם המשפט, והשלכותיו, זה אינטואיטיבי מאוד להתחיל ממנו (תרשים 2)

EMFWIKIAdmin at 08:07, 16 November 2021

2021-11-16T08:07:38Z

← Older revision		Revision as of 04:07, 16 November 2021
Line 67:		Line 67:
	</math>		</math>
	כלומר, סכימת הדיברגנץ בנפח נתון שקולה לחישוב שדה השדה החוצה את המעטפת. מכאן, אם ניקח נפח קטן מאוד <math> dV </math>, ונניח שדיברגנץ השדה הוא פונקציה "חלקה" שלא משתנה משמעותית אם הנפח קטן מאוד, נקבל <math> div(\vec{F})_{\vec{r}}dV=\iint_{S=\partial V} \vec{F}\cdot\vec{da} </math> ומכאן נוכל לקבל את ההגדרה הפורמלית		כלומר, סכימת הדיברגנץ בנפח נתון שקולה לחישוב שדה השדה החוצה את המעטפת. מכאן, אם ניקח נפח קטן מאוד <math> dV </math>, ונניח שדיברגנץ השדה הוא פונקציה "חלקה" שלא משתנה משמעותית אם הנפח קטן מאוד, נקבל <math> div(\vec{F})_{\vec{r}}dV=\iint_{S=\partial V} \vec{F}\cdot\vec{da} </math> ומכאן נוכל לקבל את ההגדרה הפורמלית
	<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">		<div id="def_div" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
	<math>		<math>
	\left. div(\vec{F})\right\|_{\vec{r}}=\lim_{V\rightarrow 0}\frac{1}{V}\iint_{S=\partial V}\vec{F}\cdot\vec{da}		\left. div(\vec{F})\right\|_{\vec{r}}=\lim_{V\rightarrow 0}\frac{1}{V}\iint_{S=\partial V}\vec{F}\cdot\vec{da}