פרק 13 - אנרגיה - Revision history

2.54.144.100 at 12:47, 5 May 2025

2025-05-05T12:47:38Z

← Older revision		Revision as of 08:47, 5 May 2025
Line 1:		Line 1:
	<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">		<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
	== אנרגיה ==		== אנרגיה בחומר ==

	=== משפט פוינטינג ===		=== משפט פוינטינג ===

EMFWIKIAdmin: /* משפט פוינטינג בחומרים לינאריים */

2025-05-05T07:11:31Z

משפט פוינטינג בחומרים לינאריים

← Older revision		Revision as of 03:11, 5 May 2025
Line 90:		Line 90:
	אם יש חומר לינארי לגמרי שבו		אם יש חומר לינארי לגמרי שבו
	<math>\vec D = \epsilon\vec E \ ,\ \vec B = \mu\vec H </math>		<math>\vec D = \epsilon\vec E \ ,\ \vec B = \mu\vec H </math>
	אז ניתן לכתוב את משפט פוינטינג באופן הבא:
			אז ניתן לכתוב את משפט פוינטינג באופן הבא:

	<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\epsilon}{2}\|\vec E\|^2\right)+\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\mu}{2}\|\vec H\|^2\right) + \sigma\|\vec E\|^2 + \vec E \cdot \vec J_S </math>		<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\epsilon}{2}\|\vec E\|^2\right)+\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\mu}{2}\|\vec H\|^2\right) + \sigma\|\vec E\|^2 + \vec E \cdot \vec J_S </math>

	כלומר, בחומר לינארי ניתן להגדיר מחדש את הביטויים לאנרגיה האגורה כך שיכללו את תכונות החומר, הבאות לידי ביטוי בערכי הפרמיטיביות <math>\epsilon </math> והפרמאביליות <math>\mu </math>.		כלומר, בחומר לינארי ניתן להגדיר מחדש את הביטויים לאנרגיה האגורה כך שיכללו את תכונות החומר, הבאות לידי ביטוי בערכי הפרמיטיביות <math>\epsilon </math> והפרמאביליות <math>\mu </math>.
	</div>		</div>

EMFWIKIAdmin: /* משפט פוינטינג בחומרים לינאריים */

2025-05-05T07:10:56Z

משפט פוינטינג בחומרים לינאריים

← Older revision		Revision as of 03:10, 5 May 2025
Line 88:		Line 88:

	=== משפט פוינטינג בחומרים לינאריים ===		=== משפט פוינטינג בחומרים לינאריים ===
	אם יש חומר לינארי לגמרי שבו <math>\vec D = \epsilon\vec E \ ,\ \vec B = \mu\vec H </math> אז ניתן לכתוב את משפט פוינטינג באופן הבא:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \frac{\partial}{\partial t}(\frac{\epsilon}{2}\|\vec E\|^2)+\frac{\partial}{\partial t}(\frac{\mu}{2}\|\vec H\|^2) + \sigma\|\vec E\|^2 + \vec E \cdot \vec J_S </math></div>		אם יש חומר לינארי לגמרי שבו
			<math>\vec D = \epsilon\vec E \ ,\ \vec B = \mu\vec H </math>
			אז ניתן לכתוב את משפט פוינטינג באופן הבא:
			<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\epsilon}{2}\|\vec E\|^2\right)+\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\mu}{2}\|\vec H\|^2\right) + \sigma\|\vec E\|^2 + \vec E \cdot \vec J_S </math>
			כלומר, בחומר לינארי ניתן להגדיר מחדש את הביטויים לאנרגיה האגורה כך שיכללו את תכונות החומר, הבאות לידי ביטוי בערכי הפרמיטיביות <math>\epsilon </math> והפרמאביליות <math>\mu </math>.
			</div>

EMFWIKIAdmin: /* משפט פוינטינג */

2025-05-05T07:07:02Z

משפט פוינטינג

← Older revision		Revision as of 03:07, 5 May 2025
Line 30:		Line 30:
	\|<math>\partial_t W_H=\partial_t \left(\frac{1}{2}\epsilon_0\|\vec{E}\|^2\right)</math>		\|<math>\partial_t W_H=\partial_t \left(\frac{1}{2}\epsilon_0\|\vec{E}\|^2\right)</math>
	\|צפיפות ההספק המושקעת בבניית האנרגיה המגנטית האגורה בשדה המגנטי H		\|צפיפות ההספק המושקעת בבניית האנרגיה המגנטית האגורה בשדה המגנטי H
	\|<math>\frac{~~Joule~~}{m^3}</math>		\|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
	\|-		\|-
	\|<math>\partial_t W_E</math>		\|<math>\partial_t W_E=\partial_t \left(\frac{1}{2}\mu_0\|\vec{H}\|^2\right)</math>
	\|צפיפות ההספק המושקעת בבניית האנרגיה החשמלית האגורה בשדה החשמלי E		\|צפיפות ההספק המושקעת בבניית האנרגיה החשמלית האגורה בשדה החשמלי E
	\|<math>\frac{~~Joule~~}{m^3}</math>		\|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
	\|-		\|-
	\|<math>P_H</math>		\|<math>P_H</math>

EMFWIKIAdmin: /* משפט פוינטינג */

2025-05-05T06:53:35Z

משפט פוינטינג

← Older revision		Revision as of 02:53, 5 May 2025
Line 28:		Line 28:
	\|<math>\frac{Watt}{m^2}</math>		\|<math>\frac{Watt}{m^2}</math>
	\|-		\|-
	\|<math>\partial_t W_H</math>		\|<math>\partial_t W_H=\partial_t \left(\frac{1}{2}\epsilon_0\|\vec{E}\|^2\right)</math>
	\|צפיפות ההספק המושקעת בבניית האנרגיה המגנטית האגורה בשדה המגנטי H		\|צפיפות ההספק המושקעת בבניית האנרגיה המגנטית האגורה בשדה המגנטי H
	\|<math>\frac{Joule}{m^3}</math>		\|<math>\frac{Joule}{m^3}</math>

EMFWIKIAdmin: /* משפט פוינטינג */

2025-05-05T06:48:19Z

משפט פוינטינג

← Older revision		Revision as of 02:48, 5 May 2025
Line 5:		Line 5:
	בוואקום ראינו את משפט פוינטינג:<math display="block">-\nabla\cdot		בוואקום ראינו את משפט פוינטינג:<math display="block">-\nabla\cdot
	\underbrace{(\vec E \times \vec H)}_{\vec S}		\underbrace{(\vec E \times \vec H)}_{\vec S}
	= \frac{\partial}{\partial t}\underbrace{(\frac{\epsilon_0}{2}\|\vec E\|^2+\frac{\mu_0}{2}\|\vec H\|^2)}_{\text{stored energy}} +\underbrace{\vec E \cdot \vec J}_{\text{conduction power} } </math>כעת, לאחר שפתרנו את משוואות מקסוול בחומר ורכשנו הבנה על התגובה של חומרים לשדות הפועלים בתוכם, ננסה להבין את ההשפעה של מאזן האנרגיה בבעיה.		= \frac{\partial}{\partial t}\underbrace{(\frac{\epsilon_0}{2}\|\vec E\|^2+\frac{\mu_0}{2}\|\vec H\|^2)}_{\text{stored energy}} +\underbrace{\vec E \cdot \vec J}_{\text{conduction power} } </math>
	לצורך כך, נביט על:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = -(\nabla\times\vec E)\cdot\vec H + \vec E\cdot(\nabla\times\vec H) = -\vec H\cdot\underbrace{(-\partial_t\vec B)}_{Faraday} + \vec E\cdot\underbrace{(\vec J + \partial_t\vec D)}_{Amper}= \vec H\cdot(\partial_t\vec B) + \vec E\cdot(\vec J + \partial_t\vec D) </math>כאשר במעבר הראשון השתמשנו בזהות הוקטורית האהובה:<math display="block">\nabla\cdot(A \times B) = B\cdot(\nabla\times A) - A\cdot(\nabla\times B) </math>נשתמש בהגדרות המוכרות:<math display="block">\vec D = \epsilon_0\vec E + \vec P \quad ,\quad \vec B = \mu_0(\vec H +\vec M) \quad , \quad \vec J = \underbrace{\vec J_{cond}}_{conduction} +\underbrace{\vec J_s}_{source} </math>נציב במשוואה שפיתחנו למשפט פוינטינג ונקבל:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \vec H\cdot\partial_t[\mu_0(\vec H+\vec M)] + \vec E\cdot\partial_t[\epsilon_0\vec E + \vec P]+ \vec E\cdot(\vec J_s + \vec J_{cond}) </math>נסתכל על כל רכיבי המשוואה:<math display="block">-\nabla\cdot(\underbrace{\vec E \times \vec H}_{\vec S}) = \underbrace{\vec H\cdot\partial_t(\mu_0\vec H)}_{W_H} + \underbrace{\vec H\cdot\underbrace{\partial_t(\mu_0\vec M)}_{\vec J_m}}_{P_H} + \underbrace{\vec E\cdot\partial_t(\epsilon_0\vec E)}_{W_E} + \underbrace{\vec E\cdot\underbrace{\partial_t\vec P}_{\vec J_p}}_{P_E}+ \underbrace{\vec E\cdot\vec J_s}_{P_S} + \underbrace{\vec E\cdot\vec J_{cond}}_{P_{cond}=\sigma\|\vec E\|^2} </math>כאשר הגדרנו:		כעת, לאחר שפתרנו את משוואות מקסוול בחומר ורכשנו הבנה על התגובה של חומרים לשדות הפועלים בתוכם, ננסה להבין את ההשפעה של מאזן האנרגיה בבעיה.
			לצורך כך, נביט על:
			<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = -(\nabla\times\vec E)\cdot\vec H + \vec E\cdot(\nabla\times\vec H) = -\vec H\cdot\underbrace{(-\partial_t\vec B)}_{Faraday} + \vec E\cdot\underbrace{(\vec J + \partial_t\vec D)}_{Amper}= \vec H\cdot(\partial_t\vec B) + \vec E\cdot(\vec J + \partial_t\vec D) </math>
			כאשר במעבר הראשון השתמשנו בזהות הוקטורית האהובה:
			<math display="block">\nabla\cdot(A \times B) = B\cdot(\nabla\times A) - A\cdot(\nabla\times B) </math>
			נשתמש בהגדרות המוכרות:
			<math display="block">\vec D = \epsilon_0\vec E + \vec P \quad ,\quad \vec B = \mu_0(\vec H +\vec M) \quad , \quad \vec J = \underbrace{\vec J_{cond}}_{conduction} +\underbrace{\vec J_s}_{source} </math>
			נציב במשוואה שפיתחנו למשפט פוינטינג ונקבל:
			<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \vec H\cdot\partial_t[\mu_0(\vec H+\vec M)] + \vec E\cdot\partial_t[\epsilon_0\vec E + \vec P]+ \vec E\cdot(\vec J_s + \vec J_{cond}) </math>
			נסתכל על כל רכיבי המשוואה:
			<math display="block">-\nabla\cdot(\underbrace{\vec E \times \vec H}_{\vec S}) = \underbrace{\vec H\cdot\partial_t(\mu_0\vec H)}_{\partial_t W_H} + \underbrace{\vec H\cdot\underbrace{\partial_t(\mu_0\vec M)}_{\vec J_m}}_{P_H} + \underbrace{\vec E\cdot\partial_t(\epsilon_0\vec E)}_{\partial_t W_E} + \underbrace{\vec E\cdot\underbrace{\partial_t\vec P}_{\vec J_p}}_{P_E}+ \underbrace{\vec E\cdot\vec J_s}_{P_S} + \underbrace{\vec E\cdot\vec J_{cond}}_{P_{cond}=\sigma\|\vec E\|^2} </math>
			כאשר הגדרנו:
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\|+הגדרות		\|+הגדרות
Line 17:		Line 28:
	\|<math>\frac{Watt}{m^2}</math>		\|<math>\frac{Watt}{m^2}</math>
	\|-		\|-
	\|<math>W_H</math>		\|<math>\partial_t W_H</math>
	\|צפיפות האנרגיה האגורה בשדה המגנטי		\|צפיפות ההספק המושקעת בבניית האנרגיה המגנטית האגורה בשדה המגנטי H
	\|<math>\frac{Joule}{m^3}</math>		\|<math>\frac{Joule}{m^3}</math>
	\|-		\|-
	\|<math>W_E</math>		\|<math>\partial_t W_E</math>
	\|צפיפות האנרגיה האגורה בשדה החשמלי		\|צפיפות ההספק המושקעת בבניית האנרגיה החשמלית האגורה בשדה החשמלי E
	\|<math>\frac{Joule}{m^3}</math>		\|<math>\frac{Joule}{m^3}</math>
	\|-		\|-

EMFWIKIAdmin: /* הספק פולריזציה (איור 2) */

2025-05-05T06:37:47Z

הספק פולריזציה (איור 2)

← Older revision		Revision as of 02:37, 5 May 2025
Line 53:		Line 53:
	=== הספק פולריזציה (איור 2) ===		=== הספק פולריזציה (איור 2) ===
	[[File:Pic1302.png\|500px\|thumb\|center\|איור 2]]		[[File:Pic1302.png\|500px\|thumb\|center\|איור 2]]
			אם נסתכל על מקרה של חומר פסיבי, המתואר בצד שמאל של איור 2, ונחשב את העבודה המושקעת בבניית הפולריזציה מ-0 עד לערך מסוים, ע"י
			<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P \Rightarrow W_p = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\partial_t\vec P\cdot dt = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\frac{\partial\vec P}{\partial t}\cdot dt = \int_{P_1}^{P_2}\vec E\cdot d\vec P </math>
			נקבל ערך חיובי. אם כעת נחזור חזרה למצב ללא פולריזציה נקבל <math>W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} = 0 </math>.
			לעומת זאת, בחומר המאופיין על ידי לולאת היסטרזיס, כפי שמתואר בצד ימין של איור 2, העבודה המושקעת בבניית הפולריזציה לא "מוחזרת" במלואה כאשר הפולריזציה יורדת חזרה. מאחר והאינטגרציה בשני הכיוונים מתבצעת על קווים שונים בתרשים (כתום וכחול, או צהוב וכחול, כתלות במצב ההתחלתי).

	כאשר נחזור חזרה, נקבל את אותה עבודה, אך בסימן שלילי, ולכן <math>W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} = 0 </math>.<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P \Rightarrow W_p = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\partial_t\vec P\cdot dt = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\frac{\partial\vec P}{\partial t}\cdot dt = \int_{P_1}^{P_2}\vec E\cdot d\vec P </math>במקרה מחזורי <math>E_0\rightarrow -E_0 \rightarrow E_0 </math>, לדוגמה <math>E(t) = E_0\cos(\omega t) </math>, ההפסד במחזור שלם הוא שטח הלולאה <math>W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} > 0 </math>.		במקרה מחזורי
			<math>E_0\rightarrow -E_0 \rightarrow E_0 </math>, לדוגמה <math>E(t) = E_0\cos(\omega t) </math>,
			ההפסד במחזור שלם הוא שטח הלולאה
			<math>W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} > 0 </math>.

	==== הספק פולריזציה - חומר דיאלקטרי ====		==== הספק פולריזציה - חומר דיאלקטרי ====
	<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \vec E\cdot\partial_t\epsilon_0\chi_E\vec E </math>אם <math>\chi_E </math> לא תלוי בזמן, ניתן לרשום:<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \epsilon_0\chi_E\vec E\cdot\partial_t\vec E = \epsilon_0\chi_E\cdot\frac{1}{2}\partial_t\|\vec E\|^2 </math>ניתן במקרה זה "לצרף" את הספק הפולריזציה לאנרגיה האגורה.<math display="block">W_E + W_P = \frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0\|\vec E\|^2+\frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0\chi_E\|\vec E\|^2=\frac{1}{2}\partial_t(1+\chi_E)\|\vec E\|^2\epsilon_0 = \frac{1}{2}\partial_t\epsilon\|\vec E\|^2 = W_{E,material} </math>		<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \vec E\cdot\partial_t\epsilon_0\chi_E\vec E </math>
			אם
			<math>\chi_E </math>
			לא תלוי בזמן, ניתן לרשום:
			<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \epsilon_0\chi_E\vec E\cdot\partial_t\vec E = \epsilon_0\chi_E\cdot\frac{1}{2}\partial_t\|\vec E\|^2 </math>
			ניתן במקרה זה "לצרף" את הספק הפולריזציה לאנרגיה האגורה.
			<math display="block">W_E + W_P = \frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0\|\vec E\|^2+\frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0\chi_E\|\vec E\|^2=\frac{1}{2}\partial_t(1+\chi_E)\|\vec E\|^2\epsilon_0 = \frac{1}{2}\partial_t\epsilon\|\vec E\|^2 = W_{E,material} </math>

	=== הספק מגנטי ===		=== הספק מגנטי ===

147.236.156.86: /* הספק מגנוט */

2025-03-11T19:34:09Z

הספק מגנוט

← Older revision		Revision as of 15:34, 11 March 2025
Line 59:		Line 59:
	<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \vec E\cdot\partial_t\epsilon_0\chi_E\vec E </math>אם <math>\chi_E </math> לא תלוי בזמן, ניתן לרשום:<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \epsilon_0\chi_E\vec E\cdot\partial_t\vec E = \epsilon_0\chi_E\cdot\frac{1}{2}\partial_t\|\vec E\|^2 </math>ניתן במקרה זה "לצרף" את הספק הפולריזציה לאנרגיה האגורה.<math display="block">W_E + W_P = \frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0\|\vec E\|^2+\frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0\chi_E\|\vec E\|^2=\frac{1}{2}\partial_t(1+\chi_E)\|\vec E\|^2\epsilon_0 = \frac{1}{2}\partial_t\epsilon\|\vec E\|^2 = W_{E,material} </math>		<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \vec E\cdot\partial_t\epsilon_0\chi_E\vec E </math>אם <math>\chi_E </math> לא תלוי בזמן, ניתן לרשום:<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \epsilon_0\chi_E\vec E\cdot\partial_t\vec E = \epsilon_0\chi_E\cdot\frac{1}{2}\partial_t\|\vec E\|^2 </math>ניתן במקרה זה "לצרף" את הספק הפולריזציה לאנרגיה האגורה.<math display="block">W_E + W_P = \frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0\|\vec E\|^2+\frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0\chi_E\|\vec E\|^2=\frac{1}{2}\partial_t(1+\chi_E)\|\vec E\|^2\epsilon_0 = \frac{1}{2}\partial_t\epsilon\|\vec E\|^2 = W_{E,material} </math>

	=== הספק ~~מגנוט~~ ===		=== הספק מגנטי ===
	הגדרנו את צפיפות הספק המגנטיזציה כך:<math display="block">P_m = \vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t} </math>לכן, נוכל לחשב את ~~הספק המגנוט~~:<math display="block">\Rightarrow W_m = \int_{t_1}^{t_2}\vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t}dt = \mu_0\int_{M_1}^{M_2}\vec H\cdot d\vec M </math>אם החומר מגיב ע"י:		הגדרנו את צפיפות הספק המגנטיזציה כך:<math display="block">P_m = \vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t} </math>לכן, נוכל לחשב את ההספק המגנטי:<math display="block">\Rightarrow W_m = \int_{t_1}^{t_2}\vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t}dt = \mu_0\int_{M_1}^{M_2}\vec H\cdot d\vec M </math>אם החומר מגיב ע"י:
	<math display="block">M = \chi_m \vec H</math>אז התמונה זהה למצב של חומר דיאלקטרי.		<math display="block">M = \chi_m \vec H</math>אז התמונה זהה למצב של חומר דיאלקטרי.

	=== משפט פוינטינג בחומרים לינאריים ===		=== משפט פוינטינג בחומרים לינאריים ===
	אם יש חומר לינארי לגמרי שבו <math>\vec D = \epsilon\vec E \ ,\ \vec B = \mu\vec H </math> אז ניתן לכתוב את משפט פוינטינג באופן הבא:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \frac{\partial}{\partial t}(\frac{\epsilon}{2}\|\vec E\|^2)+\frac{\partial}{\partial t}(\frac{\mu}{2}\|\vec H\|^2) + \sigma\|\vec E\|^2 + \vec E \cdot \vec J_S </math></div>		אם יש חומר לינארי לגמרי שבו <math>\vec D = \epsilon\vec E \ ,\ \vec B = \mu\vec H </math> אז ניתן לכתוב את משפט פוינטינג באופן הבא:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \frac{\partial}{\partial t}(\frac{\epsilon}{2}\|\vec E\|^2)+\frac{\partial}{\partial t}(\frac{\mu}{2}\|\vec H\|^2) + \sigma\|\vec E\|^2 + \vec E \cdot \vec J_S </math></div>

RonelM at 19:50, 20 April 2022

2022-04-20T19:50:07Z

← Older revision		Revision as of 15:50, 20 April 2022
Line 46:		Line 46:
	גם רואים את זה מהספק ההולכה, שאנחנו יודעים ויודעות שמבזבז אנרגיה במקרה האוהמי הפשוט.		גם רואים את זה מהספק ההולכה, שאנחנו יודעים ויודעות שמבזבז אנרגיה במקרה האוהמי הפשוט.

	=== הספק מקורות ===		=== הספק מקורות (איור 1) ===
			[[File:Pic1301.png\|300px\|thumb\|left\|איור 1]]

	במקור <math>\vec E</math> ו <math>\vec J</math> בכיוונים הפוכים, ולכן <math>\vec E \cdot \vec J <0</math> ויש הספק שמסופק ע"י המקור.<math display="block">\vec E \cdot \vec J < 0 \Rightarrow \text{Providing Energy} </math><math display="block">\vec E \cdot \vec J > 0 \Rightarrow \text{dissipating Energy} </math>		במקור <math>\vec E</math> ו <math>\vec J</math> בכיוונים הפוכים, ולכן <math>\vec E \cdot \vec J <0</math> ויש הספק שמסופק ע"י המקור.<math display="block">\vec E \cdot \vec J < 0 \Rightarrow \text{Providing Energy} </math><math display="block">\vec E \cdot \vec J > 0 \Rightarrow \text{dissipating Energy} </math>

	=== הספק פולריזציה ===		=== הספק פולריזציה (איור 2) ===
			[[File:Pic1302.png\|500px\|thumb\|center\|איור 2]]

	כאשר נחזור חזרה, נקבל את אותה עבודה, אך בסימן שלילי, ולכן <math>W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} = 0 </math>.<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P \Rightarrow W_p = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\partial_t\vec P\cdot dt = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\frac{\partial\vec P}{\partial t}\cdot dt = \int_{P_1}^{P_2}\vec E\cdot d\vec P </math>במקרה מחזורי <math>E_0\rightarrow -E_0 \rightarrow E_0 </math>, לדוגמה <math>E(t) = E_0\cos(\omega t) </math>, ההפסד במחזור שלם הוא שטח הלולאה <math>W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} > 0 </math>.		כאשר נחזור חזרה, נקבל את אותה עבודה, אך בסימן שלילי, ולכן <math>W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} = 0 </math>.<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P \Rightarrow W_p = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\partial_t\vec P\cdot dt = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\frac{\partial\vec P}{\partial t}\cdot dt = \int_{P_1}^{P_2}\vec E\cdot d\vec P </math>במקרה מחזורי <math>E_0\rightarrow -E_0 \rightarrow E_0 </math>, לדוגמה <math>E(t) = E_0\cos(\omega t) </math>, ההפסד במחזור שלם הוא שטח הלולאה <math>W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} > 0 </math>.

RonelM at 19:40, 20 April 2022

2022-04-20T19:40:23Z

← Older revision		Revision as of 15:40, 20 April 2022
Line 5:		Line 5:
	בוואקום ראינו את משפט פוינטינג:<math display="block">-\nabla\cdot		בוואקום ראינו את משפט פוינטינג:<math display="block">-\nabla\cdot
	\underbrace{(\vec E \times \vec H)}_{\vec S}		\underbrace{(\vec E \times \vec H)}_{\vec S}
	= \frac{\partial}{\partial t}\underbrace{(\frac{\epsilon_0}{2}\|\vec E\|^2+\frac{\mu_0}{2}\|\vec H\|^2)}_{\text{stored energy}} +\underbrace{\vec E \cdot \vec J}_{\text{conduction power} } </math>~~מה קורה~~ בחומר?<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = -(\nabla\times\vec E)\cdot\vec H + \vec E\cdot(\nabla\times\vec H) = -\vec H\cdot\underbrace{(-\partial_t\vec B)}_{Faraday} + \vec E\cdot\underbrace{(\vec J + \partial_t\vec D)}_{Amper}= \vec H\cdot(\partial_t\vec B) + \vec E\cdot(\vec J + \partial_t\vec D) </math>כאשר במעבר הראשון השתמשנו בזהות הוקטורית האהובה:<math display="block">\nabla\cdot(A \times B) = B\cdot(\nabla\times A) - A\cdot(\nabla\times B) </math>נשתמש בהגדרות המוכרות:<math display="block">\vec D = \epsilon_0\vec E + \vec P \quad ,\quad \vec B = \mu_0(\vec H +\vec M) \quad , \quad \vec J = \underbrace{\vec J_{cond}}_{conduction} +\underbrace{\vec J_s}_{source} </math>נציב במשוואה שפיתחנו למשפט פוינטינג ונקבל:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \vec H\cdot\partial_t[\mu_0(\vec H+\vec M)] + \vec E\cdot\partial_t[\epsilon_0\vec E + \vec P]+ \vec E\cdot(\vec J_s + \vec J_{cond}) </math>נסתכל על כל רכיבי המשוואה:<math display="block">-\nabla\cdot(\underbrace{\vec E \times \vec H}_{\vec S}) = \underbrace{\vec H\cdot\partial_t(\mu_0\vec H)}_{W_H} + \underbrace{\vec H\cdot\underbrace{\partial_t(\mu_0\vec M)}_{\vec J_m}}_{P_H} + \underbrace{\vec E\cdot\partial_t(\epsilon_0\vec E)}_{W_E} + \underbrace{\vec E\cdot\underbrace{\partial_t\vec P}_{\vec J_p}}_{P_E}+ \underbrace{\vec E\cdot\vec J_s}_{P_S} + \underbrace{\vec E\cdot\vec J_{cond}}_{P_{cond}=\sigma\|\vec E\|^2} </math>כאשר הגדרנו:		= \frac{\partial}{\partial t}\underbrace{(\frac{\epsilon_0}{2}\|\vec E\|^2+\frac{\mu_0}{2}\|\vec H\|^2)}_{\text{stored energy}} +\underbrace{\vec E \cdot \vec J}_{\text{conduction power} } </math>כעת, לאחר שפתרנו את משוואות מקסוול בחומר ורכשנו הבנה על התגובה של חומרים לשדות הפועלים בתוכם, ננסה להבין את ההשפעה של מאזן האנרגיה בבעיה.
			לצורך כך, נביט על:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = -(\nabla\times\vec E)\cdot\vec H + \vec E\cdot(\nabla\times\vec H) = -\vec H\cdot\underbrace{(-\partial_t\vec B)}_{Faraday} + \vec E\cdot\underbrace{(\vec J + \partial_t\vec D)}_{Amper}= \vec H\cdot(\partial_t\vec B) + \vec E\cdot(\vec J + \partial_t\vec D) </math>כאשר במעבר הראשון השתמשנו בזהות הוקטורית האהובה:<math display="block">\nabla\cdot(A \times B) = B\cdot(\nabla\times A) - A\cdot(\nabla\times B) </math>נשתמש בהגדרות המוכרות:<math display="block">\vec D = \epsilon_0\vec E + \vec P \quad ,\quad \vec B = \mu_0(\vec H +\vec M) \quad , \quad \vec J = \underbrace{\vec J_{cond}}_{conduction} +\underbrace{\vec J_s}_{source} </math>נציב במשוואה שפיתחנו למשפט פוינטינג ונקבל:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \vec H\cdot\partial_t[\mu_0(\vec H+\vec M)] + \vec E\cdot\partial_t[\epsilon_0\vec E + \vec P]+ \vec E\cdot(\vec J_s + \vec J_{cond}) </math>נסתכל על כל רכיבי המשוואה:<math display="block">-\nabla\cdot(\underbrace{\vec E \times \vec H}_{\vec S}) = \underbrace{\vec H\cdot\partial_t(\mu_0\vec H)}_{W_H} + \underbrace{\vec H\cdot\underbrace{\partial_t(\mu_0\vec M)}_{\vec J_m}}_{P_H} + \underbrace{\vec E\cdot\partial_t(\epsilon_0\vec E)}_{W_E} + \underbrace{\vec E\cdot\underbrace{\partial_t\vec P}_{\vec J_p}}_{P_E}+ \underbrace{\vec E\cdot\vec J_s}_{P_S} + \underbrace{\vec E\cdot\vec J_{cond}}_{P_{cond}=\sigma\|\vec E\|^2} </math>כאשר הגדרנו:
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\|+הגדרות		\|+הגדרות
Line 46:		Line 47:

	=== הספק מקורות ===		=== הספק מקורות ===
	<math display="block">\vec E \cdot \vec J < 0 \Rightarrow \text{Providing Energy} </math><math display="block">\vec E \cdot \vec J > 0 \Rightarrow \text{dissipating Energy} </math>		במקור <math>\vec E</math> ו <math>\vec J</math> בכיוונים הפוכים, ולכן <math>\vec E \cdot \vec J <0</math> ויש הספק שמסופק ע"י המקור.<math display="block">\vec E \cdot \vec J < 0 \Rightarrow \text{Providing Energy} </math><math display="block">\vec E \cdot \vec J > 0 \Rightarrow \text{dissipating Energy} </math>

	=== הספק פולריזציה ===		=== הספק פולריזציה ===
Line 55:		Line 56:

	=== הספק מגנוט ===		=== הספק מגנוט ===
	הגדרנו את צפיפות הספק המגנטיזציה כך:<math display="block">P_m = \vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t} </math>לכן, נוכל לחשב את הספק המגנוט:<math display="block">\Rightarrow W_m = \int_{t_1}^{t_2}\vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t}dt = \mu_0\int_{M_1}^{M_2}\vec H\cdot d\vec M </math>		הגדרנו את צפיפות הספק המגנטיזציה כך:<math display="block">P_m = \vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t} </math>לכן, נוכל לחשב את הספק המגנוט:<math display="block">\Rightarrow W_m = \int_{t_1}^{t_2}\vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t}dt = \mu_0\int_{M_1}^{M_2}\vec H\cdot d\vec M </math>אם החומר מגיב ע"י:
			<math display="block">M = \chi_m \vec H</math>אז התמונה זהה למצב של חומר דיאלקטרי.

	=== משפט פוינטינג בחומרים לינאריים ===		=== משפט פוינטינג בחומרים לינאריים ===
	אם יש חומר לינארי לגמרי שבו <math>\vec D = \epsilon\vec E \ ,\ \vec B = \mu\vec H </math> אז ניתן לכתוב את משפט פוינטינג באופן הבא:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \frac{\partial}{\partial t}(\frac{\epsilon}{2}\|\vec E\|^2)+\frac{\partial}{\partial t}(\frac{\mu}{2}\|\vec H\|^2) + \sigma\|\vec E\|^2 + \vec E \cdot \vec J_S </math></div>		אם יש חומר לינארי לגמרי שבו <math>\vec D = \epsilon\vec E \ ,\ \vec B = \mu\vec H </math> אז ניתן לכתוב את משפט פוינטינג באופן הבא:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \frac{\partial}{\partial t}(\frac{\epsilon}{2}\|\vec E\|^2)+\frac{\partial}{\partial t}(\frac{\mu}{2}\|\vec H\|^2) + \sigma\|\vec E\|^2 + \vec E \cdot \vec J_S </math></div>