פרק 4 - עבודה ואנרגיה - Revision history

EMFWIKIAdmin: /* משפט פוינטינג לשדות קומפלקסיים */

2025-04-28T13:28:36Z

משפט פוינטינג לשדות קומפלקסיים

← Older revision		Revision as of 09:28, 28 April 2025
Line 312:		Line 312:
	<math display="block">\vec E \cdot \vec J = \frac{1}{2} (\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E ^* e^{-j\omega t}) \cdot		<math display="block">\vec E \cdot \vec J = \frac{1}{2} (\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E ^* e^{-j\omega t}) \cdot
	\frac{1}{2} (\tilde J e^{j\omega t} + \tilde J ^* e^{-j\omega t}) =		\frac{1}{2} (\tilde J e^{j\omega t} + \tilde J ^* e^{-j\omega t}) =
	\frac{1}{4} (2 \Re(\tilde E \cdot \tilde J^) + 2\Re(\tilde E \cdot \tilde J e^{2j\omega t})) </math><math display="block">\Rightarrow p_a = 1/2 \Re(\tilde E \cdot \tilde J^) </math>משפט פוינטינג לאחר מיצוע בזמן:		\frac{1}{4} (2 \Re(\tilde E \cdot \tilde J^) + 2\Re(\tilde E \cdot \tilde J e^{2j\omega t})) </math><math display="block">\Rightarrow p_a = \frac{1}{2} \Re(\tilde E \cdot \tilde J^) </math>משפט פוינטינג לאחר מיצוע בזמן:

	<math display="block">-\nabla\cdot\left[\frac{1}{2} \Re(\tilde E \times \tilde H^)\right] = \frac{1}{2} \Re(\tilde E \~~times~~ \tilde J^) </math>		<math display="block">-\nabla\cdot\left[\frac{1}{2} \Re(\tilde E \times \tilde H^)\right] = \frac{1}{2} \Re(\tilde E \cdot \tilde J^) </math>

	== משפט פוינטינג עבור הפאזורים של השדות - פיתוח ==		== משפט פוינטינג עבור הפאזורים של השדות - פיתוח ==

EMFWIKIAdmin: /* משפט פוינטינג עבור הפאזורים של השדות - פיתוח */

2025-04-28T13:25:11Z

משפט פוינטינג עבור הפאזורים של השדות - פיתוח

← Older revision		Revision as of 09:25, 28 April 2025
Line 342:		Line 342:
	החלק הממשי הוא בעצם משפט פוינטינג הממוצע בזמן שכבר קיבלנו.		החלק הממשי הוא בעצם משפט פוינטינג הממוצע בזמן שכבר קיבלנו.

	<math display="block">\text{Imaginary: } \Im (-\nabla \cdot (\tilde E \times \tilde H^*)) =		<math display="block">\text{Imaginary: } \Im \left[-\nabla \cdot (\tilde E \times \tilde H^*)\right] =
	\Im (\tilde E \cdot \tilde J^*) - \omega (\mu_0 \|\tilde H\|^2\| - \epsilon_0 \|\tilde E\|^2) </math>'''חלק ממשי -''' מתאר את זרימת ההספק הממשי בבעיה, הספק שמושקע בביצוע עבודה.		\Im \left[\tilde E \cdot \tilde J^\right] - \omega (\mu_0 \|\tilde H\|^2\| - \epsilon_0 \|\tilde E\|^2)= \Im \left[\tilde E \cdot \tilde J^\right] - 4\omega (u_M - u_E)) </math>

			'''חלק ממשי -''' מתאר את זרימת ההספק הממשי בבעיה, הספק שמושקע בביצוע עבודה.

	'''חלק מדומה -''' מאזן של אנרגיה ריאקטיבית.		'''חלק מדומה -''' מאזן של אנרגיה ריאקטיבית.

EMFWIKIAdmin: /* משפט פוינטינג עבור הפאזורים של השדות - פיתוח */

2025-04-28T13:22:33Z

משפט פוינטינג עבור הפאזורים של השדות - פיתוח

← Older revision		Revision as of 09:22, 28 April 2025
Line 330:		Line 330:
	=		=
	j\omega \epsilon_0 \|\tilde E \|^2 + \tilde H^* \cdot (\nabla \times \tilde {E}) -		j\omega \epsilon_0 \|\tilde E \|^2 + \tilde H^* \cdot (\nabla \times \tilde {E}) -
	\nabla \cdot (\tilde E \times \tilde H ^*) </math>נעביר אגפים ונקבל:		\nabla \cdot (\tilde E \times \tilde H ^*) </math>
			נעביר אגפים ונקבל:

	<math display="block">-\nabla \cdot (\tilde E \times \tilde H^) = \tilde E \cdot \tilde J^ -		<math display="block">-\nabla \cdot (\tilde E \times \tilde H^) = \tilde E \cdot \tilde J^ -
	j\omega (\mu_0 \|\tilde H\|^2 - \epsilon_0\|\tilde E\|^2) </math>~~נפריד לחלק ממשי ומדומה:~~		j\omega (\mu_0 \|\tilde H\|^2 - \epsilon_0\|\tilde E\|^2) </math>

	<math display="block">\text{Real: } \Re (-\nabla \cdot (\tilde E \times \tilde H^)) = \Re(\tilde E \cdot \tilde J^) </math><math display="block">\text{Imaginary: } \Im (-\nabla \cdot (\tilde E \times \tilde H^*)) =		משוואה זו היא בעצם מעין משפט פוינטינג קומפלקסי עבור הפאזורים של השדות והזרמים.
			נפריד לחלק ממשי ומדומה:

			<math display="block">\text{Real: } \Re (-\nabla \cdot (\tilde E \times \tilde H^)) = \Re(\tilde E \cdot \tilde J^) </math>
			החלק הממשי הוא בעצם משפט פוינטינג הממוצע בזמן שכבר קיבלנו.

			<math display="block">\text{Imaginary: } \Im (-\nabla \cdot (\tilde E \times \tilde H^*)) =
	\Im (\tilde E \cdot \tilde J^*) - \omega (\mu_0 \|\tilde H\|^2\| - \epsilon_0 \|\tilde E\|^2) </math>'''חלק ממשי -''' מתאר את זרימת ההספק הממשי בבעיה, הספק שמושקע בביצוע עבודה.		\Im (\tilde E \cdot \tilde J^*) - \omega (\mu_0 \|\tilde H\|^2\| - \epsilon_0 \|\tilde E\|^2) </math>'''חלק ממשי -''' מתאר את זרימת ההספק הממשי בבעיה, הספק שמושקע בביצוע עבודה.

	'''חלק מדומה -''' מאזן של אנרגיה ריאקטיבית.		'''חלק מדומה -''' מאזן של אנרגיה ריאקטיבית.

EMFWIKIAdmin: /* משפט פוינטינג לשדות קומפלקסיים */

2025-04-28T12:45:44Z

משפט פוינטינג לשדות קומפלקסיים

← Older revision		Revision as of 08:45, 28 April 2025
Line 314:		Line 314:
	\frac{1}{4} (2 \Re(\tilde E \cdot \tilde J^) + 2\Re(\tilde E \cdot \tilde J e^{2j\omega t})) </math><math display="block">\Rightarrow p_a = 1/2 \Re(\tilde E \cdot \tilde J^) </math>משפט פוינטינג לאחר מיצוע בזמן:		\frac{1}{4} (2 \Re(\tilde E \cdot \tilde J^) + 2\Re(\tilde E \cdot \tilde J e^{2j\omega t})) </math><math display="block">\Rightarrow p_a = 1/2 \Re(\tilde E \cdot \tilde J^) </math>משפט פוינטינג לאחר מיצוע בזמן:

	<math display="block">-\nabla\left[\frac{1}{2} \Re(\tilde E \times \tilde H^)\right] = \frac{1}{2} \Re(\tilde E \times \tilde J^) </math>		<math display="block">-\nabla\cdot\left[\frac{1}{2} \Re(\tilde E \times \tilde H^)\right] = \frac{1}{2} \Re(\tilde E \times \tilde J^) </math>

	== משפט פוינטינג עבור הפאזורים של השדות - פיתוח ==		== משפט פוינטינג עבור הפאזורים של השדות - פיתוח ==

EMFWIKIAdmin: /* משפט פוינטינג לשדות קומפלקסיים */

2025-04-28T12:45:21Z

משפט פוינטינג לשדות קומפלקסיים

← Older revision		Revision as of 08:45, 28 April 2025
Line 277:		Line 277:
	</math>		</math>
	נציב את הביטויים הקומפלקסיים לשדה המגנטי והחשמלי במשוואת פוינטינג:		נציב את הביטויים הקומפלקסיים לשדה המגנטי והחשמלי במשוואת פוינטינג:
	<math display="block">\vec S = \vec E \times \vec H = 1/4 (\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E^* e^{- j\omega t})		<math display="block">\vec S = \vec E \times \vec H =\frac{1}{4}(\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E^* e^{- j\omega t})\times
	(\tilde H e^{j\omega t} + \tilde H^* e^{- j\omega t})		(\tilde H e^{j\omega t} + \tilde H^* e^{- j\omega t})
	=		=
	1/4(\tilde E^* \times \tilde H + \tilde E \times \tilde H + \tilde E \times \tilde H e^{2j\omega t}		\frac{1}{4}(\tilde E^* \times \tilde H + \tilde E \times \tilde H^* + \tilde E \times \tilde H e^{2j\omega t}
	+		+
	\tilde E^* \times \tilde H^* e^{-2j\omega t}) =		\tilde E^* \times \tilde H^* e^{-2j\omega t}) =
	1/2 \Re(\tilde E \times \tilde H^* + \tilde E \times \tilde H e^{2j\omega t}) </math>זרימת הספק ממוצעת:		\frac{1}{2} \Re(\tilde E \times \tilde H^* + \tilde E \times \tilde H e^{2j\omega t}) </math>
			זרימת הספק ממוצעת:

	<math display="block">\vec S_a = 1/2 \Re(\tilde E \times \tilde H^*) </math>~~נחשב את האנרגיה החשמלית:~~		<math display="block">\vec S_a = \frac{1}{2} \Re(\tilde E \times \tilde H^*) </math>

	<math display="block">u_E = \epsilon_0 /2 \vec E \cdot \vec E =		נחשב את האנרגיה החשמלית:
	\epsilon_0 /2 \~~cdot~~ 1/2 ((\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E^* e^{- j\omega t}))\cdot 1/2 (\tilde H e^{j\omega t} + \tilde H^* e^{- j\omega t})
			<math display="block">u_E = \frac{\epsilon_0}{2} \vec E \cdot \vec E =
			\frac{\epsilon_0}{2}\frac{1}{2}(\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E^* e^{- j\omega t})\cdot \frac{1}{2} (\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E^* e^{- j\omega t})
	=		=
	1/4 \~~cdot~~ \epsilon_0/2 (2 \|E\|^2 + \tilde E \cdot \tilde E e^{2j\omega t} +		\frac{1}{4} \frac{\epsilon_0}{2} (2 \|E\|^2 + \tilde E \cdot \tilde E e^{2j\omega t} +
	\tilde E^* \tilde E^* e^{-2j\omega t}) </math>ובאותה דרך האנרגיה המגנטית תהיה:		\tilde E^* \tilde E^* e^{-2j\omega t}) </math>
			ובאותה דרך האנרגיה המגנטית תהיה:

	<math display="block">u_M		<math display="block">u_M
	=		=
	1/4 \~~cdot~~ \mu_0/2 (2 \|H\|^2 + \tilde H \cdot \tilde H e^{2j\omega t} +		\frac{1}{4} \frac{\mu_0}{2} (2 \|H\|^2 + \tilde H \cdot \tilde H e^{2j\omega t} +
	\tilde H^* \tilde H^* e^{-2j\omega t}) </math>נגזרות בזמן את השדה החשמלי:		\tilde H^* \tilde H^* e^{-2j\omega t}) </math>
			נגזרות בזמן את השדה החשמלי:

	<math display="block">\frac{\partial u_E}{\partial t} =		<math display="block">\frac{\partial u_E}{\partial t} =
Line 305:		Line 310:
	נחשב את ההספק שמושקע בהנעת זרמים במערכת:		נחשב את ההספק שמושקע בהנעת זרמים במערכת:

	<math display="block">\vec E \cdot \vec J = 1/2 (\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E ^* e^{-j\omega t}) \cdot		<math display="block">\vec E \cdot \vec J = \frac{1}{2} (\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E ^* e^{-j\omega t}) \cdot
	1/2 (\tilde J e^{j\omega t} + \tilde J ^* e^{-j\omega t}) =		\frac{1}{2} (\tilde J e^{j\omega t} + \tilde J ^* e^{-j\omega t}) =
	1/4 (2 \Re(\tilde E \cdot \tilde J^) + 2\Re(\tilde E \cdot \tilde J e^{2j\omega t})) </math><math display="block">\Rightarrow p_a = 1/2 \Re(\tilde E \cdot \tilde J^) </math>משפט פוינטינג לאחר מיצוע בזמן:		\frac{1}{4} (2 \Re(\tilde E \cdot \tilde J^) + 2\Re(\tilde E \cdot \tilde J e^{2j\omega t})) </math><math display="block">\Rightarrow p_a = 1/2 \Re(\tilde E \cdot \tilde J^) </math>משפט פוינטינג לאחר מיצוע בזמן:

	<math display="block">-\nabla 1/2 \Re(\tilde E \times \tilde H^) = 1/2 \Re(\tilde E \times \tilde J^) </math>		<math display="block">-\nabla\left[\frac{1}{2} \Re(\tilde E \times \tilde H^)\right] = \frac{1}{2} \Re(\tilde E \times \tilde J^) </math>

	== משפט פוינטינג עבור הפאזורים של השדות - פיתוח ==		== משפט פוינטינג עבור הפאזורים של השדות - פיתוח ==

84.110.59.164: /* משפט פוינטינג */

2023-04-15T09:41:02Z

משפט פוינטינג

← Older revision		Revision as of 05:41, 15 April 2023
Line 108:		Line 108:

	=== הגדלים במשפט פוינטינג ===		=== הגדלים במשפט פוינטינג ===
	'''וקטור פוינטינג -''' מציין את כיוון "זרימת" צפיפות ההספק בבעיה (<math>[\vec S] = \frac{\text{Watt}}{m^3} </math>):		'''וקטור פוינטינג -''' מציין את כיוון "זרימת" צפיפות ההספק בבעיה (<math>[\vec S] = \frac{\text{Watt}}{m^2} </math>):

	<math display="block">\vec S \equiv \vec E \times \vec H </math>'''צפיפות האנרגיה החשמלית''' (<math>[u_E]=\frac{J}{m^3} </math>):		<math display="block">\vec S \equiv \vec E \times \vec H </math>'''צפיפות האנרגיה החשמלית''' (<math>[u_E]=\frac{J}{m^3} </math>):

84.110.59.164: /* משפט פוינטינג */

2023-04-15T09:39:04Z

משפט פוינטינג

← Older revision		Revision as of 05:39, 15 April 2023
Line 108:		Line 108:

	=== הגדלים במשפט פוינטינג ===		=== הגדלים במשפט פוינטינג ===
	'''וקטור פוינטינג -''' מציין את כיוון "זרימת" צפיפות ההספק בבעיה (<math>[\vec S] = \frac{\text{Watt}}{m^2} </math>):		'''וקטור פוינטינג -''' מציין את כיוון "זרימת" צפיפות ההספק בבעיה (<math>[\vec S] = \frac{\text{Watt}}{m^3} </math>):

	<math display="block">\vec S \equiv \vec E \times \vec H </math>'''צפיפות האנרגיה החשמלית''' (<math>[u_E]=\frac{J}{m^3} </math>):		<math display="block">\vec S \equiv \vec E \times \vec H </math>'''צפיפות האנרגיה החשמלית''' (<math>[u_E]=\frac{J}{m^3} </math>):

192.114.23.223: /* דוגמא - נגד גלילי */

2023-03-26T09:23:03Z

דוגמא - נגד גלילי

← Older revision		Revision as of 05:23, 26 March 2023
Line 163:		Line 163:

	=== דוגמא - נגד גלילי ===		=== דוגמא - נגד גלילי ===
	באיור 4 מתואר ~~נגיד~~ גלילי. החומר ממנו עשוי הגליל הוא בעל מוליכות סגולית <math> \sigma </math>.		באיור 4 מתואר נגד גלילי. החומר ממנו עשוי הגליל הוא בעל מוליכות סגולית <math> \sigma </math>.
	[[File:Pic44.png\|200px\|thumb\|left\|איור 4]]		[[File:Pic44.png\|200px\|thumb\|left\|איור 4]]

192.114.23.223: /* דוגמא - נגד גלילי */

2023-03-26T09:20:43Z

דוגמא - נגד גלילי

← Older revision		Revision as of 05:20, 26 March 2023
Line 168:		Line 168:
	בכל התחום בין הלוחות:		בכל התחום בין הלוחות:

	<math display="block">\vec E = \frac{J_0}{\sigma} \hat z </math>ולכן, מחוק אמפר ~~השד~~ המגנטי הינו:		<math display="block">\vec E = \frac{J_0}{\sigma} \hat z </math>ולכן, מחוק אמפר השדה המגנטי הינו:

	<math display="block">\vec H = \hat \varphi \cdot		<math display="block">\vec H = \hat \varphi \cdot

EMFWIKIAdmin: /* משפט פוינטינג */

2022-02-17T08:49:49Z

משפט פוינטינג

← Older revision		Revision as of 04:49, 17 February 2022
Line 102:		Line 102:
	=		=
	\frac{\partial}{\partial t}		\frac{\partial}{\partial t}
	\underbrace{\iiint [\frac{\epsilon_0}{2} \|E\|^2 + \frac{\mu_0}{2} \|H\|^2] {dV}}_{\text{all the stored energy}}		\underbrace{\iiint \left[\frac{\epsilon_0}{2} \|E\|^2 + \frac{\mu_0}{2} \|H\|^2\right] {dV}}_{\text{all the stored energy}}
	+		+
	\underbrace{\iiint \vec E \cdot \vec J dV}_{\text{all the power}} </math>		\underbrace{\iiint \vec E \cdot \vec J dV}_{\text{all the power}} </math>