פרק 9 - מגנטוסטטיקה - Revision history

EMFWIKIAdmin: /* דוגמא */

2025-07-08T06:04:22Z

דוגמא

← Older revision		Revision as of 02:04, 8 July 2025
Line 490:		Line 490:
	=== דוגמא ===		=== דוגמא ===
	[[File:Pic0915.png\|200px\|thumb\|left\|איור 15]]		[[File:Pic0915.png\|200px\|thumb\|left\|איור 15]]
	באיור 15 נתונות נתונות שתי טבעות בעלות רדיוסים <math>R_1 \gg R_2 </math>. הטבעות נמצאות באותו מישור		באיור 15 נתונות נתונות שתי טבעות בעלות רדיוסים <math>R_1 \gg R_2 </math>. הטבעות נמצאות באותו מישור.

	מה ההשראות ההדדית?		מה ההשראות ההדדית?
Line 499:		Line 499:
	\cdot I </math>		\cdot I </math>

	נשים לב כי יכלנו גם לעשות את החישוב ההפוך - לחשב את השדה שיוצרת הטבעת הפנימית על פני המישור במכיל את הטבעות בכל נקודה, ואז לבצע אינטגרציה. חישוב כזה היה מאתגר הרבה יותר וכלל לא בטוח שהיינו מצליחים לבצע אותו, העובדה שמטריצת ההשראות חייבת להיות סימטרית, מאפשרת לנו לבצע את החישוב בצורה ~~בפשוטה~~ הרבה יותר.		נשים לב כי יכלנו גם לעשות את החישוב ההפוך - לחשב את השדה שיוצרת הטבעת הפנימית על פני המישור במכיל את הטבעות בכל נקודה, ואז לבצע אינטגרציה. חישוב כזה היה מאתגר הרבה יותר וכלל לא בטוח שהיינו מצליחים לבצע אותו, העובדה שמטריצת ההשראות חייבת להיות סימטרית, מאפשרת לנו לבצע את החישוב בצורה פשוטה הרבה יותר.
	</div>		</div>

EMFWIKIAdmin: /* כא"מ והשראות */

2025-07-08T05:45:32Z

כא"מ והשראות

← Older revision		Revision as of 01:45, 8 July 2025
Line 395:		Line 395:
	=		=
	-\frac{\partial}{\partial t} \mu_0 \iint \vec H \cdot \vec{dS} = i(R_1+R_2) </math>		-\frac{\partial}{\partial t} \mu_0 \iint \vec H \cdot \vec{dS} = i(R_1+R_2) </math>
	במשוואה זו יש מספר גדלים חשובים. <math>\oint \vec E \cdot \vec{dl}</math> הוא הכא"מ (<math>emf</math>) סביב מסלול האינטגרציה ו-<math>\psi</math> הוא השטף המגנטי החולף דרך מסלול האינטגרציה.		במשוואה זו יש מספר גדלים חשובים. <math>\oint \vec E \cdot \vec{dl}</math> הוא הכא"מ (<math>emf</math>) סביב מסלול האינטגרציה ולמעשה מייצג את העבודה שיבצע השדה החשמלי על יחידת מטען המונעת לאורך מסלול אינטגרציה, ו-<math>\psi</math> הוא השטף המגנטי החולף דרך מסלול האינטגרציה.
	ולכן, מחוק פאראדיי אנחנו מקבלים		ולכן, מחוק פאראדיי אנחנו מקבלים

EMFWIKIAdmin: /* דוגמא 1 - כדור PEC בשדה מגנטי */

2025-07-08T05:38:41Z

דוגמא 1 - כדור PEC בשדה מגנטי

← Older revision		Revision as of 01:38, 8 July 2025
Line 348:		Line 348:

	קיבלנו <math>\alpha_m = -2\pi a^3 \equiv -\frac{3}{2} V </math>, בעוד במקרה החשמלי קיבלנו <math>\alpha_e = \epsilon_0 \cdot 4\pi a^3 \equiv \epsilon_0 \cdot 3V </math>. מעבר לעובדה שיש הבדל בערך עצמו, הסימנים הם שונים. בפרט, הקיטוביות המגנטית היא שלילית - כלומר נוצר דיפול בעל מומנט '''הפוך''' לכיוון השדה המעורר.		קיבלנו <math>\alpha_m = -2\pi a^3 \equiv -\frac{3}{2} V </math>, בעוד במקרה החשמלי קיבלנו <math>\alpha_e = \epsilon_0 \cdot 4\pi a^3 \equiv \epsilon_0 \cdot 3V </math>. מעבר לעובדה שיש הבדל בערך עצמו, הסימנים הם שונים. בפרט, הקיטוביות המגנטית היא שלילית - כלומר נוצר דיפול בעל מומנט '''הפוך''' לכיוון השדה המעורר.

			אינטואיציה לכך ניתן לקבל מההתנהגות השדות ההפוכה שראינו בקרבת טבעת זרם ודיפול מטען (איור 2). התפלגות המקורות המושרים על הכדור (גם במקרה החשמלי וגם במקרה המגנטי) נוצרת כך ששדה התגובה '''בתוך הכדור''' יקזז את השדה החיצוני, כדי שנקבל שערכו אפס בתוך ה-PEC. מאחר ומטענים חשמליים יוצרים בקרבתם שדה חשמלי הפוך לכיוון מומנט הדיפול, מומנט הדיפול יווצר עם כיוון השדה החיצוני כדי לקבל את הקיזוז הדרוש. בתגובה לשדה מגנטי קורה ההיפך - סמוך לטבעת השדה המגנטי שנוצר הוא באותו כיוון של הדיפול שנצפה מבחוץ, ולכן הדיפול חייב להווצר הפוך לשדה החיצוני כדי לקבל את הקיזוז הדרוש בתוך הכדור.

	* האם הפוטנציאל <math>\phi_m </math> רציף?		* האם הפוטנציאל <math>\phi_m </math> רציף?
	[[File:Pic0908.png\|200px\|thumb\|left\|איור 8 - השדה בבעיה]]		[[File:Pic0908.png\|200px\|thumb\|left\|איור 8 - השדה בבעיה]]

EMFWIKIAdmin: /* ניסוח בעיית השדה המגנטי */

2025-07-08T05:32:24Z

ניסוח בעיית השדה המגנטי

← Older revision		Revision as of 01:32, 8 July 2025
Line 221:		Line 221:
	\end{cases}</math>לכן סמוך לשפת PEC, <math>\vec H</math> יהיה רק מקביל לשפה.		\end{cases}</math>לכן סמוך לשפת PEC, <math>\vec H</math> יהיה רק מקביל לשפה.

	=== ניסוח בעיית השדה ~~המגנטי~~ ===		=== ניסוח בעיית השדה המגנטוסטטי ===
	בעיית השדה המגנטי מתוארת ע"י (איור 5)		בעיית השדה המגנטי מתוארת ע"י (איור 5)
	[[File:Pic0905.png\|200px\|thumb\|left\|איור 5]]		[[File:Pic0905.png\|200px\|thumb\|left\|איור 5]]
Line 273:		Line 273:
	\hat n \cdot H_h = -\frac{\partial \phi_m}{\partial n} = - \hat n \cdot H_p		\hat n \cdot H_h = -\frac{\partial \phi_m}{\partial n} = - \hat n \cdot H_p

	\end{cases}</math>וקיבלנו את משוואת לפלאס עבור הפוטנציאל המגנטי הסקלרי. עובדה זו כמובן מעודדת מאוד, מאחר ולמדנו מגוון רחב של כלים מתמטיים לפתרון משוואת לפלס.		\end{cases}</math>וקיבלנו את משוואת לפלאס עבור הפוטנציאל המגנטי הסקלרי. עובדה זו כמובן מעודדת מאוד, מאחר ולמדנו מגוון רחב של כלים מתמטיים לפתרון משוואת לפלס.

			חשוב לציין ששימוש בפוטנציאל מגנטי סקלרי מוגבל לבעיות מגנטוסטטיות בלבד, ומאחר ואם יש שינויים בזמן, אז גם באיזור בו מתקיים <math>\vec{J}=0</math> יתקיים <math>\nabla\times\vec{H}=-\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}</math>, כלומר השדה המגנטי לא יהיה שדה משמר (באופן אופן שבו זה קורה בבעיות אלקטרוסטטיות).

	==== הערה חשובה - תחומים פשוטי קשר ====		==== הערה חשובה - תחומים פשוטי קשר ====

EMFWIKIAdmin: /* משוואת לפלאס הוקטורית */

2025-07-08T05:27:42Z

משוואת לפלאס הוקטורית

← Older revision		Revision as of 01:27, 8 July 2025
Line 71:		Line 71:
	ניקח את <math>\vec A</math> ונציב בחוק אמפר:		ניקח את <math>\vec A</math> ונציב בחוק אמפר:

	<math display="block">\nabla \times \vec H = \nabla \times (\frac{1}{\mu_0} \nabla \times \vec A) = \vec J</math><math display="block">\Rightarrow		<math display="block">\nabla \times \vec H = \nabla \times \left(\frac{1}{\mu_0} \nabla \times \vec A\right) = \vec J</math><math display="block">\Rightarrow
	\nabla \times (\nabla \times \vec A) = \mu_0 \vec J </math>		\nabla \times (\nabla \times \vec A) = \mu_0 \vec J </math>
	נשתמש בזהות ונקבל:		נשתמש בזהות ונקבל:

EMFWIKIAdmin: /* משוואת לפלאס הוקטורית */

2025-07-08T05:27:19Z

משוואת לפלאס הוקטורית

← Older revision		Revision as of 01:27, 8 July 2025
Line 72:		Line 72:

	<math display="block">\nabla \times \vec H = \nabla \times (\frac{1}{\mu_0} \nabla \times \vec A) = \vec J</math><math display="block">\Rightarrow		<math display="block">\nabla \times \vec H = \nabla \times (\frac{1}{\mu_0} \nabla \times \vec A) = \vec J</math><math display="block">\Rightarrow
	\nabla \times (\nabla \times \vec A) = \mu_0 \vec J </math>נשתמש בזהות ונקבל:		\nabla \times (\nabla \times \vec A) = \mu_0 \vec J </math>
			נשתמש בזהות ונקבל:

	<math display="block">\nabla (\nabla \cdot \vec A) - \nabla^2 \vec A = \mu_0 \vec J</math>		<math display="block">\nabla \left(\nabla \cdot \vec A\right) - \nabla^2 \vec A = \mu_0 \vec J</math>

	מאחר ויש לנו חופש לבחור את <math>\nabla\cdot\vec A</math> כרצוננו (חופש מסוג זה נקרא "חופש כיול"), בבעיות מגנטוסטטיות נהוג לבחור <math>\nabla\cdot\vec A=0</math>, תנאי שנקרא כיול קולון (Coulomb gauge):		מאחר ויש לנו חופש לבחור את <math>\nabla\cdot\vec A</math> כרצוננו (חופש מסוג זה נקרא "חופש כיול"), בבעיות מגנטוסטטיות נהוג לבחור <math>\nabla\cdot\vec A=0</math>, תנאי שנקרא כיול קולון (Coulomb gauge):

EMFWIKIAdmin: /* חוק Biot - Savart */

2025-07-07T11:24:33Z

חוק Biot - Savart

← Older revision		Revision as of 07:24, 7 July 2025
Line 166:		Line 166:
	=...</math><math display="block">...=		=...</math><math display="block">...=
	\frac{1}{4\pi}		\frac{1}{4\pi}
	\int \nabla \times (\frac{\vec J(r')}{\|\vec r - \vec r'\|}) dV' =		\int \nabla \times \left(\frac{\vec J(r')}{\|\vec r - \vec r'\|}\right) dV' =
	\frac{1}{4\pi} \int [		\frac{1}{4\pi} \int \left[
	\nabla (\frac{1}{\|r-r'\|}) \times \vec J(r') +		\nabla \left(\frac{1}{\|r-r'\|}\right) \times \vec J(r') +
	\frac{1}{\|r-r'\|} \underbrace{\nabla \times \vec J}_		\frac{1}{\|r-r'\|} \underbrace{\nabla \times \vec J}_
	{=0 }		{=0 }
	] dV'</math>כאשר השתמשנו בזהות:		\right] dV'</math>כאשר השתמשנו בזהות:

	<math display="block">\nabla \times (\psi \vec F)		<math display="block">\nabla \times (\psi \vec F)
Line 181:		Line 181:

	<math display="block">\Rightarrow		<math display="block">\Rightarrow
	\vec H = \frac{1}{4\pi} \int \nabla (\frac{1}{\|r-r'\|}) \times \vec J(\vec r') dV'		\vec H = \frac{1}{4\pi} \int \nabla \left(\frac{1}{\|r-r'\|}\right) \times \vec J(\vec r') dV'
	=		=
	\frac{1}{4\pi} \int [		\frac{1}{4\pi} \int \left[
	-\frac{1}{\|r-r'\|^2} \cdot \hat i_{r',r} \times \vec J(\vec r')		-\frac{1}{\|r-r'\|^2} \cdot \hat i_{r',r} \times \vec J(\vec r')
	] dV'</math><math display="block">\text{Biot Savart law: }		\right] dV'</math><math display="block">\text{Biot Savart law: }
	\vec H =		\vec H =
	\frac{1}{4\pi} \int		\frac{1}{4\pi} \int

EMFWIKIAdmin: /* דוגמא - טבעת זרם */

2025-07-07T11:10:57Z

דוגמא - טבעת זרם

← Older revision		Revision as of 07:10, 7 July 2025
Line 153:		Line 153:
	[[File:Pic0902b.png\|500px\|thumb\|center\|איור 2 - השוואה בין דיפול חשמלי למגנטי]]		[[File:Pic0902b.png\|500px\|thumb\|center\|איור 2 - השוואה בין דיפול חשמלי למגנטי]]

	באיור 2 מצוירים לצורך השוואה תרשימי השדה ה"אמיתי" עבור [[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן\|דיפול חשמלי]] ומגנטי (כלומר סופרפוזיציה של מקורות בגודל סופי - טבעת זרם ברדיוס סופי עבור הדיפול המגנטי, ומטענים נקודתיים הפוכים בסימנם ומרוחקים זה מזה מרחק סופי עבור הדיפול החשמלי). ניתן לראות שרחוק מהמקורות, היכן שהקירוב הדיפולי תקף, השדות מתנהגים באופן זהה. לעומת זאת, השדות הקרובים למקורות, בנקודות קרובות ביחס למימדי המקור, ~~השדות~~ מתנהגים באופן הפוך, מאחר ולשדה החשמלי והשדה המגנטי מאפיינים שונים. החשמלי - אלקטרוסטטי וחסר רוטור, אך בעל דיברגנץ שונה מאפס בנקודות המקור. המגנטי - חסר דיברגנץ ולכן קווי השדה חייבים להיות סגורים.		באיור 2 מצוירים לצורך השוואה תרשימי השדה ה"אמיתי" עבור [[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן\|דיפול חשמלי]] ומגנטי (כלומר סופרפוזיציה של מקורות בגודל סופי - טבעת זרם ברדיוס סופי עבור הדיפול המגנטי, ומטענים נקודתיים הפוכים בסימנם ומרוחקים זה מזה מרחק סופי עבור הדיפול החשמלי). ניתן לראות שרחוק מהמקורות, היכן שהקירוב הדיפולי תקף, השדות מתנהגים באופן זהה. לעומת זאת, השדות הקרובים למקורות, בנקודות קרובות ביחס למימדי המקור, מתנהגים באופן הפוך, מאחר ולשדה החשמלי והשדה המגנטי מאפיינים שונים. החשמלי - אלקטרוסטטי וחסר רוטור, אך בעל דיברגנץ שונה מאפס בנקודות המקור. המגנטי - חסר דיברגנץ ולכן קווי השדה חייבים להיות סגורים.

	=== חוק Biot - Savart ===		=== חוק Biot - Savart ===

EMFWIKIAdmin: /* דוגמא - טבעת זרם */

2025-07-07T11:09:16Z

דוגמא - טבעת זרם

← Older revision		Revision as of 07:09, 7 July 2025
Line 130:		Line 130:
	{\sqrt{(x-a\cos\varphi')^2 + (y - a \sin\varphi' )^2 + z^2 }}		{\sqrt{(x-a\cos\varphi')^2 + (y - a \sin\varphi' )^2 + z^2 }}
	</math>		</math>
	את האינטגרל הנ"ל לא ניתן להעריך באופן אנליטי. עם זאת, אם נניח כי <math>r \gg a</math>		את האינטגרל הנ"ל ניתן להעריך באופן אנליטי באמצעות פונקציות הנקראות [https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral complete elliptic integrals], אך אלו אינן פונקציות אלמנטריות. עם זאת, אם נניח כי <math>r \gg a</math>

	<math display="block">r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}</math> נציב באינטגרל ונקבל:		<math display="block">r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}</math> נציב באינטגרל ונקבל:

EMFWIKIAdmin: /* סופרפוזיציה עבור הפוטנציאל הוקטורי */

2025-07-07T10:44:09Z

סופרפוזיציה עבור הפוטנציאל הוקטורי

← Older revision		Revision as of 06:44, 7 July 2025
Line 89:		Line 89:

	=== סופרפוזיציה עבור הפוטנציאל הוקטורי ===		=== סופרפוזיציה עבור הפוטנציאל הוקטורי ===
	~~ראינו שכל~~ רכיב ~~מתנהג כמו~~ משוואת פואסון, באופן זהה למתרחש ב[[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#פוטנציאל חשמלי סקלרי - מטען נקודתי\|פוטנציאל חשמלי]], ולכן הפיתרון עבור כל רכיב יהיה:		כל רכיב של הפוטנציאל המגנטי הוקטורי מקיים את אותה משוואת פואסון שאנו כבר מכירים מהמקרה של פוטנציאל אלקטרוסטטי, באופן זהה למתרחש ב[[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#פוטנציאל חשמלי סקלרי - מטען נקודתי\|פוטנציאל חשמלי]], ולכן הפיתרון עבור כל רכיב יהיה (באופן זהה לדרך בה תארנו את פתרון הפוטנציאל האלקטרוסטטי):

	<math display="block">A_k(\vec r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{J_k(\vec r')}{\|\vec r-\vec r'\|} dV'</math>והפיתרון הכולל יהיה:		<math display="block">A_k(\vec r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{J_k(\vec r')}{\|\vec r-\vec r'\|} dV'</math>והפיתרון הכולל יהיה: