פרק 0 - מבוא מתמטי

בפרק 0 של הקורס שדות אלקטרומגנטיים נחזור ונגדיר מושגים מתמטיים חשובים, שיידרשו להבנת החומר בקורס.

מערכת קורדינטות אורתוגונלית

נגדיר 3 פונקציות

$u_1(x,y,z),u_2(x,y,z),u_3(x,y,z)$

אם המשטחים שווי הערך (כלומר המשטחים המקיימים את המשוואות $u_i(x,y,z)=u_{i,0}$) ניצבים זה לזה בכל נקודה ונקודה, הפונקציות מגדירות מערכת קורדינטות אורתוגונלית, והמשוואות הנ"ל מגדירות משטחים שווי קורדינטה. וקטורי היחידה בכיוון הקורדינטות, המסומנים $\widehat{u_i}$ מוגדרים בכיוון הגדלת הקורדינטה $u_i$ כאשר הקורדינטות האחרות קבועות.

תרשים 1 - משטחים שווי קורדינטה במערכת אורתוגונלית כללית

יחסים מטריים

אם נניח שניתן להפוך את היחסים, ניתן לרשום את וקטור המיקום על ידי

$\overrightarrow{r}=x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}=x(u_1,u_2,u_3)\hat{x}+y(u_1,u_2,u_3)\hat{y}+z(u_1,u_2,u_3)\hat{z}$

שינוי קטן בוקטור המיקום הנובע מצעד אינפיטסימלי בכיוון הקורדינטה $u_1$ ניתן לרשום על ידי $\overrightarrow{dr}=h_{1}d{u}_1\widehat{u_1}$ כאשר $h_1$ הוא היחס המטרי - היחס הקושר בין ערך השנוי בקורדינטה ($d{u}_1$), לגודל הצעד ה"אמיתי" שעשינו במרחב.

$\overrightarrow{dr}=h_{1}d{u}_1\widehat{u_1}=\left|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial u_1}\right|d{u}_1\widehat{u_1}=|\frac{\partial x}{\partial u_1}\hat{x}+\frac{\partial y}{\partial u_1}\hat{y}+\frac{\partial z}{\partial u_1}\hat{z}|⟹h_1={[{\left(\frac{\partial x}{\partial u_1}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial u_1}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial u_1}\right)}^2]}^{1/2}$

את היחסים המטריים $h_2,h_3$ ניתן להגדיר באופן אנלוגי לחלוטין, ומכאן ניתן לרשום עבור צעד כללי כלשהו בוקטור המיקום

$\overrightarrow{dr}=h_{1}d{u}_1\widehat{u_1}+h_{2}d{u}_2\widehat{u_2}+h_{3}d{u}_3\widehat{u_3}$

וניתן לרשום את אלמנטי האורך בכיוון כל אחת מהקורדינטות באמצעות קשרים אלו - $d{\ell }_1=h_{1}d{u}_1,d{\ell }_2=h_{2}d{u}_2,d{\ell }_3=h_{3}d{u}_3$.

באופן דומה ניתן להראות ששטחו של אלמנט שטח קטן שנוצר כתוצאה מתוספת אינפיטסימלית לקורדינטות $u_2,u_3$ לדוגמא יהיה

$dS=h_{2}d{u}_2{h}_{3}d{u}_3=d{\ell }_{2}d{\ell }_3$

כשטחו של מלבן קטן בעל צלעות $d{\ell }_2,d{\ell }_3$ (זה חייב להיות מלבן מאחר ומדובר במערכת קורדינטות אורתוגונלית). עבור אלמנט נפח נקבל

$dV=h_{1}d{u}_1{h}_{2}d{u}_2{h}_{3}d{u}_3=d{\ell }_{1}d{\ell }_{2}d{\ell }_3$

דוגמא - קורדינטות גליליות

קורדינטות גליליות מוגדרות על ידי הטרנספורמציה

$\{\begin{array}{c}x=r\cos \phi \\ y=r\sin \phi \\ z=z\end{array}$

נחשב את היחסים המטריים ונקבל

$\begin{array}{c}{h}_r={[{\left(\frac{\partial x}{\partial r}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial r}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)}^2]}^{1/2}=1\Rightarrow d{\ell }_r=dr\\ h_{\phi }={[{\left(\frac{\partial x}{\partial \phi }\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial \phi }\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial \phi }\right)}^2]}^{1/2}=r\Rightarrow d{\ell }_{\phi }=rd\phi \\ h_z=1\Rightarrow d{\ell }_z=dz\end{array}$

הגדרות האופרטורים הדיפרנציאליים

הגדרת הדיברגנץ

תרשים 2

על מנת לקבל אינטואיציה לגבי הגדרת הדיברגנץ של שדה וקטורי בנקודה מסוימת, אינטואיטיבי להתחיל ממשפט הדיברגנץ. אמנם יש כאן שאלה של "ביצה ותרנגולת", אך בשל ההיכרות של רבים עם המשפט, והשלכותיו, זה אינטואיטיבי מאוד להתחיל ממנו (תרשים 2) $\underset{V}{\iiint }div(\overrightarrow{F})dV=\underset{S=\partial V}{\iint }\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{da}$ כלומר, סכימת הדיברגנץ בנפח נתון שקולה לחישוב שטף השדה החוצה את המעטפת. מכאן, אם ניקח נפח קטן מאוד $dV$, ונניח שדיברגנץ השדה הוא פונקציה "חלקה" שלא משתנה משמעותית אם הנפח קטן מאוד, נקבל $div(\overrightarrow{F}{)}_{\overrightarrow{r}}dV=\underset{S=\partial V}{\iint }\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{da}$ ומכאן נוכל לקבל את ההגדרה הפורמלית

${div(\overrightarrow{F})|}_{\overrightarrow{r}}=\underset{V\to 0}{\lim }\frac{1}{V}\underset{S=\partial V}{\iint }\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{da}$

מעבר לחשיבות שבהגדרה הפורמלית, הגדרה זו תהיה שימושית עבורנו כאשר נרצה לקבל את הייצוג הדיפרנציאלי למשוואות מקסוול מתוך הייצוג האינטגרלי. אם נרצה לקבל ביטויים ספציפיים למערכת קורדינטות מסוימת, עלינו לבחור את הקורדינטות ולחשב את האינטגרל המופיע בהגדרה, בקירוב של אינטגרציה על אלמנט נפח קטן מאוד סביב הנקודה. בתרשים 2, מימין, מתואר אלמנט נפח כללי במערכת קורדינטות. אם נסתכל על הדופן ה"קדמית" וה"אחורית" ונניח שהן נמצאות בקורדינטות $u_1,u_1+d{u}_1$ בהתאמה, התרומה שלהן לאגף ימין בהגדרת הדיברגנץ תהיה

${\overrightarrow{F}(u_1)\cdot (-\widehat{u_1})d{\ell }_{2}d{\ell }_3|}_{u_1}+{\overrightarrow{F}(u_1+d{u}_1)\cdot \widehat{u_1}d{\ell }_{2}d{\ell }_3|}_{u_1+d{u}_1}$

בנוסף, נזכור שנפח האלמנט הוא $dV=d{\ell }_{1}d{\ell }_{2}d{\ell }_3$, ולכן, לאחר מספר צעדים אלגבריים פשוטים, התרומה לדיברגנץ תהיה

$\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}\frac{\partial }{\partial u_1}(h_2{h}_3\overrightarrow{F}\cdot \widehat{u_1})$

ובאופן דומה ניתן לחשב את התרומה מכל שאר הפאות. פעמים רבות רישום הדיברגנץ מבוצע על ידי אופרטור הנבלה הוקטורי. סה"כ נקבל

$div\left(\overrightarrow{F}\right)=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{F}=\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}[\frac{\partial }{\partial u_1}(h_2{h}_3\overrightarrow{F}\cdot \widehat{u_1})+\frac{\partial }{\partial u_2}(h_1{h}_3\overrightarrow{F}\cdot \widehat{u_2})+\frac{\partial }{\partial u_3}(h_1{h}_2\overrightarrow{F}\cdot \widehat{u_3})]$

בדף הנוסחאות של הקורס (שגם יחולק בבחינה) ניתן למצוא ביטויים אלו רשומים עבור שלוש מערכות הקורדינטות הנפוצות ביותר - קרטזית, גלילית, וכדורית.

הגדרת הרוטור (Curl)

נתחיל גם כאן במשפט האינטגרלי המתאים - משפט סטוקס. לצורך כך נגדיר משטח $S$, ואת שפתו של המשטח $C=\partial S$ (תרשים 3 משמאל)

תרשים 3

${\oint }_{C=\partial S}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{d\ell }=\underset{S}{\iint }curl\left(\overrightarrow{F}\right)\cdot \hat{n}da$

נשים לב כי כאן ההגדרה תהיה מעט יותר עדינה, שכן המשפט האינטגרלי קושר בין השדה ובין ההיטל של הרוטור בכיוון הניצב למשטח. אם נניח כי המשטח שנבחר הוא אלמנט שטח קטן מאוד סביב נקודה מסוימת, נוכל לפשט את אגף ימין של משפט סטוקס

${\oint }_{C=\partial S}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{d\ell }=\hat{n}\cdot curl(\overrightarrow{F})da$

כיצד לבחור את $\hat{n}$ בצורה נכונה? כיצד לבחור את הלולאה?

אם אנחנו רוצים הגדרה כללית, שאינה קשורה לבחירה מסוימת של מערכת הקורדינטות, אז מהביטוי ניתן לראות שכאשר $\hat{n}$ הוא בדיוק בכיוון הרוטור, ההיטל הוא בעל גודל מקסימלי, ולכן נוכל לרשום את ההגדרה

$curl(\overrightarrow{F})=\underset{S\to 0}{\lim }\frac{1}{S}\hat{n}{[{\oint }_{C=\partial S}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{d\ell }]}_{max}$

אם בחרנו מערכת קורדינטות כללית כלשהי, $u_1,u_2,u_3$ אז ניתן לבצע את האינטגרציה באופן מפורש (תרשים 3, ימין), עבור כל אחד מרכיבי $\widehat{u_1},\widehat{u_2},\widehat{u_3}$. לדוגמא, עבור הרכיב $\widehat{u_1}$

${\oint }_{C=\partial S}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{d\ell }=[\underset{AB}{\int }+\underset{CD}{\int }]+[\underset{BC}{\int }+\underset{DA}{\int }]...=\frac{1}{h_2{h}_3}[-\frac{\partial }{\partial u_3}\left(h_2{F}_{u_2}\right)+\frac{\partial }{\partial u_2}\left(h_3{F}_{u_3}\right)]$

באופן דומה ניתן לבצע את האינטגרציה עבור רכיבים הרוטור האחרים. בדף הנוסחאות של הקורס ביטויים אלו נתונים עבור שלוש מערכת הקורדינטות הנפוצות. גם פעולה זו נהוג להציג באמצעות אופרטור הנבלה - $curl(\overrightarrow{F})=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F}$.

דיברגנץ משטחי

נגדיר משטח באמצעות הפרמטריזציה הבאה:

$$S=[X(u,v),Y(u,v),Z(u,v)]$$המקדמים המטריים של המשטח יכולים להיות מוגדרים ע"י:

$$\{\begin{array}{l}S+d{S}_u=[X(u+du,v),Y(u+du,v),Z(u+du,v)]\\ S+d{S}_v=[X(u,v+dv),Y(u,v+dv),Z(u,v+dv)]\end{array}$$$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}d{S}_u=[X(u+du,v)-X(u,v),Y(u+du,v)-Y(u,v),Z(u+du,v)-Z(u,v)]\\ d{S}_v=[X(u,v+dv)-X(u,v),Y(u,v+dv)-Y(u,v),Z(u,v+dv)-Z(u,v)]\end{array}$$אם נשאיף את $du,dv$ לאפס, נקבל:

$$\{\begin{array}{l}d{S}_u=[\frac{\partial X}{\partial u},\frac{\partial Y}{\partial u},\frac{\partial Z}{\partial u}]du\\ d{S}_v=[\frac{\partial X}{\partial v},\frac{\partial Y}{\partial v},\frac{\partial Z}{\partial v}]dv\end{array}$$כעת נגדיר את הפרמטרים המטריים:

$$\{\begin{array}{l}||d{S}_u||=h_{u}du\\ ||d{S}_v||=h_{v}dv\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{h}_u=\sqrt{(\frac{\partial X}{\partial u}{)}^2+(\frac{\partial Y}{\partial u}{)}^2+(\frac{\partial Z}{\partial u}{)}^2}\\ h_v=\sqrt{(\frac{\partial X}{\partial v}{)}^2+(\frac{\partial Y}{\partial v}{)}^2+(\frac{\partial Z}{\partial v}{)}^2}\end{array}$$כעת, נגדיר את השדה הוקטורי על השפה:

$$F=F_u(u,v)\hat{u}+F_v(u,v)\hat{v}$$

תרשים 4 - השטח האינפיטיסימלי הנוצר ע"י du,dv

כעת נחשב את השטף העובר דרך משטח סופי:

$$\psi ={\oint }_{l}F\cdot {\hat{n}}_{l}dl=$$$$=F_u(u+du,v)h_v(u+du,v)dv-F_u(u,v)h_v(u,v)dv+F_v(u,v+dv)h_u(u,v+dv)du-F_v-F_v(u,v)h_u(u,v)du$$אם נשאיף את $du,dv$ לאפס, נקבל:

$$\psi ={\oint }_{l}F\cdot {\hat{n}}_{l}dl=\frac{\partial }{\partial u}(h_v{F}_u)dudv+\frac{\partial }{\partial v}(h_u{F}_v)dudv=$$$$=\underset{\equiv {\mathrm{\nabla }}_s\cdot F}{\underbrace{\frac{1}{h_u{h}_v}[\frac{\partial }{\partial u}(h_v{F}_u)+\frac{\partial }{\partial v}(h_u{F}_v)]h_u}}\underset{ds}{\underbrace{du{h}_{v}dv}}$$כעת, נסתכל על משטחים בעלי קורדינטה שווה $w=const$, בהשוואה לדיברגנט התלת מימדי:

$$\{\begin{array}{l}{\mathrm{\nabla }}_s\cdot F=\frac{1}{h_u{h}_v}[\frac{\partial }{\partial u}(h_v{F}_u)+\frac{\partial }{\partial v}(h_u{F}_v)]\\ \mathrm{\nabla }\cdot F=\frac{1}{h_u{h}_v{h}_w}[\frac{\partial }{\partial u}(h_v{h}_w{F}_u)+\frac{\partial }{\partial v}(h_u{h}_w{F}_v)+\frac{\partial }{\partial w}(h_u{h}_v{F}_w)]\end{array}$$כעת נוכל לראות כי התנאי ההכרחי לחישוב הדיברגנט המשטחי הוא "איפוס" את הקורדינטה השווה בדיברגנט התלת מימדי:

$$h_w=const$$תנאי זה מתקיים, למשל על המשטח של ספרה, אך לא על חרוט.