פרק 9 - מגנטוסטטיקה

מגנטוסטטיקה

משוואות השדה

במצב הסטטי (או סדר 0 של בעיה מגנטו קוואזיסטטית), השדה החשמלי והמגנטי נקבעים דרך המשוואות הבאות:

באלקטרוסטטיקה:

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=0\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_0\overrightarrow{E})=\rho \end{array}$$

במגנטוסטטיקה:

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\overrightarrow{J}\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0\overrightarrow{H})=0\end{array}$$

וניתן לראות שבין מערכות המשוואות ישנם הבדלים. במצב סטטי של המקור לשדה החשמלי הוא צפיפות מטען סטטית, בעוד שהמקור לשדה המגנטי, באופן בלתי תלוי, הוא זרמים סטטיים, קבועים בזמן.

כאשר פתרנו את $\overrightarrow{E}$, חילקנו את הפיתרון לפרטי והומגני - הפתרון הפרטי נבע ישירות מן המקורות, והפיתרון ההומוגני "עזר" לנו לקיים תנאי שפה בבעיה המלאה.

גם כאן, בבעיות מגנטו קוואזיסטטיות, נשתמש באותה הדרך.

מאחר ובאופן כללי מתקיים:

$$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\overrightarrow{J}\ne 0$$ לא ניתן להגדיר $H=-\mathrm{\nabla }\varphi$. עם זאת, השדה המגנטי הוא תמיד חסר מקורות (במובן הפיסיקלי של העדר "מטענים מגנטיים" המקביל למובן המתמטי של שדה חסר דיברגנץ)

$$\mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0\overrightarrow{H})=0$$ ולכן נגדיר:

$$\Rightarrow {\mu }_0\overrightarrow{H}=\mathrm{\nabla }\times \underset{\text{magnetic vector potential}}{\underbrace{\overrightarrow{A}}}$$ מאחר שבאופן זהותי מתקיים

$$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times A)=0$$

פוטנציאל וקטורי

הבחירה ב $\overrightarrow{A}$ אינה חד ערכית.

אם מתקיים $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}={\mu }_0\overrightarrow{H}$, נגדיר עבור פונקציה סקלרית כלשהי $\mathrm{\Psi }$:

$${\overrightarrow{A}}^{\prime }=\overrightarrow{A}+\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }$$ ואז: $$\mathrm{\nabla }\times {\overrightarrow{A}}^{\prime }=\mathrm{\nabla }\times (\overrightarrow{A}+\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi })={\mu }_0\overrightarrow{H}+0={\mu }_0\overrightarrow{H}$$ נקבל את אותו השדה (למעשה משפט הלמהולץ אומר שניתן להגדיר שדה במלואו, באופן יחיד, רק כאשר ידועים גם ה Curl וגם ה Div).

כאן ידוע לנו רק $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}=\overrightarrow{H}$ ויש לנו חופש לבחור את Div (כלומר את הערך של $\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A}$) לנוחיותינו.

משוואת לפלאס הוקטורית

ניקח את $\overrightarrow{A}$ ונציב בחוק אמפר:

$$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\mathrm{\nabla }\times (\frac{1}{{\mu }_0}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A})=\overrightarrow{J}$$$$\Rightarrow \mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A})={\mu }_0\overrightarrow{J}$$ נשתמש בזהות ונקבל:

$$\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A})-{\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{A}={\mu }_0\overrightarrow{J}$$

מאחר ויש לנו חופש לבחור את $\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A}$ כרצוננו (חופש מסוג זה נקרא "חופש כיול"), בבעיות מגנטוסטטיות נהוג לבחור $\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A}=0$, תנאי שנקרא כיול קולון (Coulomb gauge):

$$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A}=0\Rightarrow {\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{A}=-{\mu }_0\overrightarrow{J}$$ מכאן נובעות שלוש משוואות פואסון סקלריות, שאנו כבר יודעים לפתור:

$$\{\begin{array}{l}{\mathrm{\nabla }}^2{A}_x=-{\mu }_0{J}_x\\ {\mathrm{\nabla }}^2{A}_y=-{\mu }_0{J}_y\\ {\mathrm{\nabla }}^2{A}_z=-{\mu }_0{J}_z\end{array}$$

סופרפוזיציה עבור הפוטנציאל הוקטורי

כל רכיב של הפוטנציאל המגנטי הוקטורי מקיים את אותה משוואת פואסון שאנו כבר מכירים מהמקרה של פוטנציאל אלקטרוסטטי, באופן זהה למתרחש בפוטנציאל חשמלי, ולכן הפיתרון עבור כל רכיב יהיה (באופן זהה לדרך בה תארנו את פתרון הפוטנציאל האלקטרוסטטי):

$$A_k(\overrightarrow{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{J_k({\overrightarrow{r}}^{\prime })}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}d{V}^{\prime }$$והפיתרון הכולל יהיה: $$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{\overrightarrow{J}({\overrightarrow{r}}^{\prime })}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}d{V}^{\prime }$$ כאשר:

• ${\overrightarrow{r}}^{\prime }$ - מערכת המקור.
• $\overrightarrow{r}$ - מערכת הצופה. הנקודה שבה מחשבים את $\overrightarrow{A}$.

נסיק, כי בהינתן שיש לנו מקורות בתווך חופשי (או עבור פיתרון פרטי בתווך עם תנאי שפה) נחשב את $\overrightarrow{A}$ על ידי סופרפוזיציה, ומתוך זה נחלץ את $\overrightarrow{H}$:

$$\overrightarrow{H}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}$$הערה חשובה:

נשים לב כי רכיב כלשהו של $\overrightarrow{J}$ תורם רק לאותו רכיב של $\overrightarrow{A}$.

בניגוד ל $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\overrightarrow{J}$ שבו כל רכיב של $\overrightarrow{J}$ יכול לתרום לרכיבים שונים של $\overrightarrow{H}$.

דוגמא - טבעת זרם

איור 1

באיור 1 נתונה טבעת זרם מעגלית שרדיוסה $a$ ,ונושאת זרם $I$. נרצה לחשב את $\overrightarrow{A}$, ומתוכו את $\overrightarrow{H}$.

$${\overrightarrow{r}}^{\prime }=a\cos {\phi }^{\prime }\hat{x}+a\sin {\phi }^{\prime }\hat{y},d{l}^{\prime }=ad{\phi }^{\prime },\overrightarrow{r}=x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}$$ $$\overrightarrow{A}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{Iad{\phi }^{\prime }\stackrel{=-\hat{x}\sin {\phi }^{\prime }+\hat{y}\cos {\phi }^{\prime }}{\overbrace{\hat{\phi }}}}{|(x-a\cos {\phi }^{\prime })\hat{x}+(y-a\sin {\phi }^{\prime })\hat{y}+z\hat{z}|}=...$$ $$...=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{Iad{\phi }^{\prime }(-\hat{x}\sin {\phi }^{\prime }+\hat{y}\cos {\phi }^{\prime })}{\sqrt{(x-a\cos {\phi }^{\prime }{)}^2+(y-a\sin {\phi }^{\prime }{)}^2+z^2}}$$ את האינטגרל הנ"ל ניתן להעריך באופן אנליטי באמצעות פונקציות הנקראות complete elliptic integrals, אך אלו אינן פונקציות אלמנטריות. עם זאת, אם נניח כי $r\gg a$

$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$ נציב באינטגרל ונקבל:

$$\overrightarrow{A}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{...}{r[1-\frac{2a}{r^2}(x\cos {\phi }^{\prime }+y\sin {\phi }^{\prime })+\frac{a^2}{r^2}{]}^{1/2}}$$נשתמש בקירוב:

$$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{a}{r}}}\stackrel{\frac{a}{r}\ll 1}{\overbrace{\approx }}1-\frac{1}{2}\frac{a}{r}$$$$\overrightarrow{A}=\frac{{\mu }_{0}Ia}{4\pi }\underset{{\phi }^{\prime }=0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{d{\phi }^{\prime }[-\hat{x}\sin {\phi }^{\prime }+\hat{y}\cos {\phi }^{\prime }]}{r}\cdot (1-\frac{a}{r^2}(x\cos {\phi }^{\prime }+y\sin {\phi }^{\prime }))$$$$\Rightarrow \overrightarrow{A}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }IS\cdot \frac{1}{{\gamma }^2}\hat{\phi }$$כאשר הגדרנו $S\equiv \pi a^2$.

$$\overrightarrow{H}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}=\frac{m}{4\pi r^3}(2\cos \theta \hat{r}+\sin \theta \hat{\theta })$$ כלומר, קיבלנו שדה שמתנהג, רחוק מאוד מהטבעת, כשדה של דיפול, בעל מומנט דיפול מגנטי $m\equiv I_{0}S$.

איור 2 - השוואה בין דיפול חשמלי למגנטי

באיור 2 מצוירים לצורך השוואה תרשימי השדה ה"אמיתי" עבור דיפול חשמלי ומגנטי (כלומר סופרפוזיציה של מקורות בגודל סופי - טבעת זרם ברדיוס סופי עבור הדיפול המגנטי, ומטענים נקודתיים הפוכים בסימנם ומרוחקים זה מזה מרחק סופי עבור הדיפול החשמלי). ניתן לראות שרחוק מהמקורות, היכן שהקירוב הדיפולי תקף, השדות מתנהגים באופן זהה. לעומת זאת, השדות הקרובים למקורות, בנקודות קרובות ביחס למימדי המקור, מתנהגים באופן הפוך, מאחר ולשדה החשמלי והשדה המגנטי מאפיינים שונים. החשמלי - אלקטרוסטטי וחסר רוטור, אך בעל דיברגנץ שונה מאפס בנקודות המקור. המגנטי - חסר דיברגנץ ולכן קווי השדה חייבים להיות סגורים.

חוק Biot - Savart

איור 3

הראינו כיצד לחשב את $\overrightarrow{A}$. כדי לקבל את השדה המגנטי עלינו להפעיל את אופרטור הרוטור על התוצאה. ניתן לעשות זאת על הביטוי האינטגרלי הכללי, ולקבל את חוק Biot - Savart (BS).

$$\overrightarrow{A}=\int \frac{\overrightarrow{J}(r^{\prime })}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}d{V}^{\prime }\Rightarrow \overrightarrow{H}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}=\frac{1}{4\pi }\mathrm{\nabla }\times \int \frac{\overrightarrow{J}(r^{\prime })}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}d{V}^{\prime }=...$$$$...=\frac{1}{4\pi }\int \mathrm{\nabla }\times \left(\frac{\overrightarrow{J}(r^{\prime })}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}\right)d{V}^{\prime }=\frac{1}{4\pi }\int [\mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{|r-r^{\prime }|}\right)\times \overrightarrow{J}(r^{\prime })+\frac{1}{|r-r^{\prime }|}\underset{=0}{\underbrace{\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{J}}}]d{V}^{\prime }$$כאשר השתמשנו בזהות:

$$\mathrm{\nabla }\times (\psi \overrightarrow{F})=\mathrm{\nabla }\psi \times \overrightarrow{F}+\psi (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F})$$ובנוסף איפסנו את $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{J}$ מכך שהגזירה היא לפי קורדינטת הצופה, בעוד $\overrightarrow{J}$ הוא פונקציה של קורדינטות המקור ${\overrightarrow{r}}^{\prime }$ בלבד.

נקבל:

$$\Rightarrow \overrightarrow{H}=\frac{1}{4\pi }\int \mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{|r-r^{\prime }|}\right)\times \overrightarrow{J}({\overrightarrow{r}}^{\prime })d{V}^{\prime }=\frac{1}{4\pi }\int [-\frac{1}{|r-r^{\prime }{|}^2}\cdot {\hat{i}}_{r^{\prime },r}\times \overrightarrow{J}({\overrightarrow{r}}^{\prime })]d{V}^{\prime }$$$$\text{Biot Savart law: }\overrightarrow{H}=\frac{1}{4\pi }\int \frac{\overrightarrow{J}({\overrightarrow{r}}^{\prime })\times {\hat{i}}_{r^{\prime },r}}{|r-r^{\prime }{|}^2}d{V}^{\prime }$$אם יש גם מקורות משטחיים או קווים:

$$\overrightarrow{H}=\underset{\text{Volume charges}}{\underbrace{\frac{1}{4\pi }\int \frac{\overrightarrow{J}({\overrightarrow{r}}^{\prime })\times {\hat{i}}_{r^{\prime },r}}{|r-r^{\prime }{|}^2}d{V}^{\prime }}}+\underset{\text{Surface charges}}{\underbrace{\frac{1}{4\pi }\int \frac{\overrightarrow{K}({\overrightarrow{r}}^{\prime })\times {\hat{i}}_{r^{\prime },r}}{|r-r^{\prime }{|}^2}d{S}^{\prime }}}+\underset{\text{Linear charges}}{\underbrace{\frac{1}{4\pi }\int \frac{I\overrightarrow{d{l}^{\prime }}\times {\hat{i}}_{r^{\prime },r}}{|r-r^{\prime }{|}^2}}}$$המגבלה של החוק הנ"ל הוא שהוא שימושי רק כאשר ידועים כל הזרמים במרחב, וניתן לחשב את כולם כסופרפוזיציה.

ואם זה לא המצב?

במקרים רבים, ידועים לנו במפורש הזרמים רק על חלק מהמקורות. לדוגמא - טבעת זרם הנמצאת בקרבת גוף כלשהו. הזרם על הטבעת ידוע, אבל הזרמים שמתעוררים בגוף בתגובה לשדה שיוצרת הטבעת אינם ידועים מראש, ולכן לא ניתן לחשב את השדה באמצעות סופרפוזיציה. במקרה כזה, הפתרון המלא לשדה גם כן ניתן לייצוג כסכום של פתרון פרטי הנובע ישירות מהמקורות, ופתרון הומוגני שיווצר בהשפעת תנאי השפה ותכונות הגופים האחרים בבעיה.

פתרון בעיית תנאי שפה עבור השדה המגנטי

תנאי שפה לשדה מגנטי בנוכחות מוליך אידאלי (PEC)

איור 4

כדי לבנות באופן שיטתי צריך פיתרון לבעיה המלאה עבור מקורות סמוכים לגופים העשויים מוליך אידאלי, נרשום את תנאי השפה עבור $\overrightarrow{H}$ במקרה זה (איור 4). נזכור כי על פי הגדרה, מוליך אידאלי הוא חומר שבו השדות מתאפסים, כלומר $\overrightarrow{E}=0,\overrightarrow{H}=0$.

$$\{\begin{array}{l}\hat{n}\times ({\overrightarrow{H}}_{out}-{\overrightarrow{H}}_{in})=\overrightarrow{K}\Rightarrow \hat{n}\times \overrightarrow{H}=\overrightarrow{K}\\ \hat{n}\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_{out}-{\mu }_0{\overrightarrow{H}}_{in})=0\Rightarrow \hat{n}\cdot {\mu }_0\overrightarrow{H}=0\end{array}$$לכן סמוך לשפת PEC, $\overrightarrow{H}$ יהיה רק מקביל לשפה.

ניסוח בעיית השדה המגנטוסטטי

בעיית השדה המגנטי מתוארת ע"י (איור 5)

איור 5

$$\{\begin{array}{ll}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\overrightarrow{J},& \hat{n}\times \overrightarrow{H}{|}_{\text{boundry}}=\overrightarrow{K}\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0\overrightarrow{H})=0,& \hat{n}\cdot {\overrightarrow{H}}_{\text{boundry}}=0\end{array}$$

את הפיתרון נחלק ל-2 חלקים: פרטי והומוגני,

$$\overrightarrow{H}={\overrightarrow{H}}_p+{\overrightarrow{H}}_h$$

את הפתרון הפרטי נקבל ישירות מסופרפוזיציה באמצעות חוק ביו סבר

$${\overrightarrow{H}}_p=\frac{1}{4\pi }\int \frac{\overrightarrow{J}({\overrightarrow{r}}^{\prime })\times {\hat{i}}_{r^{\prime },r}}{|r-r^{\prime }{|}^2}d{V}^{\prime }$$

עבור הפתרון ההומוגני, עלינו להגדיר תחילה את המשוואות אותן הוא מקיים

$$\mathrm{\nabla }\times ({\overrightarrow{H}}_h)=\mathrm{\nabla }\times (\overrightarrow{H}-{\overrightarrow{H}}_p)=0$$ משוואה זו מתקיימת מכיוון שצפיפות הזרם בבעיה היא בדיוק צפיפות הזרם אותה לקחנו בחשבון כאשר חישבנו את הפתרון הפרטי. $$\mathrm{\nabla }\cdot ({\overrightarrow{H}}_h)=\mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{H}-{\overrightarrow{H}}_p)=0$$ גם הפתרון הפרטי וגם השדה המלא הם חסרי דיברגנץ.

תנאי השפה:

$$\hat{n}\cdot ({\mu }_0\overrightarrow{H}){|}_{\text{boundry}}=\hat{n}({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_p+{\mu }_0{\overrightarrow{H}}_h)=0$$$$\Rightarrow \hat{n}\cdot {\mu }_0{\overrightarrow{H}}_h=\underset{\text{Already known}}{\underbrace{-\hat{n}\cdot {\mu }_0{\overrightarrow{H}}_p}}$$ נשים לב ש ${\overrightarrow{H}}_h$ - החלק ההומוגני של השדה המגנטי - מקיים את אותן משוואות שמקיים השדה האלקטרוסטטי! ולכן - אפשר להגדיר את הפוטנציאל המגנטי הסקלרי:

$$\mathrm{\nabla }\times {\overrightarrow{H}}_h=0\Rightarrow {\overrightarrow{H}}_h\equiv -\mathrm{\nabla }{\varphi }_m$$ כאשר ${\varphi }_m$ הוא הפוטנציאל המגנטי הסקלרי/ נציב בחוק גאוס המגנטי:

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_h)=\mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0(-\mathrm{\nabla }{\varphi }_m))={\mathrm{\nabla }}^2{\varphi }_m=0\\ \hat{n}\cdot H_h=-\frac{\partial {\varphi }_m}{\partial n}=-\hat{n}\cdot H_p\end{array}$$וקיבלנו את משוואת לפלאס עבור הפוטנציאל המגנטי הסקלרי. עובדה זו כמובן מעודדת מאוד, מאחר ולמדנו מגוון רחב של כלים מתמטיים לפתרון משוואת לפלס.

חשוב לציין ששימוש בפוטנציאל מגנטי סקלרי מוגבל לבעיות מגנטוסטטיות בלבד, ומאחר ואם יש שינויים בזמן, אז גם באיזור בו מתקיים $\overrightarrow{J}=0$ יתקיים $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=-{ϵ}_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$, כלומר השדה המגנטי לא יהיה שדה משמר (באופן אופן שבו זה קורה בבעיות אלקטרוסטטיות).

הערה חשובה - תחומים פשוטי קשר

בעצם, מתוך ההבנה שאנו מחשבים את השדה המגנטי בתחום שבו $\overrightarrow{J}=0$ (מאחר וניסחנו את הבעיה עבור הפתרון הומוגני) קיבלנו שהשדה המגנטי הוא שדה משמר, ולכן ניתן לרשום אותו הגרדיאנט של פונקציית פוטנציאל סקלרית. האם זה תמיד המצב כאשר פותרים שדה באיזור חסר זרמים? יש להזהר מעט עם המסקנה הזו. נחזור להגדרה הפורמלית עבור שדה משמר - שדה שאינטגרל העבודה עליו לא תלוי במסלול, אלא רק בנקודת ההתחלה והסיום. באופן שקול, ניתן לקבל שכל שדה שמקיים $$\oint \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{d\ell }=0$$ הוא שדה משמר. תנאי זה שקול לתנאי הדיפרנציאלי $\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}=0$ אך ורק כאשר מדובר בתחום פשוט קשר. כעת, אם נחזור למשוואות מקסוול האינטגרליות בסטטיקה, נראה שמתקיים

$$\oint \overrightarrow{H}\cdot \overrightarrow{dl}=I$$ $$\oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl}=0$$

כלומר, השדה חשמלי הסטטי הוא תמיד שדה משמר, אך השדה המגנטי הסטטי יכול להיות לא משמר, גם כאשר באיזור שבו אנחנו מסתכלים לא זורמים זרמים. זה יקרה כאשר יש באיזור שבו אנחנו מסתכלים "חור", ודרך חור סה"כ חולף נטו זרם, כך שאם נקיף את ה"חור" במסלול אינטגרציה ונבצע אינטגרציה על השדה המגנטי, נקבל תוצאה שונה מאפס. ולכן, עלינו להזהר כאשר אנחנו עוסקים בתחומים שאין פשוטי קשר, מכיוון שיכולים לחלוף "דרכם" זרמים. נסתכל על הדוגמא המוכרת של תיל אינסופי (איור 6). מחוץ לתיל מתקיים $\overrightarrow{J}=0$. את השדה בבעיה זו אנו יודעים לחשב מתוך חוק אמפר האינטגרלי ולקבל:

איור 6

$$\overrightarrow{H}=\frac{I}{2\pi }\hat{\phi }$$ ולכן, פורמלית ניתן לחשוב שאפשר להגדיר פונקציית פוטנציאל: $${\varphi }_m=\frac{I}{2\pi }\phi$$, ואם נבצע עליה גרדיאנט אכן נקבל את השדה הנכון. אבל, מאחר והתחום מחוץ לתיל אינו תחום פשוט קשר, עלולה להתעורר כאן בעייתיות, בפרט כשברור לנו שב"חור" שיש בתחום זורם זרם. בעייתיות זו באה לידי ביטוי כאן בעובדה שזו לא פונקציה חד - ערכית ולמעשה: $$\varphi (2\pi )-\varphi (0)=\oint \overrightarrow{H}\cdot \overrightarrow{dl}=I$$מתי לא תהיה בעיה?כאשר התחום שבו מתקיים $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=0$ הוא תחום פשוט קשר.

דוגמא 1 - כדור PEC בשדה מגנטי

איור 7

כדור שרדיוסו $a$ עשוי מוליך אידאלי, ומוכנס לתחום שבו שורר שדה מגנטי אחיד $H_0\hat{z}$, כמוראה באיור 7. עלינו לפתור את $\overrightarrow{H}$ מחוץ לכדור.

מאחר ואין זרמים מחוץ לכדור:

$$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=0\Rightarrow \overrightarrow{H}=-\mathrm{\nabla }{\varphi }_m$$הפוטנציאל ${\varphi }_m$ מקיים:

$${\mathrm{\nabla }}^2{\varphi }_m=0$$תנאי השפה הינם:

$$\{\begin{array}{l}\hat{n}\cdot {\mu }_0\overrightarrow{H}=0\Rightarrow \hat{r}\cdot {\mu }_0(-\mathrm{\nabla }{\varphi }_m)=0\Rightarrow \frac{\partial {\varphi }_m}{\partial r}{|}_{r=a}=0\\ {\varphi }_m(r\gg a)=-H_{0}z=-H_{0}r\cos \theta \end{array}$$כדי לקיים את תנאי השפה:

$${\varphi }_m=(Ar+\frac{B}{r^2})\underset{=P_1^0(\cos \theta )}{\underbrace{\cos \theta }}$$נציב בתנאי השפה:

$$\{\begin{array}{l}A-\frac{2B}{a^3}=0\Rightarrow B=\frac{a^3}{2}A\\ {\varphi }_m(r\gg a)\sim Ar\cos \theta =-H_{0}r\cos \theta \end{array}$$נקבל:

$$A=-H_0,B=-\frac{H_0}{2}{a}^3$$בסוף, הפוטנציאל המגנטי יהיה:

$${\varphi }_m=-H_0(r+\frac{a^3}{2r^2})\cos \theta =\underset{\text{Stimulated potential}}{\underbrace{-H_{0}r\cos \theta }}\underset{\text{Reaction potential}}{\underbrace{-H_0\frac{a^3}{2r^2}\cos \theta }}$$מה השדה המגנטי?

$$\overrightarrow{H}=-\mathrm{\nabla }{\varphi }_m=H_0\hat{z}-\frac{H_0{a}^3}{2}\underset{=-\mathrm{\nabla }\cdot (\frac{\cos \theta }{r^2})}{\underbrace{\frac{1}{r^3}[2\cos \theta \hat{r}+\sin \theta \hat{\theta }]}}$$ כאשר אנחנו מזהים את המבנה הדיפולי של שדה התגובה (תרשים של השדה מלא מוצג באיור 8).

מה מומנט הדיפול המגנטי השקול שיוצר את שדה התגובה?

$$\frac{m}{4\pi }=-\frac{H_0{a}^3}{2}\Rightarrow m=\underset{\text{Magnetic polarizability of PEC ball}}{\underbrace{-2\pi a^3}}\cdot \underset{\text{Stimulated}}{\underbrace{H_0}}$$

קיבלנו ${\alpha }_m=-2\pi a^3\equiv -\frac{3}{2}V$, בעוד במקרה החשמלי קיבלנו ${\alpha }_e={ϵ}_0\cdot 4\pi a^3\equiv {ϵ}_0\cdot 3V$. מעבר לעובדה שיש הבדל בערך עצמו, הסימנים הם שונים. בפרט, הקיטוביות המגנטית היא שלילית - כלומר נוצר דיפול בעל מומנט הפוך לכיוון השדה המעורר.

אינטואיציה לכך ניתן לקבל מההתנהגות השדות ההפוכה שראינו בקרבת טבעת זרם ודיפול מטען (איור 2). התפלגות המקורות המושרים על הכדור (גם במקרה החשמלי וגם במקרה המגנטי) נוצרת כך ששדה התגובה בתוך הכדור יקזז את השדה החיצוני, כדי שנקבל שערכו אפס בתוך ה-PEC. מאחר ומטענים חשמליים יוצרים בקרבתם שדה חשמלי הפוך לכיוון מומנט הדיפול, מומנט הדיפול יווצר עם כיוון השדה החיצוני כדי לקבל את הקיזוז הדרוש. בתגובה לשדה מגנטי קורה ההיפך - סמוך לטבעת השדה המגנטי שנוצר הוא באותו כיוון של הדיפול שנצפה מבחוץ, ולכן הדיפול חייב להווצר הפוך לשדה החיצוני כדי לקבל את הקיזוז הדרוש בתוך הכדור.

• האם הפוטנציאל ${\varphi }_m$ רציף?

איור 8 - השדה בבעיה

בתוך הכדור $\overrightarrow{H}=0$ ולכן ${\varphi }_m=\text{Const}$

על שפת הכדור, מבחוץ: ${\varphi }_m=-H_0\frac{3}{2}\cdot a\cos \theta$

ולכן הפוטנציאל לא רציף. מדוע זה קורה כאן, בניגוד למקרה החשמלי? נזכור, שרציפות הפוטנציאל נובעת מרציפות הרכיב המשיקי של השדה. עבור השדה החשמלי - רכיב זה תמיד רציף. לעומת זאת עבור השדה המגנטי, כאשר מתעורר זרם משטחי, הרכיב המשיקי אינו רציף. ולכן, כאן ניתן לצפות מראש לחוסר רציפות הפוטנציאל, מאחר וחייבים להתעורר זרמים על שפת הכדור, שבתורם יוצרים את שדה התגובה הדיפולי.

• מה הזרם על שפת הכדור?

$$\overrightarrow{K}=\hat{r}\times \overrightarrow{H}{|}_{r=a}=\hat{r}\times (H_0\hat{z}-\frac{H_0{a}^3}{2a^3}\sin \theta \hat{\theta })=-\frac{3}{2}{H}_0\sin \theta \hat{\phi }$$אם נסכם את מומנט הדיפול של "שכבות" הכדור, נקבל סך הכל את מומנט הדיפול השקול.

דוגמא 2 - גליל PEC בשדה מגנטי אחיד

איור 9

נתון גליל שרדיוסו $a$ ונמצא בשדה מגנטי חיצוני אחיד, כמוראה באיור 9. תנאי השפה דומים מאוד לדוגמא הקודמת.עם זאת, נשים לב כי כעת אנחנו מחשבים את השדה בתחום שאינו פשוט קשר. ננסה לפתור, ולוודא בסוף שאכן קיבלנו שסך הזרמים בגליל מתאפסים.

ניתן לפתור עם פוטנציאל סקלרי ולקבל:

$${\varphi }_{m,s}=H_0\frac{a^2}{r}\sin \phi$$$${\varphi }_m={\varphi }_{m,s}+{\varphi }_{ext}$$ולכן:

$$\overrightarrow{K}=-2H_0\cos \phi \hat{z}$$אם נסתכל על חתך הגליל, סך הזרם החוצה את החתך הוא אפס!

ולכן - לא הייתה בעיה בהגדרה של ${\varphi }_m$.

נשווה מקדמים:$$\frac{P_{2D}}{2\pi }=H_0{a}^2\Rightarrow P_{2D}=H_0\cdot (2\pi a^2)=(-H_0)\cdot (-2\pi a^2)$$$$\Rightarrow {\alpha }_{2D}=-2\pi a^2=-2S$$$${\overrightarrow{H}}_s=-\frac{H_0{a}^2}{r^2}\cdot [-\sin \phi \hat{r}+\cos \phi \hat{\phi }]$$$$H_{2D}=\frac{Id}{2\pi r^2}(\sin \phi \hat{r}-\cos \phi \hat{\phi })$$

שיקופים

בדומה לבעיות שדה חשמלי, גם במקרה של שדה מגנטי ניתן לפתור באמצעות שיקופים עבור בעיות של מקורות בסמוך למשטחים אינסופיים עשויים מוליך אידאלי. באיור 10 מוצג סיכום של פתרון שיקוף עבור דיפולים חשמליים ומגנטיים.

איור 10

כא"מ והשראות

איור 11

נסתכל על הדוגמא הנתונה באיור 11, וספציפית נסתכל על המעגל המסומן בצבע שחור. אם היינו מניחים שמתקיים במעגל השחור חוק קירכהוף עבור המתחים, היינו מקבלים ש-$V_{R1}=V_{R2}$. כעת, נשתמש בחוק פאראדיי במקום להניח שניתן להשתמש בחוקי קירכהוף, $$\oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl}=-\frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{\partial }{\partial t}{\mu }_0\iint \overrightarrow{H}\cdot \overrightarrow{dS}=i(R_1+R_2)$$ במשוואה זו יש מספר גדלים חשובים. $\oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl}$ הוא הכא"מ ($emf$) סביב מסלול האינטגרציה ולמעשה מייצג את העבודה שיבצע השדה החשמלי על יחידת מטען המונעת לאורך מסלול אינטגרציה, ו-$\psi$ הוא השטף המגנטי החולף דרך מסלול האינטגרציה. ולכן, מחוק פאראדיי אנחנו מקבלים

$$i=-\frac{\partial \psi }{\partial t}\cdot \frac{1}{R_1+R_2}$$

לא סתם שמתקיים $V_{R1}\ne V_{R2}$, בנוסף הם בסימן הפוך זה לזה בכלל כיוון הזרם ההפוך בנגדים. הסיבה לסתירה שקיבלנו לחוק המתחים היא שחוקי קירכהוף הם חוקים קוואזיסטטיים, וחוק המתחים בפרט נכון כל עוד ניתן להזניח את שינוי השטף המגנטי דרך שטח המעגל. כאשר זה לא קורה, נוצר כא"מ מושרה במעגל, שגורם לאינטגרל הסגור על השדה המגנטי להיות שונה מאפס (למעשה במקרה שהשינוי בשטף משמעותי, השדה המגנטי חדל מלהיות שדה משמר).

תיקונים לשדה הקוואזיסטטי

איור 12

כעת נסתכל על איור 12. במעגל מחובר מד מתח אידאלי, והגודל הנמדד על-ידו הוא $$V_{21}=-\underset{1}{\overset{2}{\int }}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl}$$ כאשר במעגל יהיו שינויים זמניים, וכאשר שינויי השטף המגנטי דרכו אינם זניחים, יווצר כא"מ כתוצאה מחוק פאראדיי. אם נסתכל על הבעיה במונחים קוואזי-סטטים, נשים לב כי השדה החשמלי היוצר את הכא"מ המושרה הוא תיקון מסדר 1 לשדה הסטטי מאחר והוא נובע מנגזרות זמניות של השדה המגנטוסטטי. $$\oint {\overrightarrow{E}}^{(1)}\cdot \overrightarrow{dl}=-\frac{\partial }{\partial t}{\mu }_0\iint {\overrightarrow{H}}^{(0)}\cdot \overrightarrow{dS}⟺\mathrm{\nabla }\times {\overrightarrow{E}}^{(1)}=-{\mu }_0\frac{\partial H^{(0)}}{\partial t}$$ והוא אינו שדה משמר. מכאן, שמדידת המתח תהיה תלויה במסלול האינטגרציה, ולכן יש חשיבות לנקודות ביניהם מחובר מד המתח ול"מסלול החוטים" שלו.

כעת, נציב בחוק פאראדיי, כאשר מסלול האינטגרציה עובר סמוך מאוד לחוטים ובמשיק להם, ונפרק את המסלול לחלקים

$$\oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl}=-\frac{\partial \psi }{\partial t}⟹\underset{1\to 2}{\int }\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl}+\underset{2\to 3\to 1}{\int }\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl}=-V_{21}+\underset{2\to 3\to 1}{\int }\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl}=-\frac{\partial \psi }{\partial t}$$

ואם נארגן את הביטוי נקבל

$$V_{21}=\underset{2\to 3\to 1}{\int }\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl}+\frac{\partial \psi }{\partial t}$$

מקרה 1:

אם $\frac{\partial \psi }{\partial t}$ זניח, או שהבעיה סטטית, חוזרים לתרחיש המוכר:

איור 13

$$V_{21}=\underset{2\to 3\to 1}{\int }\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl}$$ וזה בדיוק KVL. אם במקרה זה נניח שהחוטים נראים כמו באיור (13) ועשויים מחומר שמוליכותו הסגולית $\sigma$ נקבל,

$$\overrightarrow{J}=\frac{I}{A},E=\frac{J}{\sigma }\Rightarrow V_{21}=\frac{J}{\sigma }\cdot l=\frac{I}{A\sigma }\cdot l=\underset{\equiv R}{\underbrace{(\frac{l}{A\sigma })}}I$$

מקרה 2:

$\frac{\partial \psi }{\partial t}$ לא זניח.

אם כעת נניח שכל החוטים עשויים מ PEC:

$$V_{21}=\underset{=0}{\underbrace{\int \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl}}}+\frac{\partial \psi }{\partial t}=\frac{\partial \psi }{\partial t}$$

מאחר ומתקיים:

$$\psi ={\mu }_0\iint \overrightarrow{H}\cdot dS$$

וגם מדובר בבעיה לינארית שבה

$$\overrightarrow{H}\propto I$$

מתקיים:

$$\psi =\underset{\text{Inductance}}{\underbrace{L}}\cdot I$$ קבוע הפרופורציה $L$ נקרא ההשראות (Inductance) של המעגל. רכיבים כגון סלילים בנויים כך ששינויי השטף דרכם יהיו משמעותיים ובעזרתם ניתן לשלב תכונות השראותיות במערכות. אם נציב בחוק פאראדיי נקבל $$\Rightarrow \frac{\partial \psi }{\partial t}=\underset{=L}{\underbrace{\frac{\partial \psi }{\partial I}}}\cdot \frac{\partial I}{\partial t}=L\frac{\partial I}{\partial t}=V_{21}$$ וזהו הביטוי המוכר למפל המתח על משרן.

השראות הדדית

איור 14

נביט במעגל המשורטט באיור 14. כאשר יש לנו מעגלים סמוכים בעלי תכונות השראותיות, השדות המגנטיים הנוצרים בעקבות זרמים באחד המעגלים ישפיעו על השטף החולף דרך רכיבי המעגל השני. אפקט זה מתווסף להשפעה העצמית שאותה כבר ניתחנו. כעת, שכבר מובן לנו שאנו עוסקים בבעיות שבהן השדה המגנטי לינארי לזרמים הנוצרים, ניתן לרשום באופן כללי את השטף דרך כל משרן באופן הבא:

$$\{\begin{array}{l}{\psi }_1=L_{\text{1,1}}\cdot I_1+L_{1,2}\cdot I_2\\ {\psi }_2=L_{2,1}\cdot I_1+L_{2,2}\cdot I_2\end{array}$$

או בצורה מטריצית $$\left(\begin{array}{c}{V}_1\\ V_2\end{array}\right)=\underset{\underset{\_}{\underset{\_}{L}}}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}{L}_{11}& L_{12}\\ L_{21}& L_{22}\end{array}\right)}}\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{\partial I_1}{\partial t}\\ \frac{\partial I_2}{\partial t}\end{array}\right)$$ איברי האלכסון הן ההשראויות העצמיות עליהן כבר דיברנו. האיברים מחוץ לאלכסון $L_{i,j}$ מציינים השראויות הדדיות - כיצד זרם שזורם במשרן ה-$j$ תורם לשטף המגנטי דרך המשרן ה-$i$. המטריצה $\underset{\_}{\underset{\_}{L}}$ חייבת להיות סימטרית, והאיברים מחוץ לאלכסון יכולים להיות גם שליליים, וסימנם לוי בכיוון השדה המגנטי שיוצר רכיב $i$ על רכיב $j$.

דוגמא

איור 15

באיור 15 נתונות נתונות שתי טבעות בעלות רדיוסים $R_1\gg R_2$. הטבעות נמצאות באותו מישור.

מה ההשראות ההדדית?

מאחר והטבעת הפנימית קטנה מאוד, נניח כי השדה היוצרת עליה הטבעת החיצונית אחיד בקירוב, ושווה לשדה במרכזה. נקבל: $${\psi }_2={\mu }_0\frac{I_1}{2R_1}\cdot \pi R_2^2=\underset{\equiv L_{21}}{\underbrace{{\mu }_0\frac{\pi R_2^2}{2R_1}}}\cdot I$$

נשים לב כי יכלנו גם לעשות את החישוב ההפוך - לחשב את השדה שיוצרת הטבעת הפנימית על פני המישור במכיל את הטבעות בכל נקודה, ואז לבצע אינטגרציה. חישוב כזה היה מאתגר הרבה יותר וכלל לא בטוח שהיינו מצליחים לבצע אותו, העובדה שמטריצת ההשראות חייבת להיות סימטרית, מאפשרת לנו לבצע את החישוב בצורה פשוטה הרבה יותר.