פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר: Difference between revisions

Latest revision as of 09:21, 2 February 2026

כפי שראינו בפרק על פולריזציה, חומרים יכולים להגיב לנוכחותו של שדה חשמלי לידם / בתוכם. תגובה זו מתרחשת (אם כי בעקבות מנגנונים פיזיקליים שונים) גם כאשר חומר נחשף לשדה מגנטי.

כאשר שוחחנו על חומרים חשמליים, תארנו באופן קלאסי את תגובתם על ידי "הסטת" ענן אלקטרונים ביחס לגרעין, מה שגורם להיווצרות מומנט דיפול באטום / מולקולה.

כעת, ננסה להבין את התופעות המתרחשות בתוך החומר המאפשרות או יוצרות את התגובה של החומר לשדה מגנטי.

ראשית, ניזכר בתיאור שקיבלנו עבור דיפול מגנטי. בהרצאה על מגנטוסטטיקה ראינו שלולאת זרם קטנה יוצרת שדה מגנטי שמשתנה כשדה של דיפול, כאשר מומנט הדיפול היה $m = I \cdot A$ .

את האטומים של החומר, ניתן לתאר באמצות לולאות זרם קטנות של דיפולים מגנטיים.

שדות מגנטיים בחומר[edit | edit source]

מנגנוני מגנטיזציה[edit | edit source]

את הזרם, או את הדיפול באופן שקול, נהוג לייחס ל - 2 מנגנונים עיקריים:

Spin Magnetization (איור 1) - דיפול מגנטי שקיים באופן טבעי בחלקיקים המרכיבים את האטום - אלקטרונים, פרוטונים וניורוטונים. במצב טבעי, דיפולים אלו במצאים באורינטציה אקראית בחומר והדיפול הממוצע הוא אפס.
Orbital Magnetization (איור 2) - דיפול מגנטי הנובע מהתנועה המעגלית שמבצעים האלקטרונים סביב הגרעיון - מתנהגים כטבעת זרם קטנה.

מכאן, הפעלת שדה מגנטי חיצוני יכולה להשפיע על החומר (או על הדיפולים בחומר) ב - 2 דרכים שונות:

לסובב וליישר את הדיפולים ה"טבעיים" הקיימים, כך שיווצר עבורה כיוון מועדף, ואז הדיפול הממוצע לא יהיה אפס.
לשנות את גודלו של הזרם בלולאות כך שעוצמת הדיפול תשתנה. דבר זה קורה בעקבות כא"מ מושרה בלולאות.

דיאמגנטים - Orbital Magnetization (איור 3)[edit | edit source]

נסתכל על טבעת זרם.

נניח כי הזרם נוצר כתוצאה של תנועה של חלקיקים בעלי מסה q ומטען m.

כעת, נניח שנדליק אט - אט שדה מגנטי הניצג ללולאה מחוק פארדיי:

$\int_{l o o p} \vec{E} \cdot d l = - \frac{d}{d t} \iint (μ_{0} \vec{H}) \hat{n} d S$ $\Rightarrow E \cdot 2 π r = - \frac{d B}{d t} \cdot π r^{2} \Rightarrow E = - \frac{r}{2} μ_{0} \frac{d \vec{H}}{d t}$ כלומר, בעקבות שינוי השטף נוצר שדה חשמלי היקפי המפעיל כוח על המטענים הזורמים בטבעת.

סימן המינוס מרמז על כך שהכוח יפעל על הזרם כדי "לזרז" את השינוי בשטף (עיקרון לנץ).

בסך הכל, אם נבצע "רעיונית" אינטגרציה בזמן, נגלה שבכל תהליך ההפעלה של $\vec{B}$ פעל כוח על המטענים בטבעת והקטין את הזרם, ולכן הקטין את מומנט הדיפול.

או, בשפה מעט יותר מתאימה, הפעלת השדה המגנטי $\vec{H}$ , הוסיפה לחומר דיפול המנוגד לכיוונו של $\vec{H}$ .

חומרים המגיבים בעזרת מנגנון זה נקראים דיאמגנטיים.

דוגמאות - כספית, כסף, ביסמוט, נחושת, מים.

פאראמגנטים(Paramagnets), פרומגנטים(Ferromagnets) - Spin Magnetization[edit | edit source]

כאשר החומר מורכב מדיפולים של spin, הפעלה של שדה חיצוני "תסדר" את הדיפולים בכיוון השדה, ולכן תוסיף לחומר דיפול ממוצע בכיוון השדה.

חומרים אלו נראים פאראמגנטיים.

יש חומרים מסוימים שעבורם יש בחומר דיפולים ומבנה המאפשרית תגובה מאוד חזקה באופן הזה אלו נקראים פרומגנטיים (ברזל, קובלט), ותגובתם לשדה מגנטי חזקה מאוד.

חשוב לציין: כדי לנתח באופן כמותי תופעות מגנטיות בחומר, יש להשתמש בכלים ממכניקת הקוונטים - אלו אינן תופעות בעולם הקלאסי.

עם זאת, ולמרות היותו שגוי, ההסבר הקלאסי יכול להיות אינטואיטיבי, ואפילו לפרקים לתת תוצאות כמותיות נכונות.

וקטור מגנטיזציה - $\vec{M}$ [edit | edit source]

כעת, כאשר התרשמנו וקיבלנו קצת אינטואיציה על המנגנונים היוצרים את המגניטציה, נרצה לקבל תאור כמותי. גם כאן נגדיר לנו את $\vec{M}$ - וקטור המגנטיזציה המייצג את הצפיפות המגנטית בחומר. נסתכל על אלמנט מגנטיזציה קטן: $d \vec{m} = \sum \vec{m} = \vec{M} \cdot d v \Leftrightarrow \frac{d \vec{m}}{d v} = \vec{M}$ ישנם שני מודלים לתיאור המקורות השקולים המייצגים את המגנטיזציה:

מודל הזרם האמפרי
מודל המטען המגנטי

1.מודל הזרם האמפרי (איורים 5,4)[edit | edit source]

כאשר באזור מסוים משתנה המגנטיזציה, תהיה צפיפות זרם שקולה המייצגת שינוי זה.

נרצה לשכנע שמתקיים: ${\vec{J}}_{a} = \nabla \times \vec{M}$ . נתחיל מלהסתכל שוב על אלמנט מגנטיזציה קטן: $d \vec{m} = \vec{M} (d \vec{l} \cdot d \vec{a}) = (\vec{M} \cdot d \vec{l}) d \vec{a}$ מתקיים $I = \vec{M} \cdot d \vec{l}$ ולכן: $d \vec{m} = I d \vec{a}$ קיבלנו את התוצאה שקיבלנו דרך מגנטוסטטיקה עבור מומנט הדיפול של לולאת זרם בשטח $d \vec{a}$ .

מה סך הזרם שעובר דרך הלולאה שהגדרנו? $I = \oint \vec{M} \cdot d \vec{l}$ מצד אחד, ישנו הקשר בין הזרם לצפיפות הזרם: $I = \iint {\vec{J}}_{a} \cdot d \vec{a}$ מצד שני, לפי משפט סטוקס נוכל לומר: $\oint \vec{M} \cdot d \vec{l} = \iint \vec{\nabla} \times \vec{M} \cdot d \vec{a}$ מאחר שאין תלות בלולאה בה נבחר, נקבל את השוויון: ${\vec{J}}_{a} = \nabla \times \vec{M}$ והוכחנו.

זרמי מגנטיזציה משטחיים[edit | edit source]

נמצא תנאי שפה במעבר בין תווכים בהם $\vec{H}$ שונה: $(1) \nabla \times H = J + \frac{\partial D}{\partial t} \Rightarrow \hat{n} \times ({\vec{H}}_{2} - {\vec{H}}_{1}) = \vec{k}$ ובין תווכים בהם $\vec{M}$ שונה: $(2) \nabla \times M = J_{a} \Rightarrow \hat{n} \times ({\vec{M}}_{2} - {\vec{M}}_{1}) = {\vec{k}}_{a}$

משוואות מקסוול בחומר[edit | edit source]

נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות מגנטיזציה: ${\begin{cases} \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial (μ_{0} {\vec{H}}_{a})}{\partial t} \\ \nabla \cdot \vec{D} = ρ_{f} \\ \nabla \times {\vec{H}}_{a} = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} + {\vec{J}}_{f} + \underset{\vec{J_{a}}}{\underset{⏟}{\nabla \times \vec{M}}} \\ \nabla \cdot (μ_{0} {\vec{H}}_{a}) = 0 \end{cases}$ ותנאי השפה: ${\begin{cases} \hat{n} \times ({\vec{E}}_{2} - {\vec{E}}_{1}) = 0 \\ \hat{n} \cdot ({\vec{D}}_{2} - {\vec{D}}_{1}) = η_{f} \\ \hat{n} \times ({\vec{H}}_{a, 2} - {\vec{H}}_{a, 1}) = {\vec{K}}_{f} + \underset{\vec{K_{a}}}{\underset{⏟}{\hat{n} \times ({\vec{M}}_{2} - {\vec{M}}_{1})}} \\ \hat{n} \cdot (μ_{0} {\vec{H}}_{a, 2} - μ_{0} {\vec{H}}_{a, 1}) = 0 \end{cases}$

2. מודל המטענים המגנטיים (איור 7)[edit | edit source]

למרות שעד כה אין ראיות להמצאות מטענים מגנטיים "בודדים" (מונופולים) בטבע, לפחות מתמטית ניתן להניח את קיומם כדי לבנות מודל שמתבסס על השוואה בין פולריזציה לבין המגנטיזציה: $\vec{P} \Leftrightarrow μ_{0} \vec{M}$ צפיפות המטען הנפחית: $ρ_{p} = - \nabla \cdot P \Leftrightarrow ρ_{m} = - \nabla \cdot (μ_{0} \vec{M})$ צפיפות הזרם: $\vec{J_{p}} = \frac{\partial \vec{P}}{\partial t} \Leftrightarrow \vec{J_{m}} = \frac{\partial}{\partial t} (μ_{0} \vec{M})$ צפיפות המטען המשטחית: $η_{p} = - \hat{n} \cdot ({\vec{P}}_{2} - {\vec{P}}_{1}) \Leftrightarrow η_{m} = - \hat{n} \cdot (μ_{0} {\vec{M}}_{2} - μ_{0} {\vec{M}}_{1})$

חוק שימור המטען המגנטי[edit | edit source]

קיבלנו את הביטוי לצפיפות המטען המשטחית: $η_{m} = - \hat{n} \cdot (μ_{0} {\vec{M}}_{2} - μ_{0} {\vec{M}}_{1})$ נגזור אותו בזמן: $\frac{\partial η_{m}}{\partial t} = - \hat{n} \cdot (μ_{0} \vec{\frac{\partial M_{2}}{\partial t}} - μ_{0} \frac{\partial {\vec{M}}_{1}}{\partial t}) = - \hat{n} \cdot (\vec{J_{m_{2}}} - \vec{J_{m_{1}}})$ וקיבלנו את חוק שימור המטען המגנטי: $- \frac{\partial η_{m}}{\partial t} = \hat{n} \cdot (\vec{J_{m_{2}}} - \vec{J_{m_{1}}})$

משוואות מקסוול במודל המטען (אנלוגיה עם מודל הפולריזציה החשמלית)[edit | edit source]

נרשום את משוואות מקסוול: ${\begin{cases} \nabla \cdot (ϵ_{0} E) = ρ_{f} + (- \nabla \cdot P) \\ \nabla \times H = \frac{\partial (ϵ_{0} E)}{\partial t} + J_{f} + \frac{\partial P}{\partial t} \\ \hat{n} \cdot (ϵ_{0} E_{2} - ϵ_{0} E_{1}) = η_{f} + (- \hat{n} \cdot [P_{2} - P_{1}]) \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} \nabla \cdot (μ_{0} \vec{H}) = \underset{= 0}{\underset{⏟}{ρ_{m f}}} + ρ_{m} = ρ_{m} \\ \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial}{\partial t} (μ_{0} \vec{H}) - \underset{J_{m}}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial t} (μ_{0} \vec{M})}} - \underset{= 0}{\underset{⏟}{J_{m f}}} \\ \hat{n} \cdot (μ_{0} {\vec{H}}_{2} - μ_{0} {\vec{H}}_{1}) = \underset{= 0}{\underset{⏟}{η_{m f}}} + η_{m} = - \hat{n} \cdot (μ_{0} {\vec{M}}_{2} - μ_{0} {\vec{M}}_{1}) \end{cases}$

סיכום המודלים - משוואות מקסוול בחומר[edit | edit source]

מודל הזרם האמפרי: ${\begin{cases} \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial (μ_{0} {\vec{H}}_{a})}{\partial t} \\ \nabla \cdot \vec{D} = ρ_{f} \\ \nabla \times ({\vec{H}}_{a} - \vec{M}) = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} + {\vec{J}}_{f} \\ \nabla \cdot (μ_{0} {\vec{H}}_{a}) = 0 \\ \hat{n} \times ({\vec{E}}_{2} - {\vec{E}}_{1}) = 0 \\ \hat{n} \cdot ({\vec{D}}_{2} - {\vec{D}}_{1}) = η_{f} \\ \hat{n} \times ([{\vec{H}}_{a, 2} - {\vec{M}}_{2}] - [{\vec{H}}_{a, 1} - {\vec{M}}_{1}]) = {\vec{K}}_{f} \\ \hat{n} \cdot (μ_{0} {\vec{H}}_{a, 2} - μ_{0} {\vec{H}}_{a, 1}) = 0 \end{cases}$ מודל המטען המגנטי: ${\begin{cases} \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial (μ_{0} {\vec{H}}_{a})}{\partial t} \\ \nabla \cdot \vec{D} = ρ_{f} \\ \nabla \times \vec{H} = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} + {\vec{J}}_{f} \\ \nabla \cdot (μ_{0} [\vec{H} + \vec{M}]) = 0 \\ \hat{n} \times ({\vec{E}}_{2} - {\vec{E}}_{1}) = 0 \\ \hat{n} \cdot ({\vec{D}}_{2} - {\vec{D}}_{1}) = η_{f} \\ \hat{n} \times ({\vec{H}}_{2} - {\vec{H}}_{1}) = {\vec{K}}_{f} \\ \hat{n} \cdot (μ_{0} [{\vec{H}}_{2} + {\vec{M}}_{2}] - μ_{0} [{\vec{H}}_{1} + {\vec{M}}_{1}]) = 0 \end{cases}$ נשים לב לכך שאם נגדיר $\vec{H} + \vec{M} = {\vec{H}}_{a}$ נקבל בדיוק את אותן משוואות!

משוואות מקסוול בחומר - צפיפות השטף המגנטי[edit | edit source]

${\begin{cases} \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial B}{\partial t} \\ \nabla \cdot \vec{D} = ρ_{f} \\ \nabla \times \vec{H} = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} + {\vec{J}}_{f} \\ \nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ \hat{n} \times ({\vec{E}}_{2} - {\vec{E}}_{1}) = 0 \\ \hat{n} \cdot ({\vec{D}}_{2} - {\vec{D}}_{1}) = η_{f} \\ \hat{n} \times ({\vec{H}}_{2} - {\vec{H}}_{1}) = {\vec{K}}_{f} \\ \hat{n} \cdot ({\vec{B}}_{2} - {\vec{B}}_{1}) = 0 \end{cases}$ נגדיר $\vec{B} = μ_{0} {\vec{H}}_{a} = μ_{0} (\vec{H} + \vec{M})$ צפיפות השטף המגנטי.

תזכורת: $\vec{D} = ϵ_{0} \vec{E} + \vec{P}$

דוגמה 1 (איור 8)[edit | edit source]

גליל קטן בעל מגנטיזציה אחידה $\vec{M} = M \hat{z}$ .

מודל המטען: $ρ_{m} = - \nabla \cdot ({\vec{μ}}_{0} \vec{M}) = 0$ צפיפות המטען המשטחית על חלקו העליון של הגליל: $η_{m, t o p} = - \hat{z} \cdot (0 - μ_{0} M \hat{z}) = μ_{0} M$ צפיפות המטען המשטחית בתחתית הגליל: $η_{m, b o t t o m} = - \hat{z} \cdot (μ_{0} M \hat{z} - 0) = - μ_{0} M$ רחוק מאוד מהגליל נראה דיפול בעל מגנטיזציה: $\vec{m} = \vec{M} \cdot V = M π a^{2} h \hat{z}$ אם נסתכל על הגליל כדיפול נקבל: $μ_{0} \vec{m} = μ_{0} M π a^{2} \cdot h \hat{z}$ קיבלנו את אותו הביטוי! כעת אפשר להציב בביטוי לשדה דיפולי.

מודל הזרם האמפרי: ${\vec{J}}_{a} = \nabla \times \vec{M} = 0$ ${\vec{K}}_{a} = \hat{r} \times (0 - M \hat{z}) = M \hat{φ}$ ${\vec{H}}_{a} = \vec{H} + \vec{M} \Rightarrow \vec{B} = \overset{connection between models}{\overset{⏞}{μ_{0} {\vec{H}}_{a} = μ_{0} (\vec{H} + \vec{M})}}$

דוגמה 2 (איור 9)[edit | edit source]

כדור בעל מגנטיזציה אחידה. מהו $\vec{B}$ בכל המרחב?

נשתמש במודל המטען: $η_{m} = - \hat{n} \cdot ({\vec{M}}_{o u t} - {\vec{M}}_{i n}) μ_{0} = - \hat{r} \cdot (0 - M \hat{z} μ_{0}) = M \hat{r} \cdot \hat{z} μ_{0} = M \cos θ μ_{0}$ צפיפות המטען: $ρ_{m} = - \nabla \cdot (μ_{0} \vec{M}) = 0$ נפתור באמצעות פוטנציאל סקלרי: $\nabla \times \vec{H} = \underset{= 0}{\underset{⏟}{{\vec{J}}_{f}}} + \underset{= 0 static}{\underset{⏟}{\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}}} + \underset{= 0 Not using this field}{\underset{⏟}{{\vec{J}}_{a}}} = 0 \Rightarrow \vec{H} = - \nabla ϕ_{m}$ נציב ונקבל ממקסוול: $\nabla \cdot (μ_{0} \vec{H}) = ρ_{m} = 0 \Rightarrow \nabla \cdot (μ_{0} \cdot (- \nabla ϕ_{m})) = 0$ קיבלנו את משוואת לפלס: $\nabla^{2} ϕ_{m} = 0$ נפתור את משוואת לפלס עם מקורות משטחיים בלבד: ${\begin{cases} ϕ_{m} (r > > a) \to 0 \\ ϕ_{m} (r \to 0) < \infty \\ \hat{n} \times ({\vec{H}}_{2} - {\vec{H}}_{1}) = {\vec{K}}_{f} = 0 \\ \hat{n} \cdot (μ_{0} {\vec{H}}_{2} - μ_{0} {\vec{H}}_{1}) = η_{m} = μ_{0} M \cos θ \end{cases}$ נבחר פתרון כללי $(l = 0, n = 1)$ : $ϕ = (c_{1} r + \frac{c_{2}}{r^{2}}) \cos θ$ $ϕ_{m_{1}} = A r \cos θ, ϕ_{m_{2}} = \frac{C}{r^{2}} \cos θ$ נציב בתנאי השפה: $A a \cos θ = \frac{C}{a^{2}} \cos θ \Rightarrow a^{3} A = C$ מתנאי השפה האחרון: $\hat{r} \cdot [μ_{0} \cdot (- \nabla ϕ_{m_{2}}) - μ_{0} (- \nabla ϕ_{m_{1}})] = μ_{0} M \cos θ$ $- \frac{\partial ϕ_{m_{2}}}{\partial r} + \frac{\partial ϕ_{m_{1}}}{\partial r} = M \cos θ \Rightarrow - [\frac{- 2 C}{a^{3}} \cos θ] + A \cos θ = M \cos θ \Rightarrow \frac{2 C}{a^{3}} + A = M$ נקבל את המקדמים: $A = \frac{M}{3}, C = a^{3} \frac{M}{3}$ נציב את המקדם חזרה בפוטנציאל הראשון: $ϕ_{m_{1}} = \frac{M}{3} r \cos θ \Rightarrow {\vec{H}}_{1} = - \nabla ϕ_{m_{1}} = - \frac{M}{3} \hat{z}$ נמצא את השדה המגנטי: $\Rightarrow {\vec{B}}_{1} = μ_{0} \cdot ({\vec{H}}_{1} + \vec{M}) = μ_{0} \cdot (- \frac{M}{3} \hat{z} + M \hat{z}) = \frac{2}{3} μ_{0} M \hat{z}$ כעת נציב את המקדם בפוטנציאל השני: $ϕ_{m_{2}} = \frac{M}{3} \frac{a^{3}}{r^{2}} \cos θ \Rightarrow {\vec{H}}_{2} = - \nabla ϕ_{m_{2}} = \frac{M a^{3}}{3 r^{3}} [2 \cos θ \hat{r} + \sin θ \hat{θ}], {\vec{B}}_{2} = μ_{0} {\vec{H}}_{2}$ תזכורת - שדה מגנטי של דיפול: ${\vec{H}}_{d i p} = \frac{m}{4 π r^{3}} [2 \cos θ \hat{r} + \sin θ \hat{θ}]$ נשווה מקדמים ונקבל: $\frac{m}{4 π} = \frac{M a^{3}}{3} \Rightarrow m = M \cdot \underset{V_{b a l l}}{\underset{⏟}{\frac{4}{3} π a^{3}}}$

יחסי חוקה - סוספטביליות מגנטית, פרמאביליות[edit | edit source]

איור 10 - קשר לינארי, והיסטרזיס של חומרים מגנטיים

כפי שראינו במקרה החשמלי, גם כאן תכונות החומר מתוארות על ידי ביטוי בקשר $\vec{M} \to \vec{H}$ .

עבור שדה מגנטי, המקרה בו היחס אינו לינארי נפוץ מאוד.

אך, בכל זאת קיימות סיטואציות רבות בהן ניתן להגדיר את הקשר באופן לינארי, ולקבל: $\vec{M} = χ_{m} \vec{H} \Rightarrow \vec{B} = μ_{0} (\vec{H} + \vec{M}) = \overset{\equiv μ}{\overset{⏞}{μ_{0} \underset{\equiv μ_{r}}{\underset{⏟}{(1 + χ_{m})}}}} \vec{H}$ כאשר $χ_{m}$ הסוספטביליות המגנטית.

משוואות מקסוול בחומר לינארי[edit | edit source]

נוכל לעדכן את משוואות מקסוול עבור חומרים לינאריים: ${\begin{cases} \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial (μ \vec{H})}{\partial t} \\ \nabla \cdot (ϵ \vec{E}) = ρ_{f} \\ \nabla \times \vec{H} = \frac{\partial (ϵ \vec{E})}{\partial t} + {\vec{J}}_{f} \\ \nabla \cdot (μ \vec{H}) = 0 \\ \hat{n} \times ({\vec{E}}_{2} - {\vec{E}}_{1}) = 0 \\ \hat{n} \cdot (ϵ_{2} {\vec{E}}_{2} - ϵ_{1} {\vec{E}}_{1}) = η_{f} \\ \hat{n} \times ({\vec{H}}_{2} - {\vec{H}}_{1}) = {\vec{K}}_{f} \\ \hat{n} \cdot (μ_{2} {\vec{H}}_{2} - μ_{1} {\vec{H}}_{1}) = 0 \end{cases}$

חומרים לא מגנטיים[edit | edit source]

חומרים פאראמגנטיים - כפי שאמרנו, התגובה חלשה והדיפולים יכולים להסתדר בכיוון $\vec{A}$ . לכן, $0 < χ_{m} < < 1$
חומרים דיאמגנטיים - כתוצאה מתגובה השראתית, הדיפול משתנה כדי לאזר שינוי כשטף. מתוך עיקרון לנץ התגובה בכיוון הפוך ל - $\vec{H}$ שמעורר, ולכן $χ_{m} < 0, | χ_{m} | < < 1$ .

חומרים לא מגנטיים (תגובה חלשה) (סיכום)
פאראמגנטים	דיאמגנטים	סוג החומר
$0 < χ_{m} < < 1$	$\| χ_{m} \| < < 1, χ_{m} < 0$	$χ_{m}$

חומרים מגנטיים[edit | edit source]

חומרים פרומגנטיים - חומרים בעלי תגובה חזקה מאוד לשדה מגנטי. מבנה האטום, והאלקטרונים בקליפה גורמים לאינטרקציה בין הדיפולים המגנטיים בחומר, מה שגורם להן להסתדר בכיוון זהה. בחומרים אלו כאשר מכבים את השדה המגנטי נשארת מגנטיזציה שיורית, ויש להשקיע אנרגיה כדי לבטלה (לדוגמא לחמם מתכת) בד"כ במתכות מעבר כגון ברזל, ניקל, קובלט. תגובה חזקה זו גורמת לערכי $χ_{m}$ מאוד גבוהים ( $χ_{m} > 1000$ ).
חומרים פרימגנטיים - גם בעלי תגובה חזקה. מנגנון המגנוט מורכבים, יש בהם 2 אטומים שונים בעלי מומנט דיפול שונה שיכולים להסתדר הפוך, ולהשאיר דיפול שקול שונה.

חומרים מגנטיים (תגובה חזקה) (סיכום)
פרומגנטים	פרימגנטים	סוג החומר
תגובה חזקה מאוד, בד"כ לא לינארית	תגובה חזקה מאוד	אופי התגובה

@@ Line 1: / Line 1: @@
 <div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
+כפי שראינו בפרק על פולריזציה, חומרים יכולים להגיב לנוכחותו של שדה חשמלי לידם / בתוכם. תגובה זו מתרחשת (אם כי בעקבות מנגנונים פיזיקליים שונים) גם כאשר חומר נחשף לשדה מגנטי.
+כאשר שוחחנו על חומרים חשמליים, תארנו באופן קלאסי את תגובתם על ידי "הסטת" ענן אלקטרונים ביחס לגרעין, מה שגורם להיווצרות מומנט דיפול באטום / מולקולה.
+כעת, ננסה להבין את התופעות המתרחשות בתוך החומר המאפשרות או יוצרות את התגובה של החומר לשדה מגנטי.
+ראשית, ניזכר בתיאור שקיבלנו עבור דיפול מגנטי. בהרצאה על מגנטוסטטיקה ראינו שלולאת זרם קטנה יוצרת שדה מגנטי שמשתנה כשדה של דיפול, כאשר מומנט הדיפול היה
+<math>m=I\cdot A</math> .
+את האטומים של החומר, ניתן לתאר באמצות לולאות זרם קטנות של דיפולים מגנטיים.
 == שדות מגנטיים בחומר ==
 === מנגנוני מגנטיזציה ===
+[[File:Pic1201.png|200px|thumb|left|איור 1]]
+את הזרם, או את הדיפול באופן שקול, נהוג לייחס ל - 2 מנגנונים עיקריים:
+* Spin Magnetization (איור 1) - דיפול מגנטי שקיים באופן טבעי בחלקיקים המרכיבים את האטום - אלקטרונים, פרוטונים וניורוטונים. במצב טבעי, דיפולים אלו במצאים באורינטציה אקראית בחומר והדיפול הממוצע הוא אפס.
+* Orbital Magnetization (איור 2) - דיפול מגנטי הנובע מהתנועה המעגלית שמבצעים האלקטרונים סביב הגרעיון - מתנהגים כטבעת זרם קטנה.
+מכאן, הפעלת שדה מגנטי חיצוני יכולה להשפיע על החומר (או על הדיפולים בחומר) ב - 2 דרכים שונות:
+[[File:Pic1202.png|200px|thumb|left|איור 2]]
+# לסובב וליישר את הדיפולים ה"טבעיים" הקיימים, כך שיווצר עבורה כיוון מועדף, ואז הדיפול הממוצע לא יהיה אפס.
+# לשנות את גודלו של הזרם בלולאות כך שעוצמת הדיפול תשתנה. דבר זה קורה בעקבות כא"מ מושרה בלולאות.
+=== דיאמגנטים - Orbital Magnetization (איור 3) ===
+[[File:Pic1203.png|200px|thumb|left|איור 3]]
+נסתכל על טבעת זרם.
+נניח כי הזרם נוצר כתוצאה של תנועה של חלקיקים בעלי מסה q ומטען m.
+כעת, נניח שנדליק אט - אט שדה מגנטי הניצג ללולאה מחוק פארדיי:
-* Spin Magnetization
+<math display="block">\int_{loop} \vec E \cdot dl = -\frac{d}{dt} \iint (\mu_0 \vec H) \hat n dS</math><math display="block">\Rightarrow E\cdot 2\pi r = -\frac{dB}{dt} \cdot \pi r^2
-* Orbital Magnetization
+\Rightarrow
+E = -\frac{r}{2} \mu_0 \frac{d\vec H}{dt} </math>כלומר, בעקבות שינוי השטף נוצר שדה חשמלי היקפי המפעיל כוח על המטענים הזורמים בטבעת.
-=== דיאמגנטים - Orbital Magnetization ===
+סימן המינוס מרמז על כך שהכוח יפעל על הזרם כדי "לזרז" את השינוי בשטף (עיקרון לנץ).
-מנגנון התגובה ל-<math> \vec H      </math> הוא דרך שינוי השטף. מתוך עקרון לנץ, דיפול התגובה יהיה הפוך לשדה החיצוני.
-=== פאראמגנטים, פרומגנטים - Spin Magnetization ===
+בסך הכל, אם נבצע "רעיונית" אינטגרציה בזמן, נגלה שבכל תהליך ההפעלה של <math>\vec B</math> פעל כוח על המטענים בטבעת והקטין את הזרם, ולכן הקטין את מומנט הדיפול.
-=== וקטור מגנטיזציה - <math> \vec M      </math> ===
+או, בשפה מעט יותר מתאימה, הפעלת השדה המגנטי <math>\vec H</math>, הוסיפה לחומר דיפול המנוגד לכיוונו של <math>\vec H</math>.
+חומרים המגיבים בעזרת מנגנון זה נקראים דיאמגנטיים.
+דוגמאות - כספית, כסף, ביסמוט, נחושת, מים.
+=== פאראמגנטים(Paramagnets), פרומגנטים(Ferromagnets) - Spin Magnetization ===
+כאשר החומר מורכב מדיפולים של spin, הפעלה של שדה חיצוני "תסדר" את הדיפולים בכיוון השדה, ולכן תוסיף לחומר דיפול ממוצע בכיוון השדה.
+חומרים אלו נראים פאראמגנטיים.
+יש חומרים מסוימים שעבורם יש בחומר דיפולים ומבנה המאפשרית תגובה מאוד חזקה באופן הזה אלו נקראים פרומגנטיים (ברזל, קובלט), ותגובתם לשדה מגנטי חזקה מאוד.
+'''חשוב לציין:''' כדי לנתח באופן כמותי תופעות מגנטיות בחומר, יש להשתמש בכלים ממכניקת הקוונטים - אלו אינן תופעות בעולם הקלאסי.
+עם זאת, ולמרות היותו שגוי, ההסבר הקלאסי יכול להיות אינטואיטיבי, ואפילו לפרקים לתת תוצאות כמותיות נכונות.
+=== וקטור מגנטיזציה - <math> \vec M </math> ===
+כעת, כאשר התרשמנו וקיבלנו קצת אינטואיציה על המנגנונים היוצרים את המגניטציה, נרצה לקבל תאור כמותי. גם כאן נגדיר לנו את <math>\vec M</math> - וקטור המגנטיזציה המייצג את הצפיפות המגנטית בחומר.
 נסתכל על אלמנט מגנטיזציה קטן:<math display="block"> d\vec m = \sum\vec m = \vec M\cdot dv \Leftrightarrow \frac{d\vec m}{dv} = \vec M       </math>ישנם שני מודלים לתיאור המקורות השקולים המייצגים את המגנטיזציה:
@@ Line 18: / Line 65: @@
 # מודל המטען המגנטי
-==== 1.מודל הזרם האמפרי ====
+==== 1.מודל הזרם האמפרי (איורים 5,4) ====
+[[File:Pic1204.png|250px|thumb|left|איור 4]]
+[[File:Pic1205.png|250px|thumb|left|איור 5]]
 כאשר באזור מסוים משתנה המגנטיזציה, תהיה צפיפות זרם שקולה המייצגת שינוי זה.
@@ Line 26: / Line 75: @@
 ===== זרמי מגנטיזציה משטחיים =====
-נמצא תנאי שפה במעבר בין תווכים בהם <math> \vec H       </math> שונה:<math display="block"> \nabla\times H = J +\frac{\partial D}{\partial t} \Rightarrow \hat n\times(\vec H_2 - \vec H_1)=\vec k       </math>ובין תווכים בהם <math> \vec M       </math> שונה:<math display="block"> \nabla\times M = J_a \Rightarrow \hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)=\vec k_a        </math>
+[[File:Pic1206.png|500px|thumb|center|איור 6]]
+נמצא תנאי שפה במעבר בין תווכים בהם <math> \vec H       </math> שונה:<math display="block"> \text{(1) }
+\nabla\times H = J +\frac{\partial D}{\partial t} \Rightarrow \hat n\times(\vec H_2 - \vec H_1)=\vec k       </math>ובין תווכים בהם <math> \vec M       </math> שונה:<math display="block"> \text{(2) }
+\nabla\times M = J_a \Rightarrow \hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)=\vec k_a        </math>
 ===== משוואות מקסוול בחומר =====
@@ Line 41: / Line 93: @@
 \end{cases}</math>
-==== 2. מודל המטענים המגנטיים ====
+==== 2. מודל המטענים המגנטיים (איור 7) ====
-נבנה את המודל באמצעות השוואה בין הפולרזיציה לבין המגנטיזציה:<math display="block">\vec P \Leftrightarrow \mu_0\vec M</math>צפיפות המטען הנפחית:<math display="block">\rho_p = -\nabla\cdot\ P \Leftrightarrow \rho_m = -\nabla\cdot (\mu_0\vec M)</math>צפיפות הזרם:<math display="block">\vec{J_p} = \frac{\partial p}{\partial t} \Leftrightarrow \vec{J_m} = \frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M) </math>צפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_p = -\hat n\cdot(\vec P_2 - \vec P_1) \Leftrightarrow \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)</math>
+[[File:Pic1207.png|200px|thumb|left|איור 7]]
+למרות שעד כה אין ראיות להמצאות מטענים מגנטיים "בודדים" (מונופולים) בטבע, לפחות מתמטית ניתן להניח את קיומם כדי לבנות מודל שמתבסס על השוואה בין פולריזציה לבין המגנטיזציה:<math display="block">\vec P \Leftrightarrow \mu_0\vec M</math>צפיפות המטען הנפחית:<math display="block">\rho_p = -\nabla\cdot\ P \Leftrightarrow \rho_m = -\nabla\cdot (\mu_0\vec M)</math>צפיפות הזרם:<math display="block">\vec{J_p} = \frac{\partial \vec P}{\partial t} \Leftrightarrow \vec{J_m} = \frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M) </math>צפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_p = -\hat n\cdot(\vec P_2 - \vec P_1) \Leftrightarrow \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)</math>
 ===== חוק שימור המטען המגנטי =====
@@ Line 93: / Line 146: @@
 \hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f\\
 \hat n \cdot (\vec B_2 - \vec B_1) = 0
-\end{cases}</math>נגדיר <math>\vec B = \mu_0\vec H_a</math> צפיפות השטף המגנטי.
+\end{cases}</math>נגדיר <math>\vec B = \mu_0\vec H_a =\mu_0(\vec H + \vec M) </math> צפיפות השטף המגנטי.
 תזכורת: <math>\vec D = \epsilon_0\vec E +\vec P</math>
-=== דוגמה 1 ===
+=== דוגמה 1 (איור 8) ===
+[[File:Pic1208.png|200px|thumb|left|איור 8]]
 גליל קטן בעל מגנטיזציה אחידה <math>\vec M = M\hat z</math>.
@@ Line 104: / Line 158: @@
 מודל הזרם האמפרי:<math display="block">\vec J_a = \nabla\times\vec M = 0</math><math display="block">\vec K_a = \hat r\times(0-M\hat z) = M\hat\varphi</math><math display="block">\vec H_a = \vec H +\vec M \Rightarrow \vec B = \overbrace{\mu_0\vec H_a = \mu_0(\vec H + \vec M)}^{\text{connection between models}}</math>
-=== דוגמה 2 ===
+=== דוגמה 2 (איור 9) ===
+[[File:Pic1209.png|200px|thumb|left|איור 9]]
 כדור בעל מגנטיזציה אחידה. מהו <math>\vec B</math> בכל המרחב?
-נשתמש במודל המטען:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\vec M_{out}-\vec M_{in})\mu_0 = -\hat r\cdot(0-M\hat z\mu_0) = M\hat r\cdot\hat z = M\cos\theta\mu_0</math>צפיפות המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\mu_0\vec M) = 0</math>נפתור באמצעות פוטנציאל סקלרי:<math display="block">\nabla\times\vec H = \underbrace{\vec J_f}_{=0} +
+נשתמש במודל המטען:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\vec M_{out}-\vec M_{in})\mu_0 = -\hat r\cdot(0-M\hat z\mu_0) = M\hat r\cdot\hat z\mu_0 = M\cos\theta\mu_0</math>צפיפות המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\mu_0\vec M) = 0</math>נפתור באמצעות פוטנציאל סקלרי:<math display="block">\nabla\times\vec H = \underbrace{\vec J_f}_{=0} +
 \underbrace{\frac{\partial \vec D}{\partial t}}_{=0 \text{ static}} +
 \underbrace{\vec J_a}_{=0 \text{ Not using this field} }
@@ Line 119: / Line 174: @@
 === יחסי חוקה - סוספטביליות מגנטית, פרמאביליות ===
-אם הקשר לינארי:<math display="block">\vec M = \chi_m\vec H \Rightarrow \vec B = \mu_0(\vec H + \vec M) =
+[[File:Pic1210.png|700px|thumb|center|איור 10 - קשר לינארי, והיסטרזיס של חומרים מגנטיים]]
+כפי שראינו במקרה החשמלי, גם כאן תכונות החומר מתוארות על ידי ביטוי בקשר <math> \vec M \rightarrow \vec H        </math>.
+עבור שדה מגנטי, המקרה בו היחס אינו לינארי נפוץ מאוד.
+אך, בכל זאת קיימות סיטואציות רבות בהן ניתן להגדיר את הקשר באופן לינארי, ולקבל:<math display="block">\vec M = \chi_m\vec H \Rightarrow \vec B = \mu_0(\vec H + \vec M) =
 \overbrace{\mu_0
 \underbrace{(1+\chi_m)}_{\equiv \mu_r}}^{\equiv \mu}
@@ Line 131: / Line 191: @@
 \nabla \cdot (\mu\vec H) = 0\\
 \hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
-\hat n \cdot (\vec \epsilon_2\vec E_2-\epsilon_1\vec E_1) = \eta_f\\
+\hat n \cdot (\epsilon_2\vec E_2-\epsilon_1\vec E_1) = \eta_f\\
 \hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\
-\hat n \cdot (\mu_2\vec H_2 + \mu_1\vec H_1) = 0
+\hat n \cdot (\mu_2\vec H_2 - \mu_1\vec H_1) = 0
 \end{cases}</math>
+=== חומרים לא מגנטיים ===
+* חומרים פאראמגנטיים - כפי שאמרנו, התגובה חלשה והדיפולים יכולים להסתדר בכיוון <math> \vec A        </math>. לכן, <math> 0<\chi_m <<1        </math>
+* חומרים דיאמגנטיים - כתוצאה מתגובה השראתית, הדיפול משתנה כדי לאזר שינוי כשטף. מתוך עיקרון לנץ התגובה בכיוון הפוך ל - <math> \vec H       </math> שמעורר, ולכן <math> \chi_m<0 , |\chi_m|<<1        </math>.
 {| class="wikitable"
-|+חומרים לא מגנטיים (תגובה חלשה)
+|+חומרים לא מגנטיים (תגובה חלשה) (סיכום)
 !פאראמגנטים
 !דיאמגנטים
@@ Line 145: / Line 211: @@
 |<math>\chi_m</math>
 |}
+=== חומרים מגנטיים ===
+* חומרים פרומגנטיים - חומרים בעלי תגובה חזקה מאוד לשדה מגנטי. מבנה האטום, והאלקטרונים בקליפה גורמים לאינטרקציה בין הדיפולים המגנטיים בחומר, מה שגורם להן להסתדר בכיוון זהה. בחומרים אלו כאשר מכבים את השדה המגנטי נשארת מגנטיזציה שיורית, ויש להשקיע אנרגיה כדי לבטלה (לדוגמא לחמם מתכת) בד"כ במתכות מעבר כגון ברזל, ניקל, קובלט. תגובה חזקה זו גורמת לערכי <math> \chi_m        </math> מאוד גבוהים (<math> \chi_m > 1000        </math>).
+* חומרים פרימגנטיים - גם בעלי תגובה חזקה. מנגנון המגנוט מורכבים, יש בהם 2 אטומים שונים בעלי מומנט דיפול שונה שיכולים להסתדר הפוך, ולהשאיר דיפול שקול שונה.
 {| class="wikitable"
-|+חומרים מגנטיים (תגובה חזקה)
+|+חומרים מגנטיים (תגובה חזקה) (סיכום)
 !פרומגנטים
 !פרימגנטים

פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר: Difference between revisions

Latest revision as of 09:21, 2 February 2026

Contents

שדות מגנטיים בחומר[edit | edit source]

מנגנוני מגנטיזציה[edit | edit source]

דיאמגנטים - Orbital Magnetization (איור 3)[edit | edit source]

פאראמגנטים(Paramagnets), פרומגנטים(Ferromagnets) - Spin Magnetization[edit | edit source]

וקטור מגנטיזציה - $\vec{M}$ [edit | edit source]

1.מודל הזרם האמפרי (איורים 5,4)[edit | edit source]

זרמי מגנטיזציה משטחיים[edit | edit source]

משוואות מקסוול בחומר[edit | edit source]

2. מודל המטענים המגנטיים (איור 7)[edit | edit source]

חוק שימור המטען המגנטי[edit | edit source]

משוואות מקסוול במודל המטען (אנלוגיה עם מודל הפולריזציה החשמלית)[edit | edit source]

סיכום המודלים - משוואות מקסוול בחומר[edit | edit source]

משוואות מקסוול בחומר - צפיפות השטף המגנטי[edit | edit source]

דוגמה 1 (איור 8)[edit | edit source]

דוגמה 2 (איור 9)[edit | edit source]

יחסי חוקה - סוספטביליות מגנטית, פרמאביליות[edit | edit source]

משוואות מקסוול בחומר לינארי[edit | edit source]

חומרים לא מגנטיים[edit | edit source]

חומרים מגנטיים[edit | edit source]

Navigation menu

פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר: Difference between revisions

Latest revision as of 09:21, 2 February 2026

שדות מגנטיים בחומר[edit | edit source]

מנגנוני מגנטיזציה[edit | edit source]

דיאמגנטים - Orbital Magnetization (איור 3)[edit | edit source]

פאראמגנטים(Paramagnets), פרומגנטים(Ferromagnets) - Spin Magnetization[edit | edit source]

וקטור מגנטיזציה - M→[edit | edit source]

1.מודל הזרם האמפרי (איורים 5,4)[edit | edit source]

זרמי מגנטיזציה משטחיים[edit | edit source]

משוואות מקסוול בחומר[edit | edit source]

2. מודל המטענים המגנטיים (איור 7)[edit | edit source]

חוק שימור המטען המגנטי[edit | edit source]

משוואות מקסוול במודל המטען (אנלוגיה עם מודל הפולריזציה החשמלית)[edit | edit source]

סיכום המודלים - משוואות מקסוול בחומר[edit | edit source]

משוואות מקסוול בחומר - צפיפות השטף המגנטי[edit | edit source]

דוגמה 1 (איור 8)[edit | edit source]

דוגמה 2 (איור 9)[edit | edit source]

יחסי חוקה - סוספטביליות מגנטית, פרמאביליות[edit | edit source]

משוואות מקסוול בחומר לינארי[edit | edit source]

חומרים לא מגנטיים[edit | edit source]

חומרים מגנטיים[edit | edit source]

Navigation menu

Search

וקטור מגנטיזציה - $\vec{M}$ [edit | edit source]