פרק 2 - תנאי שפה: Difference between revisions

Revision as of 07:48, 4 December 2021

בפרק 2 של הקורס שדות אלקטרומגנטיים נגדיר תנאי שפה, כדי להתמודד עם בעיית אי - הרציפות שמאפיינת בעיות מסוימות.

מבוא

בפרק הקודם, הנחנו שכל השדות שנעבוד איתם הינם רציפים וגזירים, וזאת כדי לקבל קשר בין שדות למקורות בסביבה כלשהי של נקודה. ראינו כי ניתן לתאר את הקשר באופן המתמטי הבא: $(\vec{E}, \vec{H}) = \hat{D} [((\vec{E}, \vec{H})] + \vec{S o u r c e s}$ כך ש $\hat{D}$ הינו אופרטור דיפרנציאלי כלשהו.

עם זאת, בטבע קיימות תופעות רבות שאינן רציפות, ולכן נרצה לתאר גם אותן באופן מתמטי.

בדומה לפרק הקודם, אנו נבצע לוקליזציה למרחב, אך נתחשב גם בנקודות אי רציפות.

לוקליזציה סביב שפה - חוקי גאוס

תיאור הבעיה

נתון משטח S עם צפיפות מטען $η$ , בעל אי רציפות.

נרצה לראות כיצד נראה מתנהג השדה החשמלי, מעל ומתחת למשטח.

כרגיל, נבנה מעטפת גאוסית ברדיוס R, וגובה $δ$ .

נניח כי: $δ < < R < < every other dimension in the problem$ כלומר, נניח שהתרומה של המעטפת זניחה ביחס לגודל הבעיה.

בנוסף נניח:

מעל המשטח S קיים שדה חשמל $ϵ_{1}$ עם צפיפות מטען $ρ_{1}$

מתחת למשטח S קיים שדה חשמל $ϵ_{2}$ עם צפיפות מטען $ρ_{2}$ .

כעת, נחשב את השטף דרך הבסיס התחתון של הגליל (S1), הבסיס העליון שלו (S2), והמעטפת הגליל (S3).

חוק גאוס

$\oint_{S = \partial V} ϵ_{0} \vec{E} \cdot \hat{n} d s = ∭ ρ d V = Q_{i n}$ נפעיל את אגף שמאל של חוק כאוס על אחד מהמשטחים S1,S2,S3: $S 1 : \oint_{S = \partial V} ϵ_{0} \vec{E} \cdot \hat{n} d s = \oint_{S 1} ϵ_{0} {\vec{E}}_{1} \cdot (- \hat{n}) d a = - ϵ_{0} {\vec{E}}_{1} \cdot \vec{n} d a$ $S 2 : \oint_{S = \partial V} ϵ_{0} \vec{E} \cdot \hat{n} d s = \oint_{S 2} ϵ_{0} {\vec{E}}_{2} \cdot \hat{n} d a = ϵ_{0} {\vec{E}}_{2} \cdot \vec{n} d a$ $S 3 : \int ϵ_{1} \cdot \tilde{\hat{n}} d s + \int ϵ_{2} \cdot \tilde{\hat{n}} d s = F (ϵ_{1}, ϵ_{2}) \cdot δ$

כך ש F הוא מסלול על המעטפת, והשיוויון האחרון מתקיים כי שטח פני המעטפת פרופורציוני לגובה הגליל (במקרה הפשוט $S = \underset{\equiv F}{2 π R} \cdot δ$ ).

כעת, סכום כל התרומות הינו:

$S 1 + S 2 + S 3 : (ϵ_{0} {\vec{E}}_{2} - ϵ_{0} {\vec{E}}_{1}) \cdot \hat{n} d a + F (ϵ_{1}, ϵ_{2}) \cdot δ$

כאשר, מההנחה כי $δ < < R < < every other dimension in the problem$ נסיק כי ניתן להזניח את תרומת S3 (כלומר $F (ϵ_{1}, ϵ_{2})$ ).

סה"כ עד כה קיבלנו שתרומת אגף שמאל של חוק גאוס הינה:

$(ϵ_{0} {\vec{E}}_{2} - ϵ_{0} {\vec{E}}_{1}) \cdot \hat{n} d a$ נמשיך עם אגף ימין של חוק גאוס ( $Q_{i n}$ ):

המטען שכלוא במעטפת הגליל כולל את צפיפות המטען המשטחית $η$ , ואת צפיפויות המטען הנפחיות $ρ_{1}, ρ_{2}$ :

$Q_{i n} = η d a + (∭ ρ_{1} d V + ∭ ρ_{2} d V) = η d a + (G (ρ_{1}) + G (ρ_{2})) δ \cdot d a$ כאשר גם פה נזניח את תרומת הצפיפויות הנפחות מהטיעון של $δ < < R < < every other dimension in the problem$ .

לכן תרומת אגף ימין של חוק גאוס הינו:

$η d a$ כעת, אם נשווה את שני האגפים, נקבל:

$(ϵ_{0} {\vec{E}}_{2} - ϵ_{0} {\vec{E}}_{1}) \cdot \hat{n} d a = η d a$ ואחרי חלוקה ב $d a$ , נקבל:

$(ϵ_{0} {\vec{E}}_{2} - ϵ_{0} {\vec{E}}_{1}) \cdot \hat{n} = η$ כאשר:

$η$ - צפיפות המטען של משטח אי הרציפות.
$\hat{n}$ - נורמל למשטח אי הרציפות.
${\vec{E}}_{2}$ - השדה בתחום שאליו פונה $\hat{n}$ .

לוקליזציה של חוק גאוס עבור שדה מגנטי

ניתן לבצע את אותו התהליך, גם עבור השדה המגנטי ( חוג גאוס המגנטי: $\oint μ_{0} \vec{H} \cdot \hat{n} d S = 0$ ), שלאחריו נקבל:

$\hat{n} (μ_{0} {\vec{H}}_{2} - μ_{0} {\vec{H}}_{1}) = 0$

כאשר:

$η$ - צפיפות המטען של משטח אי הרציפות
$\hat{n}$ - נורמל למשטח אי הרציפות
${\vec{H}}_{2}$ - השדה בתחום שאליו פונה $\hat{n}$ .

נשיב לב, שבניגוד לתוצאה הקודמת (עבוד השדה החשמלי), קיבלנו כי אגף שמאל מתאפס. תוצאה זו לא אמור להפתיע אותנו, שכן לא קיימים מונופולים מגנטיים בטבע.

ניתן להסיק מכך, כי רכיב השדה המגנטי הניצב לשפה בהכרח רציף ( ${\vec{H}}_{1} = {\vec{H}}_{2}$ ).

@@ Line 30: / Line 30: @@
 === חוק גאוס ===
-<math display="block">\underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds = \iiint \rho dV = Q_{in}</math>נפעיל את אגף שמאל של חוק כאוס על אחד מהמשטחים S1,S2,S3:<math display="block">S1: \underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds =\underset{S1} {\oint} \epsilon_0 \vec E_{1} \cdot (-\hat n) da = -\epsilon_0 \vec E_{1} \cdot \vec n da</math><math display="block">S2: \underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds =\underset{S2} {\oint} \epsilon_0 \vec E_{2} \cdot \hat n da = \epsilon_0 \vec E_{2} \cdot \vec n da</math><math display="block">S3: \int \epsilon_1 \cdot \tilde{\hat n} ds + \int \epsilon_2 \cdot \tilde{\hat n} ds = F(\epsilon_1 , \epsilon_2) \cdot \delta</math>
+==== <math display="block">\underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds = \iiint \rho dV = Q_{in}</math>נפעיל את אגף שמאל של חוק כאוס על אחד מהמשטחים S1,S2,S3:<math display="block">S1: \underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds =\underset{S1} {\oint} \epsilon_0 \vec E_{1} \cdot (-\hat n) da = -\epsilon_0 \vec E_{1} \cdot \vec n da</math><math display="block">S2: \underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds =\underset{S2} {\oint} \epsilon_0 \vec E_{2} \cdot \hat n da = \epsilon_0 \vec E_{2} \cdot \vec n da</math><math display="block">S3: \int \epsilon_1 \cdot \tilde{\hat n} ds + \int \epsilon_2 \cdot \tilde{\hat n} ds = F(\epsilon_1 , \epsilon_2) \cdot \delta</math> ====
 כך ש F הוא מסלול על המעטפת, והשיוויון האחרון מתקיים כי שטח פני המעטפת פרופורציוני לגובה הגליל (במקרה הפשוט <math>S= \underset{\equiv F}{2\pi R} \cdot \delta</math>).
@@ Line 38: / Line 38: @@
 <math display="block">S1+S2+S3: (\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da + F(\epsilon_1, \epsilon_2) \cdot \delta</math>
-כאשר, מההנחה כי <math>\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math> נסיק כי ניתן להזניח את תרומת S3 (כלומר <math>F(\epsilon_{1},\epsilon_2)</math>).
+כאשר, מההנחה כי '''<math>\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>''' נסיק כי ניתן להזניח את תרומת S3 (כלומר <math>F(\epsilon_{1},\epsilon_2)</math>).
 סה"כ עד כה קיבלנו שתרומת אגף שמאל של חוק גאוס הינה:
-<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da</math>
+==== <math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da</math>נמשיך עם אגף ימין של חוק גאוס (<math>Q_{in}</math>): ====
+המטען שכלוא במעטפת הגליל כולל את צפיפות המטען המשטחית <math>\eta</math>, ואת צפיפויות המטען הנפחיות <math>\rho_1,\rho_2</math>:
+<math display="block">Q_{in} = \eta da + (\iiint\rho_1 dV + \iiint \rho_2 dV) = \eta da + (G(\rho_1) + G(\rho_2)) \delta \cdot da</math>כאשר גם פה נזניח את תרומת הצפיפויות הנפחות מהטיעון של <math>\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>.
+לכן תרומת אגף ימין של חוק גאוס הינו:
+<math display="block">\eta da</math>כעת, אם נשווה את שני האגפים, נקבל:
+<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da = \eta da</math>ואחרי חלוקה ב <math>da</math>, נקבל:
+<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n  = \eta </math>כאשר:
+* <math>\eta</math> - צפיפות המטען של משטח אי הרציפות.
+* <math>\hat n</math> - נורמל למשטח אי הרציפות.
+* <math>\vec E_{2}</math> - השדה בתחום שאליו פונה <math>\hat n</math>.
+== לוקליזציה של חוק גאוס עבור שדה מגנטי ==
+ניתן לבצע את אותו התהליך, גם עבור השדה המגנטי ( חוג גאוס המגנטי: <math>\oint \mu_0 \vec H \cdot \hat n dS=0</math>), שלאחריו נקבל:
+<math display="block">\hat n (\mu_0 \vec H_{2} - \mu_0 \vec H_1) = 0</math>
+כאשר:
+* <math>\eta</math> - צפיפות המטען של משטח אי הרציפות
+* <math>\hat n</math> - נורמל למשטח אי הרציפות
+* <math>\vec H_{2}</math> - השדה בתחום שאליו פונה <math>\hat n</math>.
+נשיב לב, שבניגוד לתוצאה הקודמת (עבוד השדה החשמלי), קיבלנו כי אגף שמאל מתאפס. תוצאה זו לא אמור להפתיע אותנו, שכן לא קיימים מונופולים מגנטיים בטבע.
+ניתן להסיק מכך, כי רכיב השדה המגנטי הניצב לשפה '''בהכרח רציף (<math>\vec H_{1} = \vec H_{2}</math>).'''
 </div>

פרק 2 - תנאי שפה: Difference between revisions

Revision as of 07:48, 4 December 2021

Contents

מבוא

לוקליזציה סביב שפה - חוקי גאוס

תיאור הבעיה

חוק גאוס

$(ϵ_{0} {\vec{E}}_{2} - ϵ_{0} {\vec{E}}_{1}) \cdot \hat{n} d a$ נמשיך עם אגף ימין של חוק גאוס ( $Q_{i n}$ ):

לוקליזציה של חוק גאוס עבור שדה מגנטי

Navigation menu

פרק 2 - תנאי שפה: Difference between revisions

Revision as of 07:48, 4 December 2021

מבוא

לוקליזציה סביב שפה - חוקי גאוס

תיאור הבעיה

חוק גאוס

(ϵ0E→2−ϵ0E→1)⋅n^daנמשיך עם אגף ימין של חוק גאוס (Qin):

לוקליזציה של חוק גאוס עבור שדה מגנטי

Navigation menu

Search

$(ϵ_{0} {\vec{E}}_{2} - ϵ_{0} {\vec{E}}_{1}) \cdot \hat{n} d a$ נמשיך עם אגף ימין של חוק גאוס ( $Q_{i n}$ ):