פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר: Difference between revisions

← Older edit Newer edit →

VisualWikitext

Revision as of 17:33, 20 April 2022

שדות מגנטיים בחומר

מנגנוני מגנטיזציה

Spin Magnetization
Orbital Magnetization

דיאמגנטים - Orbital Magnetization

מנגנון התגובה ל- $\vec{H}$ הוא דרך שינוי השטף. מתוך עקרון לנץ, דיפול התגובה יהיה הפוך לשדה החיצוני.

פאראמגנטים, פרומגנטים - Spin Magnetization

וקטור מגנטיזציה - $\vec{M}$

נסתכל על אלמנט מגנטיזציה קטן: $d \vec{m} = \sum \vec{m} = \vec{M} \cdot d v \Leftrightarrow \frac{d \vec{m}}{d v} = \vec{M}$ ישנם שני מודלים לתיאור המקורות השקולים המייצגים את המגנטיזציה:

מודל הזרם האמפרי
מודל המטען המגנטי

1.מודל הזרם האמפרי

כאשר באזור מסוים משתנה המגנטיזציה, תהיה צפיפות זרם שקולה המייצגת שינוי זה.

נרצה לשכנע שמתקיים: ${\vec{J}}_{a} = \nabla \times \vec{M}$ . נתחיל מלהסתכל שוב על אלמנט מגנטיזציה קטן: $d \vec{m} = \vec{M} (d \vec{l} \cdot d \vec{a}) = (\vec{M} \cdot d \vec{l}) d \vec{a}$ מתקיים $I = \vec{M} \cdot d \vec{l}$ ולכן: $d \vec{m} = I d \vec{a}$ קיבלנו את התוצאה שקיבלנו דרך מגנטוסטטיקה עבור מומנט הדיפול של לולאת זרם בשטח $d \vec{a}$ .

מה סך הזרם שעובר דרך הלולאה שהגדרנו? $I = \oint \vec{M} \cdot d \vec{l}$ מצד אחד, ישנו הקשר בין הזרם לצפיפות הזרם: $I = \iint {\vec{J}}_{a} \cdot d \vec{a}$ מצד שני, לפי משפט סטוקס נוכל לומר: $\oint \vec{M} \cdot d \vec{l} = \iint \vec{\nabla} \times \vec{M} \cdot d \vec{a}$ מאחר שאין תלות בלולאה בה נבחר, נקבל את השוויון: ${\vec{J}}_{a} = \nabla \times \vec{M}$ והוכחנו.

זרמי מגנטיזציה משטחיים

נמצא תנאי שפה במעבר בין תווכים בהם $\vec{H}$ שונה: $\nabla \times H = J + \frac{\partial D}{\partial t} \Rightarrow \hat{n} \times ({\vec{H}}_{2} - {\vec{H}}_{1}) = \vec{k}$ ובין תווכים בהם $\vec{M}$ שונה: $\nabla \times M = J_{a} \Rightarrow \hat{n} \times ({\vec{M}}_{2} - {\vec{M}}_{1}) = {\vec{k}}_{a}$

משוואות מקסוול בחומר

נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות מגנטיזציה: ${\begin{cases} \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial (μ_{0} {\vec{H}}_{a})}{\partial t} \\ \nabla \cdot \vec{D} = ρ_{f} \\ \nabla \times {\vec{H}}_{a} = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} + {\vec{J}}_{f} + \underset{\vec{J_{a}}}{\underset{⏟}{\nabla \times \vec{M}}} \\ \nabla \cdot (μ_{0} {\vec{H}}_{a}) = 0 \end{cases}$ ותנאי השפה: ${\begin{cases} \hat{n} \times ({\vec{E}}_{2} - {\vec{E}}_{1}) = 0 \\ \hat{n} \cdot ({\vec{D}}_{2} - {\vec{D}}_{1}) = η_{f} \\ \hat{n} \times ({\vec{H}}_{a, 2} - {\vec{H}}_{a, 1}) = {\vec{K}}_{f} + \underset{\vec{K_{a}}}{\underset{⏟}{\hat{n} \times ({\vec{M}}_{2} - {\vec{M}}_{1})}} \\ \hat{n} \cdot (μ_{0} {\vec{H}}_{a, 2} - μ_{0} {\vec{H}}_{a, 1}) = 0 \end{cases}$

2. מודל המטענים המגנטיים

נבנה את המודל באמצעות השוואה בין הפולרזיציה לבין המגנטיזציה: $\vec{P} \Leftrightarrow μ_{0} \vec{M}$ צפיפות המטען הנפחית: $ρ_{p} = - \nabla \cdot P \Leftrightarrow ρ_{m} = - \nabla \cdot (μ_{0} \vec{M})$ צפיפות הזרם: $\vec{J_{p}} = \frac{\partial p}{\partial t} \Leftrightarrow \vec{J_{m}} = \frac{\partial}{\partial t} (μ_{0} \vec{M})$ צפיפות המטען המשטחית: $η_{p} = - \hat{n} \cdot ({\vec{P}}_{2} - {\vec{P}}_{1}) \Leftrightarrow η_{m} = - \hat{n} \cdot (μ_{0} {\vec{M}}_{2} - μ_{0} {\vec{M}}_{1})$

חוק שימור המטען המגנטי

קיבלנו את הביטוי לצפיפות המטען המשטחית: $η_{m} = - \hat{n} \cdot (μ_{0} {\vec{M}}_{2} - μ_{0} {\vec{M}}_{1})$ נגזור אותו בזמן: $\frac{\partial η_{m}}{\partial t} = - \hat{n} \cdot (μ_{0} \vec{\frac{\partial M_{2}}{\partial t}} - μ_{0} \frac{\partial {\vec{M}}_{1}}{\partial t}) = - \hat{n} \cdot (\vec{J_{m_{2}}} - \vec{J_{m_{1}}})$ וקיבלנו את חוק שימור המטען המגנטי: $- \frac{\partial η_{m}}{\partial t} = \hat{n} \cdot (\vec{J_{m_{2}}} - \vec{J_{m_{1}}})$

משוואות מקסוול במודל המטען (אנלוגיה עם מודל הפולריזציה החשמלית)

נרשום את משוואות מקסוול: ${\begin{cases} \nabla \cdot (ϵ_{0} E) = ρ_{f} + (- \nabla \cdot P) \\ \nabla \times H = \frac{\partial (ϵ_{0} E)}{\partial t} + J_{f} + \frac{\partial P}{\partial t} \\ \hat{n} \cdot (ϵ_{0} E_{2} - ϵ_{0} E_{1}) = η_{f} + (- \hat{n} \cdot [P_{2} - P_{1}]) \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} \nabla \cdot (μ_{0} \vec{H}) = \underset{= 0}{\underset{⏟}{ρ_{m f}}} + ρ_{m} = ρ_{m} \\ \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial}{\partial t} (μ_{0} \vec{H}) - \underset{J_{m}}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial t} (μ_{0} \vec{M})}} - \underset{= 0}{\underset{⏟}{J_{m f}}} \\ \hat{n} \cdot (μ_{0} {\vec{H}}_{2} - μ_{0} {\vec{H}}_{1}) = \underset{= 0}{\underset{⏟}{η_{m f}}} + η_{m} = - \hat{n} \cdot (μ_{0} {\vec{M}}_{2} - μ_{0} {\vec{M}}_{1}) \end{cases}$

סיכום המודלים - משוואות מקסוול בחומר

מודל הזרם האמפרי: ${\begin{cases} \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial (μ_{0} {\vec{H}}_{a})}{\partial t} \\ \nabla \cdot \vec{D} = ρ_{f} \\ \nabla \times ({\vec{H}}_{a} - \vec{M}) = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} + {\vec{J}}_{f} \\ \nabla \cdot (μ_{0} {\vec{H}}_{a}) = 0 \\ \hat{n} \times ({\vec{E}}_{2} - {\vec{E}}_{1}) = 0 \\ \hat{n} \cdot ({\vec{D}}_{2} - {\vec{D}}_{1}) = η_{f} \\ \hat{n} \times ([{\vec{H}}_{a, 2} - {\vec{M}}_{2}] - [{\vec{H}}_{a, 1} - {\vec{M}}_{1}]) = {\vec{K}}_{f} \\ \hat{n} \cdot (μ_{0} {\vec{H}}_{a, 2} - μ_{0} {\vec{H}}_{a, 1}) = 0 \end{cases}$ מודל המטען המגנטי: ${\begin{cases} \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial (μ_{0} {\vec{H}}_{a})}{\partial t} \\ \nabla \cdot \vec{D} = ρ_{f} \\ \nabla \times \vec{H} = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} + {\vec{J}}_{f} \\ \nabla \cdot (μ_{0} [\vec{H} + \vec{M}]) = 0 \\ \hat{n} \times ({\vec{E}}_{2} - {\vec{E}}_{1}) = 0 \\ \hat{n} \cdot ({\vec{D}}_{2} - {\vec{D}}_{1}) = η_{f} \\ \hat{n} \times ({\vec{H}}_{2} - {\vec{H}}_{1}) = {\vec{K}}_{f} \\ \hat{n} \cdot (μ_{0} [{\vec{H}}_{2} + {\vec{M}}_{2}] - μ_{0} [{\vec{H}}_{1} + {\vec{M}}_{1}]) = 0 \end{cases}$ נשים לב לכך שאם נגדיר $\vec{H} + \vec{M} = {\vec{H}}_{a}$ נקבל בדיוק את אותן משוואות!

משוואות מקסוול בחומר - צפיפות השטף המגנטי

${\begin{cases} \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial B}{\partial t} \\ \nabla \cdot \vec{D} = ρ_{f} \\ \nabla \times \vec{H} = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} + {\vec{J}}_{f} \\ \nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ \hat{n} \times ({\vec{E}}_{2} - {\vec{E}}_{1}) = 0 \\ \hat{n} \cdot ({\vec{D}}_{2} - {\vec{D}}_{1}) = η_{f} \\ \hat{n} \times ({\vec{H}}_{2} - {\vec{H}}_{1}) = {\vec{K}}_{f} \\ \hat{n} \cdot ({\vec{B}}_{2} - {\vec{B}}_{1}) = 0 \end{cases}$ נגדיר $\vec{B} = μ_{0} {\vec{H}}_{a}$ צפיפות השטף המגנטי.

תזכורת: $\vec{D} = ϵ_{0} \vec{E} + \vec{P}$

דוגמה 1

גליל קטן בעל מגנטיזציה אחידה $\vec{M} = M \hat{z}$ .

מודל המטען: $ρ_{m} = - \nabla \cdot ({\vec{μ}}_{0} \vec{M}) = 0$ צפיפות המטען המשטחית על חלקו העליון של הגליל: $η_{m, t o p} = - \hat{z} \cdot (0 - μ_{0} M \hat{z}) = μ_{0} M$ צפיפות המטען המשטחית בתחתית הגליל: $η_{m, b o t t o m} = - \hat{z} \cdot (μ_{0} M \hat{z} - 0) = - μ_{0} M$ רחוק מאוד מהגליל נראה דיפול בעל מגנטיזציה: $\vec{m} = \vec{M} \cdot V = M π a^{2} h \hat{z}$ אם נסתכל על הגליל כדיפול נקבל: $μ_{0} \vec{m} = μ_{0} M π a^{2} \cdot h \hat{z}$ קיבלנו את אותו הביטוי! כעת אפשר להציב בביטוי לשדה דיפולי.

מודל הזרם האמפרי: ${\vec{J}}_{a} = \nabla \times \vec{M} = 0$ ${\vec{K}}_{a} = \hat{r} \times (0 - M \hat{z}) = M \hat{φ}$ ${\vec{H}}_{a} = \vec{H} + \vec{M} \Rightarrow \vec{B} = \overset{connection between models}{\overset{⏞}{μ_{0} {\vec{H}}_{a} = μ_{0} (\vec{H} + \vec{M})}}$

דוגמה 2

כדור בעל מגנטיזציה אחידה. מהו $\vec{B}$ בכל המרחב?

נשתמש במודל המטען: $η_{m} = - \hat{n} \cdot ({\vec{M}}_{o u t} - {\vec{M}}_{i n}) μ_{0} = - \hat{r} \cdot (0 - M \hat{z} μ_{0}) = M \hat{r} \cdot \hat{z} = M \cos θ μ_{0}$ צפיפות המטען: $ρ_{m} = - \nabla \cdot (μ_{0} \vec{M}) = 0$ נפתור באמצעות פוטנציאל סקלרי: $\nabla \times \vec{H} = \underset{= 0}{\underset{⏟}{{\vec{J}}_{f}}} + \underset{= 0 static}{\underset{⏟}{\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}}} + \underset{= 0 Not using this field}{\underset{⏟}{{\vec{J}}_{a}}} = 0 \Rightarrow \vec{H} = - \nabla ϕ_{m}$ נציב ונקבל ממקסוול: $\nabla \cdot (μ_{0} \vec{H}) = ρ_{m} = 0 \Rightarrow \nabla \cdot (μ_{0} \cdot (- \nabla ϕ_{m})) = 0$ קיבלנו את משוואת לפלס: $\nabla^{2} ϕ_{m} = 0$ נפתור את משוואת לפלס עם מקורות משטחיים בלבד: ${\begin{cases} ϕ_{m} (r > > a) \to 0 \\ ϕ_{m} (r \to 0) < \infty \\ \hat{n} \times ({\vec{H}}_{2} - {\vec{H}}_{1}) = {\vec{K}}_{f} = 0 \\ \hat{n} \cdot (μ_{0} {\vec{H}}_{2} - μ_{0} {\vec{H}}_{1}) = η_{m} = μ_{0} M \cos θ \end{cases}$ נבחר פתרון כללי $(l = 0, n = 1)$ : $ϕ = (c_{1} r + \frac{c_{2}}{r^{2}}) \cos θ$ $ϕ_{m_{1}} = A r \cos θ, ϕ_{m_{2}} = \frac{C}{r^{2}} \cos θ$ נציב בתנאי השפה: $A a \cos θ = \frac{C}{a^{2}} \cos θ \Rightarrow a^{3} A = C$ מתנאי השפה האחרון: $\hat{r} \cdot [μ_{0} \cdot (- \nabla ϕ_{m_{2}}) - μ_{0} (- \nabla ϕ_{m_{1}})] = μ_{0} M \cos θ$ $- \frac{\partial ϕ_{m_{2}}}{\partial r} + \frac{\partial ϕ_{m_{1}}}{\partial r} = M \cos θ \Rightarrow - [\frac{- 2 C}{a^{3}} \cos θ] + A \cos θ = M \cos θ \Rightarrow \frac{2 C}{a^{3}} + A = M$ נקבל את המקדמים: $A = \frac{M}{3}, C = a^{3} \frac{M}{3}$ נציב את המקדם חזרה בפוטנציאל הראשון: $ϕ_{m_{1}} = \frac{M}{3} r \cos θ \Rightarrow {\vec{H}}_{1} = - \nabla ϕ_{m_{1}} = - \frac{M}{3} \hat{z}$ נמצא את השדה המגנטי: $\Rightarrow {\vec{B}}_{1} = μ_{0} \cdot ({\vec{H}}_{1} + \vec{M}) = μ_{0} \cdot (- \frac{M}{3} \hat{z} + M \hat{z}) = \frac{2}{3} μ_{0} M \hat{z}$ כעת נציב את המקדם בפוטנציאל השני: $ϕ_{m_{2}} = \frac{M}{3} \frac{a^{3}}{r^{2}} \cos θ \Rightarrow {\vec{H}}_{2} = - \nabla ϕ_{m_{2}} = \frac{M a^{3}}{3 r^{3}} [2 \cos θ \hat{r} + \sin θ \hat{θ}], {\vec{B}}_{2} = μ_{0} {\vec{H}}_{2}$ תזכורת - שדה מגנטי של דיפול: ${\vec{H}}_{d i p} = \frac{m}{4 π r^{3}} [2 \cos θ \hat{r} + \sin θ \hat{θ}]$ נשווה מקדמים ונקבל: $\frac{m}{4 π} = \frac{M a^{3}}{3} \Rightarrow m = M \cdot \underset{V_{b a l l}}{\underset{⏟}{\frac{4}{3} π a^{3}}}$

יחסי חוקה - סוספטביליות מגנטית, פרמאביליות

אם הקשר לינארי: $\vec{M} = χ_{m} \vec{H} \Rightarrow \vec{B} = μ_{0} (\vec{H} + \vec{M}) = \overset{\equiv μ}{\overset{⏞}{μ_{0} \underset{\equiv μ_{r}}{\underset{⏟}{(1 + χ_{m})}}}} \vec{H}$ כאשר $χ_{m}$ הסוספטביליות המגנטית.

משוואות מקסוול בחומר לינארי

נוכל לעדכן את משוואות מקסוול עבור חומרים לינאריים: ${\begin{cases} \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial (μ \vec{H})}{\partial t} \\ \nabla \cdot (ϵ \vec{E}) = ρ_{f} \\ \nabla \times \vec{H} = \frac{\partial (ϵ \vec{E})}{\partial t} + {\vec{J}}_{f} \\ \nabla \cdot (μ \vec{H}) = 0 \\ \hat{n} \times ({\vec{E}}_{2} - {\vec{E}}_{1}) = 0 \\ \hat{n} \cdot ({\vec{ϵ}}_{2} {\vec{E}}_{2} - ϵ_{1} {\vec{E}}_{1}) = η_{f} \\ \hat{n} \times ({\vec{H}}_{2} - {\vec{H}}_{1}) = {\vec{K}}_{f} \\ \hat{n} \cdot (μ_{2} {\vec{H}}_{2} + μ_{1} {\vec{H}}_{1}) = 0 \end{cases}$

חומרים לא מגנטיים (תגובה חלשה)
פאראמגנטים	דיאמגנטים	סוג החומר
$0 < χ_{m} < < 1$	$\| χ_{m} \| < < 1, χ_{m} < 0$	$χ_{m}$

חומרים מגנטיים (תגובה חזקה)
פרומגנטים	פרימגנטים	סוג החומר
תגובה חזקה מאוד, בד"כ לא לינארית	תגובה חזקה מאוד	אופי התגובה

@@ Line 55: / Line 55: @@
 \Rightarrow
 \begin{cases}
-\nabla \cdot (\mu_0\vec H) = \rho_{mf} +\rho_m = \rho_m\\
+\nabla \cdot (\mu_0\vec H) = \underbrace{\rho_{mf}}_{=0 }  +\rho_m = \rho_m\\
-\nabla \times\vec E = -\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec H) -\underbrace{\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M)}_{J_m}-J_{mf}\\
+\nabla \times\vec E = -\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec H) -\underbrace{\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M)}_{J_m}-
-\hat n\cdot(\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \eta_{mf} + \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)
+\underbrace{J_{mf}}_{=0}
+\\
+\hat n\cdot(\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \underbrace{\eta_{mf}}_{=0} + \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)
 \end{cases}</math>
@@ Line 64: / Line 66: @@
 \nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
 \nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
-\nabla \times \vec H_a-\vec M = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
+\nabla \times (\vec H_a-\vec M) = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
 \nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0\\
 \hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
@@ Line 74: / Line 76: @@
 \nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
 \nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
-\nabla \cdot (\mu_0\vec [\vec H+\vec M]) = 0\\
+\nabla \cdot (\mu_0 [\vec H+\vec M]) = 0\\
 \hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
 \hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
@@ Line 105: / Line 107: @@
 כדור בעל מגנטיזציה אחידה. מהו <math>\vec B</math> בכל המרחב?
-נשתמש במודל המטען:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\vec M_{out}-\vec M_{in})\mu_0 = -\hat r\cdot(0-M\hat z\mu_0) = M\hat r\cdot\hat z = M\cos\theta\mu_0</math>צפיפות המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\mu_0\vec M) = 0</math>נפתור באמצעות פוטנציאל סקלרי:<math display="block">\nabla\times\vec H = \vec J_f + \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_a = 0 \Rightarrow \vec H = -\nabla\phi_m</math>נציב ונקבל ממקסוול:<math display="block">\nabla\cdot(\mu_0\vec H) = \rho_m = 0 \Rightarrow \nabla\cdot(\mu_0\cdot(-\nabla\phi_m)) = 0</math>קיבלנו את משוואת לפלס:<math display="block">\nabla^2\phi_m = 0</math>נפתור את משוואת לפלס עם מקורות משטחיים בלבד:<math display="block">\begin{cases}
+נשתמש במודל המטען:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\vec M_{out}-\vec M_{in})\mu_0 = -\hat r\cdot(0-M\hat z\mu_0) = M\hat r\cdot\hat z = M\cos\theta\mu_0</math>צפיפות המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\mu_0\vec M) = 0</math>נפתור באמצעות פוטנציאל סקלרי:<math display="block">\nabla\times\vec H = \underbrace{\vec J_f}_{=0} +
+\underbrace{\frac{\partial \vec D}{\partial t}}_{=0 \text{ static}} +
+\underbrace{\vec J_a}_{=0 \text{ Not using this field} }
+= 0 \Rightarrow \vec H
+= -\nabla\phi_m</math>נציב ונקבל ממקסוול:<math display="block">\nabla\cdot(\mu_0\vec H) = \rho_m = 0 \Rightarrow \nabla\cdot(\mu_0\cdot(-\nabla\phi_m)) = 0</math>קיבלנו את משוואת לפלס:<math display="block">\nabla^2\phi_m = 0</math>נפתור את משוואת לפלס עם מקורות משטחיים בלבד:<math display="block">\begin{cases}
 \phi_m(r>>a)\rightarrow0\\
 \phi_m(r\rightarrow0)<\infty\\
 \hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f = 0\\
 \hat n \cdot (\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \eta_m = \mu_0M\cos\theta
-\end{cases}</math>נבחר פתרון כללי <math>(l=0, n=1)</math>:<math display="block">\phi = (c_1r+\frac{c_2}{r^2})\cos\theta</math><math display="block">\phi_{m_1} =Ar\cos\theta \quad , \quad \phi_{m_2} =\frac{C}{r^2}\cos\theta</math>נציב בתנאי השפה:<math display="block">Aa\cos\theta = \frac{C}{a^2}\cos\theta \Rightarrow a^3A = C</math>מתנאי השפה האחרון:<math display="block">\hat r \cdot [\mu_0\cdot(-\nabla\phi_{m_2}) - \mu_0(-\nabla\phi_{m_1})] = \mu_0M\cos\theta </math><math display="block">-\frac{\partial \phi_{m_2}}{\partial r} + \frac{\partial \phi_{m_1}}{\partial r} = M\cos\theta \Rightarrow -[\frac{-2C}{a^3}\cos\theta]+A\cos\theta=M\cos\theta \Rightarrow \frac{2C}{a^3}+A=M  </math>נקבל את המקדמים:<math display="block">A=\frac{M}{3} \quad, \quad C = a^3\frac{M}{3}</math>נציב את המקדם חזרה בפוטנציאל הראשון:<math display="block">\phi_{m_1} =\frac{M}{3}r\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_1 = -\nabla\phi_{m_1} = -\frac{M}{3}\hat z</math>נמצא את השדה המגנטי:<math display="block">\Rightarrow \vec B_1 = \mu_0\cdot(\vec H_1 +\vec M) = \mu_0\cdot(-\frac{M}{3}\hat z+M\hat z)=\frac{2}{3}\mu_0M\hat z</math>כעת נציב את המקדם בפוטנציאל השני:<math display="block">\phi_{m_1} =\frac{M}{3}\frac{a^3}{r^2}\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_2 = -\nabla\phi_{m_2} = \frac{Ma^3}{3r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] \quad , \vec B_2 = \mu_0\vec H_2 </math>תזכורת - שדה מגנטי של דיפול:<math display="block">\vec H_{dip} = \frac{m}{4\pi r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] </math>נשווה מקדמים ונקבל:<math display="block">\frac{m}{4\pi} = \frac{Ma^3}{3} \Rightarrow m = M\cdot\underbrace{\frac{4}{3}\pi a^3}_{V_{ball}} </math>
+\end{cases}</math>נבחר פתרון כללי <math>(l=0, n=1)</math>:<math display="block">\phi = (c_1r+\frac{c_2}{r^2})\cos\theta</math><math display="block">\phi_{m_1} =Ar\cos\theta \quad , \quad \phi_{m_2} =\frac{C}{r^2}\cos\theta</math>נציב בתנאי השפה:<math display="block">Aa\cos\theta = \frac{C}{a^2}\cos\theta \Rightarrow a^3A = C</math>מתנאי השפה האחרון:<math display="block">\hat r \cdot [\mu_0\cdot(-\nabla\phi_{m_2}) - \mu_0(-\nabla\phi_{m_1})] = \mu_0M\cos\theta </math><math display="block">-\frac{\partial \phi_{m_2}}{\partial r} + \frac{\partial \phi_{m_1}}{\partial r} = M\cos\theta \Rightarrow -[\frac{-2C}{a^3}\cos\theta]+A\cos\theta=M\cos\theta \Rightarrow \frac{2C}{a^3}+A=M  </math>נקבל את המקדמים:<math display="block">A=\frac{M}{3} \quad, \quad C = a^3\frac{M}{3}</math>נציב את המקדם חזרה בפוטנציאל הראשון:<math display="block">\phi_{m_1} =\frac{M}{3}r\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_1 = -\nabla\phi_{m_1} = -\frac{M}{3}\hat z</math>נמצא את השדה המגנטי:<math display="block">\Rightarrow \vec B_1 = \mu_0\cdot(\vec H_1 +\vec M) = \mu_0\cdot(-\frac{M}{3}\hat z+M\hat z)=\frac{2}{3}\mu_0M\hat z</math>כעת נציב את המקדם בפוטנציאל השני:<math display="block">\phi_{m_2} =\frac{M}{3}\frac{a^3}{r^2}\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_2 = -\nabla\phi_{m_2} = \frac{Ma^3}{3r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] \quad , \vec B_2 = \mu_0\vec H_2 </math>תזכורת - שדה מגנטי של דיפול:<math display="block">\vec H_{dip} = \frac{m}{4\pi r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] </math>נשווה מקדמים ונקבל:<math display="block">\frac{m}{4\pi} = \frac{Ma^3}{3} \Rightarrow m = M\cdot\underbrace{\frac{4}{3}\pi a^3}_{V_{ball}} </math>
 === יחסי חוקה - סוספטביליות מגנטית, פרמאביליות ===
-אם הקשר לינארי:<math display="block">\vec M = \chi_m\vec H \Rightarrow \vec B = \mu_0(\vec H + \vec M) = \mu_0(1+\chi_m)\vec H </math>כאשר <math>\chi_m </math> הסוספטביליות המגנטית.
+אם הקשר לינארי:<math display="block">\vec M = \chi_m\vec H \Rightarrow \vec B = \mu_0(\vec H + \vec M) =
+\overbrace{\mu_0
+\underbrace{(1+\chi_m)}_{\equiv \mu_r}}^{\equiv \mu}
+\vec H </math>כאשר <math>\chi_m </math> הסוספטביליות המגנטית.
 ==== משוואות מקסוול בחומר לינארי ====
@@ Line 147: / Line 156: @@
 |אופי התגובה
 |}
+</div>

פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר: Difference between revisions

Revision as of 17:33, 20 April 2022

Contents

שדות מגנטיים בחומר

מנגנוני מגנטיזציה

דיאמגנטים - Orbital Magnetization

פאראמגנטים, פרומגנטים - Spin Magnetization

וקטור מגנטיזציה - $\vec{M}$

1.מודל הזרם האמפרי

זרמי מגנטיזציה משטחיים

משוואות מקסוול בחומר

2. מודל המטענים המגנטיים

חוק שימור המטען המגנטי

משוואות מקסוול במודל המטען (אנלוגיה עם מודל הפולריזציה החשמלית)

סיכום המודלים - משוואות מקסוול בחומר

משוואות מקסוול בחומר - צפיפות השטף המגנטי

דוגמה 1

דוגמה 2

יחסי חוקה - סוספטביליות מגנטית, פרמאביליות

משוואות מקסוול בחומר לינארי

Navigation menu

פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר: Difference between revisions

Revision as of 17:33, 20 April 2022

שדות מגנטיים בחומר

מנגנוני מגנטיזציה

דיאמגנטים - Orbital Magnetization

פאראמגנטים, פרומגנטים - Spin Magnetization

וקטור מגנטיזציה - M→

1.מודל הזרם האמפרי

זרמי מגנטיזציה משטחיים

משוואות מקסוול בחומר

2. מודל המטענים המגנטיים

חוק שימור המטען המגנטי

משוואות מקסוול במודל המטען (אנלוגיה עם מודל הפולריזציה החשמלית)

סיכום המודלים - משוואות מקסוול בחומר

משוואות מקסוול בחומר - צפיפות השטף המגנטי

דוגמה 1

דוגמה 2

יחסי חוקה - סוספטביליות מגנטית, פרמאביליות

משוואות מקסוול בחומר לינארי

Navigation menu

Search

וקטור מגנטיזציה - $\vec{M}$