פרק 2 - תנאי שפה

בפרק 2 של הקורס שדות אלקטרומגנטיים נגדיר תנאי שפה, כדי להתמודד עם בעיית אי - הרציפות שמאפיינת בעיות מסוימות.

מבוא

בפרק הקודם, הנחנו שכל השדות שנעבוד איתם הינם רציפים וגזירים, וזאת כדי לקבל קשר בין שדות למקורות בסביבה כלשהי של נקודה. ראינו כי ניתן לתאר את הקשר באופן המתמטי הבא:$$(\overrightarrow{E},\overrightarrow{H})=\hat{D}[((\overrightarrow{E},\overrightarrow{H})]+\overrightarrow{Sources}$$כך ש $\hat{D}$ הינו אופרטור דיפרנציאלי כלשהו.

עם זאת, בטבע קיימות תופעות רבות שאינן רציפות, ולכן נרצה לתאר גם אותן באופן מתמטי.

בדומה לפרק הקודם, אנו נבצע לוקליזציה למרחב, אך נתחשב גם בנקודות אי רציפות.

לוקליזציה סביב שפה - חוקי גאוס

תיאור הבעיה

נתון משטח S עם צפיפות מטען $\eta$, בעל אי רציפות.

נרצה לראות כיצד נראה מתנהג השדה החשמלי, מעל ומתחת למשטח.

כרגיל, נבנה מעטפת גאוסית ברדיוס R, וגובה $\delta$.

נניח כי:$$\delta <<R<<\text{every other dimension in the problem}$$כלומר, נניח שהתרומה של המעטפת זניחה ביחס לגודל הבעיה.

בנוסף נניח:

מעל המשטח S קיים שדה חשמל ${ϵ}_1$ עם צפיפות מטען ${\rho }_1$

מתחת למשטח S קיים שדה חשמל ${ϵ}_2$ עם צפיפות מטען ${\rho }_2$.

כעת, נחשב את השטף דרך הבסיס התחתון של הגליל (S1), הבסיס העליון שלו (S2), והמעטפת הגליל (S3).

חוק גאוס

$$\underset{S=\partial V}{\oint }{ϵ}_0\overrightarrow{E}\cdot \hat{n}ds=\iiint \rho dV=Q_{in}$$נפעיל את אגף שמאל של חוק כאוס על אחד מהמשטחים S1,S2,S3:$$S1:\underset{S=\partial V}{\oint }{ϵ}_0\overrightarrow{E}\cdot \hat{n}ds=\underset{S1}{\oint }{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1\cdot (-\hat{n})da=-{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1\cdot \overrightarrow{n}da$$$$S2:\underset{S=\partial V}{\oint }{ϵ}_0\overrightarrow{E}\cdot \hat{n}ds=\underset{S2}{\oint }{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2\cdot \hat{n}da={ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2\cdot \overrightarrow{n}da$$$$S3:\int {ϵ}_1\cdot \tilde{\hat{n}}ds+\int {ϵ}_2\cdot \tilde{\hat{n}}ds=F({ϵ}_1,{ϵ}_2)\cdot \delta$$

כך ש F הוא מסלול על המעטפת, והשיוויון האחרון מתקיים כי שטח פני המעטפת פרופורציוני לגובה הגליל (במקרה הפשוט $S=\underset{\equiv F}{2\pi R}\cdot \delta$).

כעת, סכום כל התרומות הינו:

$$S1+S2+S3:({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2-{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1)\cdot \hat{n}da+F({ϵ}_1,{ϵ}_2)\cdot \delta$$

כאשר, מההנחה כי $\delta <<R<<\text{every other dimension in the problem}$ נסיק כי ניתן להזניח את תרומת S3 (כלומר $F({ϵ}_1,{ϵ}_2)$).

סה"כ עד כה קיבלנו שתרומת אגף שמאל של חוק גאוס הינה:

$$({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2-{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1)\cdot \hat{n}da$$נמשיך עם אגף ימין של חוק גאוס ($Q_{in}$):

המטען שכלוא במעטפת הגליל כולל את צפיפות המטען המשטחית $\eta$, ואת צפיפויות המטען הנפחיות ${\rho }_1,{\rho }_2$:

$$Q_{in}=\eta da+(\iiint {\rho }_{1}dV+\iiint {\rho }_{2}dV)=\eta da+(G({\rho }_1)+G({\rho }_2))\delta \cdot da$$כאשר גם פה נזניח את תרומת הצפיפויות הנפחות מהטיעון של $\delta <<R<<\text{every other dimension in the problem}$.

לכן תרומת אגף ימין של חוק גאוס הינו:

$$\eta da$$כעת, אם נשווה את שני האגפים, נקבל:

$$({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2-{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1)\cdot \hat{n}da=\eta da$$ואחרי חלוקה ב $da$, נקבל:

$$({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2-{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1)\cdot \hat{n}=\eta$$כאשר:

• $\eta$ - צפיפות המטען של משטח אי הרציפות.
• $\hat{n}$ - נורמל למשטח אי הרציפות.
• ${\overrightarrow{E}}_2$ - השדה בתחום שאליו פונה $\hat{n}$.

נשים לב כי כל עוד $\eta \ne 0$ ישנה קפיצה לא רציפה ברכיב השדה החשמלי הניצב.

לוקליזציה של חוק גאוס עבור שדה מגנטי

ניתן לבצע את אותו התהליך, גם עבור השדה המגנטי ( חוג גאוס המגנטי: $\oint {\mu }_0\overrightarrow{H}\cdot \hat{n}dS=0$), שלאחריו נקבל:

$$\hat{n}({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_2-{\mu }_0{\overrightarrow{H}}_1)=0$$

כאשר:

• $\eta$ - צפיפות המטען של משטח אי הרציפות
• $\hat{n}$ - נורמל למשטח אי הרציפות
• ${\overrightarrow{H}}_2$ - השדה בתחום שאליו פונה $\hat{n}$.

נשיב לב, שבניגוד לתוצאה הקודמת (עבוד השדה החשמלי), קיבלנו כי אגף שמאל מתאפס. תוצאה זו לא אמור להפתיע אותנו, שכן לא קיימים מונופולים מגנטיים בטבע.

ניתן להסיק מכך, כי רכיב השדה המגנטי הניצב לשפה בהכרח רציף (${\overrightarrow{H}}_1={\overrightarrow{H}}_2$).

לוקליזציה סביב שפה - חוק אמפר

מקודם, השתמשנו בשני חוקי גאוס כדי למצוא קשר על השדה בין רכיבי השדה החשמלי והמגנטי הניצבים לפני המשטח,

כעת נשתמש בחוק אמפר על מנת למצוא קשר בין הרכיבים המשיקים למשטח של השדה המגנטי.

תיאור הבעיה

נתון לנו משטח S, בעל אי רציפות, שזורם בו זרם בעל צפיפות משטחים $\overrightarrow{K}$ .

נבנה לולאת אמפר - לולאה מלבנית עם גובה $\delta$ ואורך $dL$.

ונניח כי:

$$\delta <<dL<<\text{every other dimension in the problem}$$בנוסף, נניח כי השדות מתחת למשטח הינם:

$${\overrightarrow{E}}_1,{\overrightarrow{H}}_1,{\overrightarrow{J}}_1$$

ומעל למשטח הם:

$${\overrightarrow{E}}_2,{\overrightarrow{H}}_2,{\overrightarrow{J}}_2$$הערה: ראינו בעבר כבר כי האיברים היחידים שתורמים לחישוב הם האיברים על השפה, האיברים בתוך הנפח אינם תורמים לחישוב.

חוק אמפר:

$$\underset{C=\partial S}{\oint }\overrightarrow{H}\cdot dl=-{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}\underset{S}{\iint }\overrightarrow{E}\cdot \hat{n}da+\underset{S}{\iint }\overrightarrow{J}\cdot \hat{n}da$$

כאשר האיבר $-{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}\underset{S}{\iint }\overrightarrow{E}\cdot \hat{n}da$ נופל, כי הוא פרופורציוני ל $dL$.

נחשב את אגף שמאל:

בגלל ההנחה כי:

$$\delta <<dL<<\text{every other dimension in the problem}$$נזניח את תרומת הצלעות הקצרות ($\delta$) של הלולאה:

$$\underset{C=\partial S}{\oint }\overrightarrow{H}\cdot dl={\overrightarrow{H}}_2\cdot \overrightarrow{dL}-{\overrightarrow{H}}_1\cdot \overrightarrow{dL}$$אגף ימין:

$$\underset{S}{\iint }\overrightarrow{J}\cdot \hat{n}da$$לאיבר קיימות שתי תרומות: תרומה מהזרם המשטחי, ותרומה נוספת מהזרם הנפחי.

נתחיל מתרומת הזרם הנפחי:

כמו שראינו מקום, תרומת הזרם הנפחי פרופורציונית ל $\delta$, ולכן נאפס תרומה זו.

נמשיך לתרומת הזרם המשטחי:

$$\int \overrightarrow{K}\cdot (\hat{n}\times \overrightarrow{dL})=\int \overrightarrow{K}\cdot {\hat{n}}_{l}dl=\overrightarrow{K}\cdot (\hat{n}\times \overrightarrow{dl})=\overrightarrow{K}\cdot (\hat{n}\times \overrightarrow{dL})=\overrightarrow{dL}\cdot (\overrightarrow{K}\times \hat{n})$$כאשר ${\hat{n}}_l$ הוא וקטור שמוכל במשטח וניצב לעקום שלאורכו מחושב האינטגרל'

וכאשר המעבר האחרון נובע מזהות וקטורית:

$$\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=\overrightarrow{b}\cdot (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})=\overrightarrow{c}\cdot (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$$

בסופו של דבר, נקבל:

$$({\overrightarrow{H}}_2-{\overrightarrow{H}}_1)\overrightarrow{dL}=\overrightarrow{dL}\cdot (\overrightarrow{K}\times \hat{n})$$נשים לב, כי בניגוש למעטפת הגאוסית, כאן קיים חופש בחירה ללולאת האמפר.

דהיינו - כל עוד הנקודה, שסביבה אנו מבצעים את האינטגרציה, נמצאת במרכז הלולאה, מסלול האינטגרציה עצמו לא ישפיע על תנאי השפה שנקבל.

נסיק מכך, כי המשוואה מתקיימת תמיד, ללא תלות ב $\overrightarrow{dL}$, ולכן נחלק את המשוואה הקודמת באיבר זה:

$${\overrightarrow{H}}_2-{\overrightarrow{H}}_1=\overrightarrow{K}\times \hat{n}$$נכפול את המשוואה שקיבלנו, ב $\hat{n}\times$ משמאל:

$$\hat{n}\times ({\overrightarrow{H}}_2-{\overrightarrow{H}}_1)=\hat{n}\times (\overrightarrow{k}\times \hat{n})=(\hat{n}\cdot \hat{n})\overrightarrow{K}-(\hat{n}\cdot \overrightarrow{K})\hat{n}=\overrightarrow{K}$$כאשר המעבר השני נובע מהזהות הבאה:

$$\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{b})=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$$ובמעבר האחרון איפסנו את האיבר $(\hat{n}\cdot \overrightarrow{K})\hat{n}$ מפני ש $\overrightarrow{K}$ מוכל במשטח S, ו $\hat{n}$ ניצב ל S.

בסופו של דבר, קיבלנו:

$\hat{n}\times ({\overrightarrow{H}}_2-{\overrightarrow{H}}_1)=\overrightarrow{K}$

נסיק מכך, כי קיימת קפיצה ברכיב השדה המגנטי המקביל למשטח.

לוקליזציה סביב שפה - חוק פאראדיי

אם נבצע פיתוח דומה, עבור חוק פארדיי, נקבל את תנאי השפה הבא עבור הרכיב המקביל למשטח של השדה:

$$\hat{n}\times ({\overrightarrow{ϵ}}_2-{\overrightarrow{ϵ}}_2)=0$$לוקליזציה סביב שפה - חוק שימור המטען

טיפול בחוק שימור מטען הינו דומה לדיפול שביצענו לתנאי השפה עם חוק גאוס, רק שכאן נצטרך להתחשב בצפיפות הזרם המשטחית ($\overrightarrow{K}$) וגם צפיפות המטען המשטחית ($\eta$).

נישאר עם ההנחה כי:

$$\delta <<R<<\text{every other dimension in the problem}$$משוואת שימור מטען:

$\underset{S=\partial V}{\oint }\overrightarrow{J}\cdot \hat{n}da=-\frac{\partial }{\partial t}\underset{V}{⨌}\rho dV$

נחשב קודם כל את אגף שמאל:

תרומת הזרם הנפחי:

$${\overrightarrow{J}}_2\cdot \hat{n}da-{\overrightarrow{J}}_1\cdot \hat{n}da+\delta ()={\overrightarrow{J}}_2\cdot \hat{n}da-{\overrightarrow{J}}_1\cdot \hat{n}da$$

כאשר הזנחנו את האיבר הפרופורציוני ל $\delta$ מההנחה כי:$\delta <<R<<\text{every other dimension in the problem}$.

תרומת הזרם המשטחי:

$$\underset{L}{\oint }\overrightarrow{K}\cdot (\hat{n}\times \overrightarrow{dl})=\oint \overrightarrow{K}\cdot {\hat{n}}_{L}dl$$

כאשר ${\hat{n}}_L$ הוא וקטור המוכל במשטח וניצב לעקום שאורכו מחושב האינטגרל.

כעת, נמצא את תרומת אגף ימין:

תרומת הצפיפות הנפחית:

$$\iiint \rho dV\propto \delta \cdot \frac{{\rho }_{1}da+{\rho }_{2}da}{2}=0$$

תרומת הצפיפות המשטחית:

$$\underset{S}{\iint }\eta \cdot da=Q_{in}=\eta da$$

בסופו של דבר נקבל:

$$({\overrightarrow{J}}_2\cdot \hat{n}-{\overrightarrow{J}}_1\cdot \hat{n})da+\oint \overrightarrow{K}\cdot {\hat{n}}_{L}dl=-\frac{\partial }{\partial t}(\eta da)$$

לאחר חלוקה ב $da$ :

<$$\hat{n}\cdot ({\overrightarrow{J}}_2-{\overrightarrow{J}}_1)+\frac{1}{da}\oint \overrightarrow{K}\cdot {\hat{n}}_{L}dl=-\frac{\partial \eta }{\partial t}$$

כאשר האיבר השני מייצג את סך השטף שיוצא דרך העקום שנמצא במשטח אי - הרציפות.

נסכם את תנאי השפה:

שדה חשמלי:

הרכיב הניצב:

$$\hat{n}\cdot ({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2-{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1)=\eta$$

הרכיב המקביל:

$$\hat{n}\times ({\overrightarrow{E}}_2-{\overrightarrow{E}}_1)=0$$

שדה מגנטי:

הרכיב הניצב:

$$\hat{n}\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_2-{\mu }_0{\overrightarrow{H}}_1)=0$$

הרכיב המקביל:

$$\hat{n}\times ({\overrightarrow{H}}_2-{\overrightarrow{H}}_1)=\overrightarrow{K}$$

חוק שימור המטען:

$$\hat{n}\cdot ({\overrightarrow{J}}_2-{\overrightarrow{J}}_1)+{\mathrm{\nabla }}_{2D}\cdot \overrightarrow{K}=-\frac{\partial \eta }{\partial t}$$

כאשר האיבר ${\mathrm{\nabla }}_{2D}$ הוא דיברגנץ דו - מימדי.

אופרטור הדיברגנץ הדו - מימדי ${\mathrm{\nabla }}_{2D}$

אם המשטח שלנו הוא מישור, נגדיר:

$${\mathrm{\nabla }}_{2D}=\hat{x}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial }{\partial y}$$

אם המשטח שלנו הוא כדור, נגדיר:

$${\mathrm{\nabla }}_{2D}=\frac{1}{R^2\sin \theta }(\frac{\partial }{\partial \theta }(R\sin \theta K_{\theta })+\frac{\partial }{\partial \varphi }(R{K}_{\varphi }))$$

דוגמא 1

נתון משטח הטעון הצפיפות אחידה - ${\eta }_0$.

אנו יודעים כי השדה החשמלי הינו:

$$\overrightarrow{ϵ}=-\frac{{\eta }_0}{2{ϵ}_0}\cdot \mathrm{sgn}(z)\hat{z}$$

נבין, כי קיימת אצלנו בעיית אי רציפות ב $z=0$.

נפעיל את תנאי השפה של השדה החשמלי עבור החלק המאונך:

$$\hat{z}({ϵ}_0\frac{{\eta }_0}{2{ϵ}_0}\hat{z}-{ϵ}_0\frac{{\eta }_0}{2{ϵ}_0}(-\hat{z}))=\hat{z}\cdot \frac{2{ϵ}_0{\eta }_0}{2{ϵ}_0}\hat{z}=\hat{z}\cdot \hat{z}{\eta }_0={\eta }_0$$

אכן קיבלנו את ${\eta }_0$ כצפוי.

דוגמא 2

נתון משטח עליו זורם זרם משטחי בצפיפות אחידה $\overrightarrow{K}=K_0\hat{y}$.

השדה המגנטי בבעיה הינו:

<$$\overrightarrow{H}=\frac{k_0}{2}\cdot \mathrm{sgn}(z)\hat{x}$$

נבדוק את תנאי השפה של השדה המגנטי המקביל:

$$\hat{n}\times ({\overrightarrow{H}}_2-{\overrightarrow{H}}_1)=\hat{z}\times (\frac{k_0}{2}\hat{x}-\frac{k_0}{2}(-\hat{x}))=\hat{z}\times (k_0\hat{x})=k_0(\hat{z}\times \hat{x})=k_0\hat{y}=\overrightarrow{K}$$

כיצד משפיעים שדות על גופים המוכנסים לתוכם?

נניח שקיים גוף כלשהו בעל מטענים.

נכניס את הגוף לתוך שדה חשמלי, ולכן נרצה לדעת איך נראה השדה החשמלי החדש.

נניח שבעקבות המעבר לאזור עם שדה חיצוני, המטענים זזים ומסתדרים מחדש, ולכן השדה החשמלי החדש יהיה סכום השדה החיצוני (בלי הגוף), עם השדה החשמלי הפנימי שנוצר ע"י המטענים בגוף:

$${\overrightarrow{ϵ}}_{new}={\overrightarrow{ϵ}}_{external}+{\overrightarrow{ϵ}}_{charge}$$

לפיכך:

חומר = פילוג המטענים בגוף + ואקום

חומר מוליך בשדה חשמלי

הגדרה:

חומר מוליך הוא חומר שבו יש מטענים חשמליים, החופשיים לנוע לכל מקום בתוך החומר.

אנו יודעים כי הכוח הפועל על המטענין הינו:

$$\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}$$

ולכן נבין, כי בהינתן ונפעיל שדה חשמלי חיצוני, המטענים בתוך החומר ימשיכו לזוז עד אשר $E=0$.

נשים לב, כי כדי לקבל את התנאי הנ"ל, השדה החיצוני צריך להיות ניצב לשפת המוליך:

$$\hat{n}\times ({\overrightarrow{E}}_2-{\overrightarrow{E}}_1)=0⟹\hat{n}\times {\overrightarrow{E}}_2=0⟹{\overrightarrow{E}}_2\text{ is perpendicular to the sphere}$$

הגדרה:

מצב יציב - מצב שבו אין תנועת מטענים התוך המוליך.

אם במצב היציב מתקיים בתוך המוליך:

$$\overrightarrow{E}=0$$

נפעיל חוק גאוס:

$$\mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_0\overrightarrow{E})=0⟹\rho =0$$

לכן נבין, כי במצב יציב אין מטענים בתוך החומר, אלא רק על השפה שלו.

המודל לחומר מוליך - חוק אוהם

חוק אוהם קובע כי:

$$\overrightarrow{J}=\sigma \overrightarrow{E}$$

כאשר $\sigma$ היא המוליכות הסגולית, ויחידותיה הם: $[\sigma ]=\frac{1}{\mathrm{\Omega }m}$.

לחילופין, ניתן לכתוב:

<$$V=RI$$

מתוך חוק אוהם, ניתן לקבל:

$$R=\frac{1}{\sigma }\frac{l}{A}$$

דוגמא לשימוש במודל:

נציב את חוק אוהם בתוך חוק שימור המטען (הדיפרנציאלי) $\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{J}=-\frac{\partial \rho }{\partial t}$:

$$\mathrm{\nabla }\cdot (\sigma \overrightarrow{E})=-\frac{\partial \rho }{\partial t}⟹\sigma (\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E})=-\frac{\partial \rho }{\partial t}⟹\frac{\sigma \rho }{{ϵ}_0}=-\frac{\partial \rho }{\partial t}$$

כאשר במעבר השני הנחנו כי $\sigma$ הינו סקלר (כלומר, אינו משתנה במרחב).

במעבר השני השתמשנו בחוק גאוס ($\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}=\frac{\rho }{{ϵ}_0}$).

נפתור את המד"ר ונקבל:

$$\rho (\overrightarrow{r})=e^{-t/\tau }\cdot {\rho }_0(t)$$

כאשר $\tau$ מוגדר להיות זמן הרלקסציה, או מהירות הדעיכה, ושווה ל:

$$\tau =\frac{{ϵ}_0}{\sigma }$$

עבור נחושת, למשל:

$$\tau \sim 10^{-19}sec$$

לכן נבין, כי הזמן שלוקח למערכת להגיע לשיווי משקל, הינו קטן ביותר.

מוליך מול מוליך אידאלי (PEC=Perfect Electric Conductor)

הגדרה:

מוליך אידאלי הוא חומר שבו $\sigma ⟶\mathrm{\infty }$

לפיכך, אין בתוכו שדות בכלל: לא שדה חשמלי ולא מגנטי, ולפיכך גם לא זרם חשמלי נפחי (אולם ייתכן זרם חשמלי על השפה של המוליך).

סיכום:

תכונות	מוליך אידאלי	מוליך רגיל
האם קיים $\overrightarrow{K}$ על שפת המוליך?	כן, יש זרם רק על השפה.	לא, עבור השפה $R=\frac{1}{\sigma }\frac{l}{A}=\frac{1}{\sigma }\cdot \frac{l}{\delta \cdot D}\underset{\delta ⟶0}{⟶}\mathrm{\infty }$
תנאי שפה - רכיב ניצב של השדה החשמלי	אין בתוכו שדה, ולכן: $\eta ={ϵ}_0\cdot \hat{n}{\overrightarrow{E}}_{outside}$	אין הגבלה
תנאי שפה - רכיב משיקי של השדה החשמלי	אין בתוכו שדה, לכן: $\hat{n}\times {\overrightarrow{E}}_{outside}=0$ כלומר, השדה ניצב לשפה	אין הגבלה
תנאי שפה - שימור מטען	${\mathrm{\nabla }}_{2D}\overrightarrow{K}=-\frac{\partial \eta }{\partial t}$	$-\hat{n}\cdot {\overrightarrow{J}}_{inside}=-\frac{\partial \eta }{\partial t}$

סיכום תנאי שפה על מוליך מושלם (PEC):

$$\hat{n}\times \overrightarrow{E}=0$$

$$\hat{n}\times \overrightarrow{H}=\overrightarrow{K}$$

$$\hat{n}\cdot {ϵ}_0\overrightarrow{E}=\eta$$

$$\hat{n}\cdot {\mu }_0\overrightarrow{H}=0$$