פרק 3ב - קוואזיסטטיקה

תזכורות

בהרצאה 1 קיבלנו את משוואות מקסוול, ובהרצאה 2 את תנאי השפה.

	תנאי שפה	משוואה
שדה חשמלי – אי-רציפות רכיב ניצב לשפה	$\hat{n}\cdot ({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2-{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1)=\eta$	$\mathrm{\nabla }\times E=-{\mu }_0\frac{\partial H}{\partial t}$
שדה חשמלי – רציפות רכיב משיק לשפה	$\hat{n}\times ({\overrightarrow{E}}_2-{\overrightarrow{E}}_1)=0$	$\mathrm{\nabla }\times H={ϵ}_0\frac{\partial E}{\partial t}+J$
שדה מגנטי – רציפות רכיב ניצב לשפה	$\hat{n}\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_2-{\mu }_0{\overrightarrow{H}}_1)=0$	$\mathrm{\nabla }\cdot \left({ϵ}_{0}E\right)=\rho$
שדה מגנטי – אי-רציפות רכיב משיק לשפה	$\hat{n}\times ({\overrightarrow{H}}_2-{\overrightarrow{H}}_1)=\overrightarrow{K}$	$\mathrm{\nabla }\cdot \left({\mu }_{0}H\right)=0$
חוק שימור המטען על שפה	$\hat{n}\cdot ({\overrightarrow{J}}_2-{\overrightarrow{J}}_1)+{\mathrm{\nabla }}_{2D}\cdot \overrightarrow{K}=-\frac{\partial \eta }{\partial t}$	$\mathrm{\nabla }\cdot J=-\frac{\partial \rho }{\partial t}$

משוואות מקסוול - משטר קוואזיסטטי

כנקודת התחלה לקירוב הקוואזיסטטי, השדות משתנים לאט בזמן:

$$\frac{\partial }{\partial t}⟶0$$נרצה לדעת ולתאר עבור אילו פרמטרים של המערכת הקירוב הזה רלוונטי.

הטור הקוואזיסטטי

נרשום את השדות באמצעות טור:

$$\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\overrightarrow{E}}^{(n)}(\overrightarrow{r},t)\text{ ; }\overrightarrow{H}(\overrightarrow{r},t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\overrightarrow{H}}^{(n)}(\overrightarrow{r},t)$$כאשר n הוא סדר האיבר בטור.

זהו טור אסימפטוטי ביחס ל $\frac{\partial }{\partial t}⟶0$:

$$\underset{\frac{\partial }{\partial t}\to 0}{\lim }\frac{E^{(n)}}{E^{(n-1)}}<<1$$נרשום טור זהה למקורות:

$$\overrightarrow{J}(\overrightarrow{r},t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\overrightarrow{J}}^{(n)}(\overrightarrow{r},t)\text{ ; }\rho (\overrightarrow{r},t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\overrightarrow{\rho }}^{(n)}(\overrightarrow{r},t)$$נשים לב כי קיימים מספר הבדלים בטור חזקות שהגרנו עד כה, לבין טור אסימפטוטי.

טור חזקות רגיל

נגדיר לפונקציה טור חזקות סביב $x_0$:

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-x_0{)}^n$$אם רדיוס ההתכנוס של הטור הוא R, אז לכל $|x-x_0|<R$

שארית הטור:

$${ϵ}_N=\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-x_0{)}^n$$מתקיים:

$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{ϵ}_N=0$$

טור אסימפטוטי

אם לפונקציה יש פיתוח סביב $x_0$:

$$f(x)\sim \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{\varphi }_n(x-x_0)$$$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{{\varphi }_{n+1}}{{\varphi }_n}=0$$עבור $x\to x_0$ השגיאה מקיימת:

$${ϵ}_N=[f(x)-\sum _{n=0}^N{a}_n{\varphi }_n(x-x_0)]<<{\varphi }_N(x-x_0)$$הטור לא חייב:

• להיות טור מתכנס
• עבור $x\ne x_0$ לשפר את דיוק הקירוב כאשר מוסיפים איברים נוספים!

נסכם את ההבדלים:

	טור אסימפטוטי	טור חזקות "רגיל"
N	$N\text{ is const}$	$N\to \mathrm{\infty }$
$x$	$x\to x_0$	$x\text{ is const}$
${ϵ}_N$	${ϵ}_N<<{\varphi }_N$	${ϵ}_N\to 0$