פרק 3ב - קוואזיסטטיקה

תזכורות

בהרצאה 1 קיבלנו את משוואות מקסוול, ובהרצאה 2 את תנאי השפה.

	תנאי שפה	משוואה
שדה חשמלי – אי-רציפות רכיב ניצב לשפה	$\hat{n}\cdot ({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2-{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1)=\eta$	$\mathrm{\nabla }\times E=-{\mu }_0\frac{\partial H}{\partial t}$
שדה חשמלי – רציפות רכיב משיק לשפה	$\hat{n}\times ({\overrightarrow{E}}_2-{\overrightarrow{E}}_1)=0$	$\mathrm{\nabla }\times H={ϵ}_0\frac{\partial E}{\partial t}+J$
שדה מגנטי – רציפות רכיב ניצב לשפה	$\hat{n}\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_2-{\mu }_0{\overrightarrow{H}}_1)=0$	$\mathrm{\nabla }\cdot \left({ϵ}_{0}E\right)=\rho$
שדה מגנטי – אי-רציפות רכיב משיק לשפה	$\hat{n}\times ({\overrightarrow{H}}_2-{\overrightarrow{H}}_1)=\overrightarrow{K}$	$\mathrm{\nabla }\cdot \left({\mu }_{0}H\right)=0$
חוק שימור המטען על שפה	$\hat{n}\cdot ({\overrightarrow{J}}_2-{\overrightarrow{J}}_1)+{\mathrm{\nabla }}_{2D}\cdot \overrightarrow{K}=-\frac{\partial \eta }{\partial t}$	$\mathrm{\nabla }\cdot J=-\frac{\partial \rho }{\partial t}$

כפי שציינו כבר, פתרון כללי ומלא של משוואות אלו יכול להיות מסובך למדי, ולכן קיימים קירובים שונים שניתן לעשות על מנת לפשט את תהליך הפתרון.

משוואות מקסוול - משטר קוואזיסטטי

כנקודת התחלה לקירוב הקוואזיסטטי, השדות משתנים לאט בזמן:

$$\frac{\partial }{\partial t}⟶0$$נרצה לדעת ולתאר עבור אילו פרמטרים של המערכת הקירוב הזה רלוונטי.

הטור הקוואזיסטטי

נרשום את השדות באמצעות טור:

$$\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\overrightarrow{E}}^{(n)}(\overrightarrow{r},t)\text{ ; }\overrightarrow{H}(\overrightarrow{r},t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\overrightarrow{H}}^{(n)}(\overrightarrow{r},t)$$כאשר n הוא סדר האיבר בטור.

זהו טור אסימפטוטי ביחס ל $\frac{\partial }{\partial t}⟶0$, כלומר איברי הטור מקיימים:

$$\underset{\frac{\partial }{\partial t}\to 0}{\lim }\frac{E^{(n)}}{E^{(n-1)}}<<1$$

נרשום טור זהה למקורות:

$$\overrightarrow{J}(\overrightarrow{r},t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\overrightarrow{J}}^{(n)}(\overrightarrow{r},t)\text{ ; }\rho (\overrightarrow{r},t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\overrightarrow{\rho }}^{(n)}(\overrightarrow{r},t)$$

נשים לב כי קיימים מספר הבדלים בין טור חזקות שאנו "רגילים" להגדיר במצבים שונים, לבין טור אסימפטוטי.

טור חזקות רגיל

נגדיר לפונקציה טור חזקות סביב $x_0$:

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-x_0{)}^n$$אם רדיוס ההתכנוס של הטור הוא R, אז לכל $|x-x_0|<R$

שארית הטור:

$${ϵ}_N=\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-x_0{)}^n$$

מתקיים:

$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{ϵ}_N=0$$

טור אסימפטוטי

אם לפונקציה יש פיתוח סביב $x_0$:

$$f(x)\sim \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{\varphi }_n(x-x_0)$$$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{{\varphi }_{n+1}}{{\varphi }_n}=0$$עבור $x\to x_0$ השגיאה מקיימת:

$${ϵ}_N=[f(x)-\sum _{n=0}^N{a}_n{\varphi }_n(x-x_0)]<<{\varphi }_N(x-x_0)$$הטור לא חייב:

• להיות טור מתכנס
• עבור $x\ne x_0$ לשפר את דיוק הקירוב כאשר מוסיפים איברים נוספים!

נסכם את ההבדלים:

	טור אסימפטוטי	טור חזקות "רגיל"
N	$N\text{ is const}$	$N\to \mathrm{\infty }$
$x$	$x\to x_0$	$x\text{ is const}$
${ϵ}_N$	${ϵ}_N<<{\varphi }_N$	${ϵ}_N\to 0$

משוואות הקוואזיסטטיקה - הקשר בין האברים בטור הקוואזיסטטי

נזכיר שכל הקירוב מתבצע עבור $\frac{\partial }{\partial t}\to 0$.

ניקח לדוגמא את חוק שימור המטען:

$$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{J}=-\frac{\partial \rho }{\partial t}$$נציב למשוואה את הטור הקוואזיסטטי של J ו ρ:

$$\mathrm{\nabla }\cdot ({\overrightarrow{J}}^{(0)}+{\overrightarrow{J}}^{(1)}+{\overrightarrow{J}}^{(2)}+...)=-\frac{\partial }{\partial t}({\rho }^{(0)}+{\rho }^{(1)}+{\rho }^{(2)}+...)$$נשים לב ש:

$${\overrightarrow{J}}^{(0)}>>{\overrightarrow{J}}^{(2)};\frac{{\rho }^{(0)}}{T}>>\frac{\partial {\rho }^{(0)}}{\partial t}$$ולכן:

$$\underset{\text{zero order}}{\underbrace{\mathrm{\nabla }\cdot {\overrightarrow{J}}^{(0)}}}+\underset{\text{first order}}{\underbrace{\mathrm{\nabla }\cdot {\overrightarrow{J}}^{(1)}}}+\underset{\text{second order}}{\underbrace{\mathrm{\nabla }\cdot {\overrightarrow{J}}^{(2)}}}+...=-\underset{\text{first order}}{\underbrace{\frac{\partial }{\partial t}{\rho }^{(0)}}}-\underset{\text{second order}}{\underbrace{\frac{\partial }{\partial t}{\rho }^{(1)}}}-\underset{\text{third order}}{\underbrace{\frac{\partial }{\partial t}{\rho }^{(2)}}}-...$$ולכן, אם נשווה בין כל סדר בנפרד נקבל:

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\cdot {\overrightarrow{J}}^{(0)}=0\\ \mathrm{\nabla }\cdot {\overrightarrow{J}}^{(1)}=-\frac{\partial }{\partial t}{\rho }^{(0)}\\ \mathrm{\nabla }\cdot {\overrightarrow{J}}^{(2)}=-\frac{\partial }{\partial t}{\rho }^{(1)}\\ ⋮\end{array}$$נסיק כי גזירה של משתנה בזמן "מורידה" את הסדר שלו.

משוואות הקוואזיסטטיקה - חוק אמפר

חוק אמפר הוא כידוע:$$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}={ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{E}+\overrightarrow{J}$$נציב את הטורים, ונקבל:

$$\mathrm{\nabla }\times (H^{(0)}+H^{(1)}+H^{(2)})={ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}(E^{(0)}+E^{(1)}+E^{(2)})+(J^{(0)}+J^{(1)}+J^{(2)})$$ולכן, מהשוואת סדרים נקבל:

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times {\overrightarrow{H}}^{(0)}={\overrightarrow{J}}^{(0)}\\ \mathrm{\nabla }\times {\overrightarrow{H}}^{(1)}={ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}{\overrightarrow{E}}^{(0)}+{\overrightarrow{J}}^{(1)}\\ \mathrm{\nabla }\times {\overrightarrow{H}}^{(2)}={ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}{\overrightarrow{E}}^{(1)}+{\overrightarrow{J}}^{(2)}\\ ⋮\end{array}$$

משוואות הקוואזיסטטיקה - חוק פאראדיי

בצורה דומה, נוכל לקבל:

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times E^{(0)}=0\\ \mathrm{\nabla }\times E^{(1)}=-{\mu }_0\frac{\partial H^{(0)}}{\partial t}\\ \mathrm{\nabla }\times E^{(2)}=-{\mu }_0\frac{\partial H^{(1)}}{\partial t}\\ ⋮\end{array}$$

משוואות הקוואזיסטטיקה - חוקי גאוס

$$\mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_0\overrightarrow{E})=\rho$$נשים לב שאין פה נגזרות זמניות, לכן הסדרים יהיו שווים משני הצדדים:

$$\{\begin{array}{l}\text{first order: }\mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_0{E}^{(0)})={\rho }^{(0)}\\ \text{second order: }\mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_0{E}^{(1)})={\rho }^{(1)}\\ ⋮\end{array}$$אותו הדבר קורה עבור חוק גאוס המגנטי.

משוואות הקוואזיסטטיקה - תנאי שפה

שדה חשמלי

נציב את הטור הקוואזיסטטי לתנאי השפה של שדה חשמלי ניצב לשפה:

$$\hat{n}\cdot ({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2-{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1)=\eta$$ונקבל:

$$\{\begin{array}{l}\hat{n}\cdot ({ϵ}_0{E}_2^{(0)}-{ϵ}_0{E}_1^{(0)})={\eta }^{(0)}\\ \hat{n}\cdot ({ϵ}_0{E}_2^{(1)}-{ϵ}_0{E}_1^{(1)})={\eta }^{(1)}\\ ⋮\end{array}$$

שימור מטען

נציב את הטור הקוואזיסטטי לתוך:

$$\hat{n}\cdot ({\overrightarrow{J}}_2-{\overrightarrow{J}}_1)+{\mathrm{\nabla }}_{2D}\cdot \overrightarrow{K}=-\frac{\partial \eta }{\partial t}$$ונקבל:

$$\{\begin{array}{l}\hat{n}\cdot ({\overrightarrow{J}}_2^{(0)}-{\overrightarrow{J}}_1^{(0)})+{\mathrm{\nabla }}_{2D}\cdot {\overrightarrow{K}}^{(0)}=0\\ \hat{n}\cdot ({\overrightarrow{J}}_2^{(1)}-{\overrightarrow{J}}_1^{(1)})+{\mathrm{\nabla }}_{2D}\cdot {\overrightarrow{K}}^{(1)}=-\frac{\partial }{\partial t}{\eta }^{(0)}\\ ⋮\end{array}$$

משוואות הקוואזיסטטיקה - סיכום

נהוג לחלק את הפתרון הקוואזי - סטטי לשני מסלולים:

מסלול מגנטו - סטטי: אם רק שדה מגנטי מרכיב את סדר האפס.

מסלול אלקטרו - סטטי: אם רק שדה חשמלי מרכיב את סדר האפס.

Order	Magneto-Quasistatics (MQS)	Electro-Quasistatics (EQS)	הערות
zero	$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times H^{(0)}=J^{(0)}\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0{H}^{(0)})=0\end{array}+\text{zero order B.C.}$	$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times E^{(0)}=0\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_0{E}^{(0)})={\rho }^{(0)}\end{array}+\text{zero order B.C.}$$	ניתן להשתמש בזמן כפרמטר, ולכן נפתור בעיה סטטית
	$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\cdot J^{(0)}=0\\ \hat{n}\cdot (J_2^{(0)}-J_1^{(0)})+{\mathrm{\nabla }}_S{K}^{(0)}=0\end{array}$$
first	$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times E^{(1)}=-{\mu }_0{\partial }_t{H}^{(0)}\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_0{E}^{(1)})={\rho }^{(1)}\end{array}+\text{first order B.C.}$	$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times H^{(1)}={ϵ}_0{\partial }_t{E}^{(0)}+J^{(1)}\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0{H}^{(1)})=0\end{array}+\text{first order B.C.}$
	$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\cdot J^{(1)}=-{\partial }_t{\rho }^{(0)}\\ \hat{n}\cdot (J_2^{(1)}-J_1^{(1)})+{\mathrm{\nabla }}_S{K}^{(1)}=-{\partial }_t{\eta }^{(0)}\end{array}$$
second	$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times H^{(2)}={ϵ}_0{\partial }_t{E}^{(1)}+J^{(2)}\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0{H}^{(2)})=0\end{array}+\text{second order B.C.}$	$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times E^{(2)}=-{\mu }_0{\partial }_t{H}^{(1)}\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_0{E}^{(2)})={\rho }^{(2)}\end{array}+\text{second order B.C.}$
	$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\cdot J^{(2)}=-{\partial }_t{\rho }^{(1)}\\ \hat{n}\cdot (J_2^{(2)}-J_1^{(2)})+{\mathrm{\nabla }}_S{K}^{(2)}=-{\partial }_t{\eta }^{(1)}\end{array}$$

דוגמא - EQS

איור 1

נתון קבל המוזן ע"י מקור מתח בשני קצותיו (איור 1).

נתון כי $d<<L,W$ ולכן ניתן להזניח אפקטי שפה.

חשבו את השדות בקבל בקירוב הקוואזי סטטי (סדר 0,1,2).

נשים לב:

• השדות בחוץ הם אפס
• על המקורות אין תיקונים מסדר גבוה למתח

סדר 0 (איור 2)

איור 2

$$V(+)=V_0\cdot cos(\omega t)$$כאמור, בסדר 0 הזמן הוא "פרמטר" ואנו פותרים בעיה סטטית:

$${\overrightarrow{E}}^{(0)}=-\frac{V}{d}\hat{z}=-\frac{V_0}{d}cos(\omega t)\hat{z}$$נמצא תנאי שפה, עבור הלוח העליון (בלוח התחתון נקבל תוצאות זהות, עם סימן הפוך):

$${\eta }^{(0)}=\hat{z}\cdot (0-{ϵ}_0\frac{-V(t)}{d}\hat{z})={ϵ}_0\frac{V_0\cdot cos(\omega t)}{d}$$$$Q^{(0)}={\eta }^{(0)}\cdot LW={ϵ}_0\frac{V_{0}cos(\omega t)}{d}\cdot LW$$

תיקון סדר 1 - זרם דרך המקור (הדופן הלבנה)

נפעיל את חוק שימור מטען על הלוח העליון:

$$I_{out}^{(1)}=-\frac{\partial Q^{(0)}}{\partial t}=-\frac{\partial }{\partial t}({ϵ}_0\cdot \frac{LW}{d}\cdot V_0\cdot cos(\omega t))={ϵ}_0\cdot \omega \cdot \frac{LW}{d}\cdot V_0\cdot sin(\omega t)$$

מאחר והמקור מפולג באופן אחיד לאורך הדופן, הזרם זורם בו כזרם משטחי:

$${\overrightarrow{K}}^{(1)}\cdot (-\hat{z})\cdot L\cdot 2={ϵ}_0\cdot \omega \cdot \frac{LW}{d}\cdot V_0\cdot sin(\omega t)$$$${\overrightarrow{K}}^{(1)}=-{ϵ}_0\cdot \omega \cdot \frac{W}{2d}\cdot V_0\cdot sin(\omega t)\hat{z}$$$${\overrightarrow{K}}^{(1)}\hat{z}\cdot (-\hat{z})\cdot 2L={ϵ}_0\cdot \omega \cdot \frac{LW}{d}\cdot V_0\cdot sin(\omega t)$$

תיקון סדר 1 - שדה מגנטי (איור 3)

איור 3

מה כיוון $H^{(1)}$?

לפני תנאי השפה על הלוח העליון:

$$\hat{z}\times (0-\overrightarrow{H})=k\hat{x}\Rightarrow \overrightarrow{H}=H\hat{y}$$כדי לחשב את גודל הרכיב, נשתמש בחוק אמפר האינטגרלי (הלולאה מסומנת באיור (3)):

$$\oint H^{(1)}\cdot dl={ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}\iiint E^{(0)}\cdot \hat{n}ds+\underset{\text{all the passing current}}{\underbrace{\iint J^{(1)}\cdot \hat{n}ds}}$$אגף שמאל:

$$\oint H^{(1)}\cdot dl=H\cdot D$$אגף ימין:

$${ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}\iiint E^{(0)}\cdot \hat{n}ds+\iint J^{(1)}\cdot \hat{n}ds=\frac{\partial }{\partial t}(-\frac{V_{0}cos(\omega t)}{d}\cdot x\cdot D)+{ϵ}_0\omega \frac{W}{2d}{V}_{0}sin(\omega t)\cdot D$$ולכן:

איור 4

$${\overrightarrow{H}}^{(1)}(x)=\frac{{ϵ}_0{V}_0}{d}\omega \cdot sin(\omega t)(x-W/2)\hat{y}$$ קיבלנו אופיין לינארי, ניתן לראות שרטוט שלו באיור 4.

כעת ניתן גם לקבל ביטוי מסודר ל $\overrightarrow{K}$ על הלוח העליון, בעזרת תנאי השפה:

$$\overrightarrow{K}=\hat{z}\times (0-\frac{{ϵ}_0{V}_0}{d}\omega sin(\omega t)(x-W/2)\hat{y})=\frac{{ϵ}_0{V}_0}{d}\omega sin(\omega t)(x-W/2)\hat{x}$$

תיקון סדר 1 - צפיפות זרם משטחית - לוח עליון

עשינו מקודם

תיקון סדר 2 - שדה חשמלי (איור 5)

איור 5

אמרנו מקודם שאין תיקונים מסדר גבוה למתח, לכן:

$$V_{source}=-\int E^{(0)}dz=V_{0}cos(\omega t)$$

נשתמש ב:

$$\oint E^{(2)}\cdot dl=-{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}\iiint H^{(1)}\cdot \hat{n}ds$$

באגף שמאל נניח שהשדה החשמלי הוא בכיוון z:

$$\oint E^{(2)}\cdot dl=-E^{(2)}\cdot D$$אגף ימין:

$$-{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}\int \frac{{ϵ}_0{V}_0}{d}\omega sin(\omega t)(x-W/2)\hat{y}Ddy\cdot \hat{y}$$ולכן:

$$E^{(2)}=\frac{{\omega }^2}{2}cos(\omega t)\cdot \frac{{ϵ}_0{\mu }_0}{d}{V}_0(x^2-\omega x)\hat{z}$$

קיבלנו אופיין פרבולי. את התיקון של הסדר השני לשדה החשמלי ניתן לראות באיור 6, ואת השדה החשמלי הכולל באיור 7.

איור 6

איור 7

מתי הפיתרון תקף?

$$|E^{(2)}|/|E^{(0)}|<<1$$$$\frac{|{\omega }^{2}cos(\omega t)\frac{{ϵ}_0{\mu }_0{V}_0}{2d}(x^2-Wx)|}{|\frac{V_{0}cos(\omega t)}{d}|}<<1$$$$\Rightarrow {\omega }^2{ϵ}_0{\mu }_0\frac{W^2}{8}<<1\Rightarrow (\frac{\omega }{c}{)}^2<<\frac{8}{W^2}\Rightarrow W<<\sqrt{\frac{8}{(2\pi {)}^2}}\lambda$$