פרק 3ב - קוואזיסטטיקה

תזכורות

בהרצאה 1 קיבלנו את משוואות מקסוול, ובהרצאה 2 את תנאי השפה.

	תנאי שפה	משוואה
שדה חשמלי – אי-רציפות רכיב ניצב לשפה	$\hat{n}\cdot ({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2-{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1)=\eta$	$\mathrm{\nabla }\times E=-{\mu }_0\frac{\partial H}{\partial t}$
שדה חשמלי – רציפות רכיב משיק לשפה	$\hat{n}\times ({\overrightarrow{E}}_2-{\overrightarrow{E}}_1)=0$	$\mathrm{\nabla }\times H={ϵ}_0\frac{\partial E}{\partial t}+J$
שדה מגנטי – רציפות רכיב ניצב לשפה	$\hat{n}\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_2-{\mu }_0{\overrightarrow{H}}_1)=0$	$\mathrm{\nabla }\cdot \left({ϵ}_{0}E\right)=\rho$
שדה מגנטי – אי-רציפות רכיב משיק לשפה	$\hat{n}\times ({\overrightarrow{H}}_2-{\overrightarrow{H}}_1)=\overrightarrow{K}$	$\mathrm{\nabla }\cdot \left({\mu }_{0}H\right)=0$
חוק שימור המטען על שפה	$\hat{n}\cdot ({\overrightarrow{J}}_2-{\overrightarrow{J}}_1)+{\mathrm{\nabla }}_{2D}\cdot \overrightarrow{K}=-\frac{\partial \eta }{\partial t}$	$\mathrm{\nabla }\cdot J=-\frac{\partial \rho }{\partial t}$

כפי שציינו כבר, פתרון כללי ומלא של משוואות אלו יכול להיות מסובך למדי, ולכן קיימים קירובים שונים שניתן לעשות על מנת לפשט את תהליך הפתרון.

משוואות מקסוול - משטר קוואזיסטטי

כנקודת התחלה לקירוב הקוואזיסטטי, השדות משתנים לאט בזמן:

$$\frac{\partial }{\partial t}⟶0$$

שאלה חשובה שיש לשאול, היא לאט ביחס למה? אותו קצב השתנות יכול להחשב איטי במערכת אחת, אך מהיר במערכת אחרת.

אם המערכת המתוארת היא מערכת מחזורית בזמן, כלומר אות הכניסה ניתן לתיאור כ-$cos(\omega t)$ (מקור זרם או מתח בבעיה לדוגמא) אז מימדי הבעיה יתוארו באופן טבעי ביחס לאורך הגל האופייני / זמן מחזור אופייני בתדר $\omega$. אם אורך הגל האופייני $\lambda =2\pi c/\omega$ גדול בהרבה ממימדי המערכת האופייניים (כפי שראינו בסוף פרק 3א) אז המערכת מתאימה לתאור תחת קירוב זה. באופן שקול ניתן גם לחשוב על זמן אופייני להתפשטות גלים במערכת $\tau$. אם מתקיים שזמן אופייני זה קטן בהרבה מזמן המחזור של הכניסה או המקור, כלומר $\tau \ll T$ אז המערכת תתאים לקירוב קוואזיסטטי.

ומה אם אות הכניסה אינו מחזורי?

ניתן כמובן לבצע התמרה של האור לסכום של אותות מחזוריים (לדוגמא התמרת פוריה), ולדרוש שהתנאים לקירוב יתקיימו עבור רכיבי התדר הגבוהים ביותר בהתמרה, אך באופן פרקטי בד"כ אין צורך בניתוח מקדים כזה. ניתן פשוט לפתור את הבעיה תחת הקירוב הנ"ל, ובסופו של דבר מהדרישה שמבנה הפתרון יתאים למבנה ותכונות הטור הקוואזיסטטי נוכל לקבל את תחום הפרמטרים המתאים לקירוב.

הטור הקוואזיסטטי

נרשום את השדות באמצעות טור:

$$\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\overrightarrow{E}}^{(n)}(\overrightarrow{r},t)\text{ ; }\overrightarrow{H}(\overrightarrow{r},t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\overrightarrow{H}}^{(n)}(\overrightarrow{r},t)$$כאשר n הוא סדר האיבר בטור.

זהו טור אסימפטוטי ביחס ל $\frac{\partial }{\partial t}⟶0$, כלומר איברי הטור מקיימים:

$$\underset{\frac{\partial }{\partial t}\to 0}{\lim }\frac{E^{(n)}}{E^{(n-1)}}<<1$$

נרשום טור זהה למקורות:

$$\overrightarrow{J}(\overrightarrow{r},t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\overrightarrow{J}}^{(n)}(\overrightarrow{r},t)\text{ ; }\rho (\overrightarrow{r},t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\overrightarrow{\rho }}^{(n)}(\overrightarrow{r},t)$$

נשים לב כי קיימים מספר הבדלים בין טור חזקות שאנו "רגילים" להגדיר במצבים שונים, לבין טור אסימפטוטי.

טור חזקות

נגדיר לפונקציה טור חזקות סביב $x_0$:

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-x_0{)}^n$$אם רדיוס ההתכנוס של הטור הוא R, אז לכל $|x-x_0|<R$

שארית הטור:

$${ϵ}_N=\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-x_0{)}^n$$

מתקיים:

$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{ϵ}_N=0$$

טור אסימפטוטי

אם לפונקציה יש פיתוח סביב $x_0$:

$$f(x)\sim \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{\varphi }_n(x-x_0)$$$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{{\varphi }_{n+1}}{{\varphi }_n}=0$$

עבור $x\to x_0$ השגיאה מקיימת:

$${ϵ}_N=[f(x)-\sum _{n=0}^N{a}_n{\varphi }_n(x-x_0)]<<{\varphi }_N(x-x_0)$$

באופן כללי הטור לא חייב:

• להיות טור מתכנס
• עבור $x\ne x_0$ לשפר את דיוק הקירוב כאשר מוסיפים איברים נוספים. כלומר, במקרה שלנו, אין למעשה הבטחה שהטור יתכנס עבור קצת השתנות סופי בזמן (גם אם קטן). בפועל, בד"כ מתקבל טוב מתכנס שאין איתו בעייתיות כזו, אך חשוב לזכור שזה לא חייב להיות כך.

נסכם את ההבדלים:

	טור אסימפטוטי	טור חזקות
N	$N\text{ is const}$	$N\to \mathrm{\infty }$
$x$	$x\to x_0$	$x\text{ is const}$
${ϵ}_N$	${ϵ}_N<<{\varphi }_N$	${ϵ}_N\to 0$

משוואות הקוואזיסטטיקה

הקשר בין האברים בטור הקוואזיסטטי

נזכיר שכל הקירוב מתבצע עבור $\frac{\partial }{\partial t}\to 0$. מאחר ואופרטור הנגזרת הזמנית היא ה"פרמטר הקטן" בבעיה, זהו גם האופרטור שהופך איבר בטור לזניח ביחס לאיבר שלפניו. כלומר, כדי לעבור מסדר n לסדר n+1 בטור הקוואזיסטטי, יש לבצע גזירה בזמן.

ניקח לדוגמא את חוק שימור המטען:

$$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{J}=-\frac{\partial \rho }{\partial t}$$ נציב למשוואה את הטור הקוואזיסטטי של $\overrightarrow{J}$ ו-$\rho$:

$$\mathrm{\nabla }\cdot ({\overrightarrow{J}}^{(0)}+{\overrightarrow{J}}^{(1)}+{\overrightarrow{J}}^{(2)}+...)=-\frac{\partial }{\partial t}({\rho }^{(0)}+{\rho }^{(1)}+{\rho }^{(2)}+...)$$

נפתח את הסוגריים, ונציין ליד כל איבר את ה"סדר" המתאים לו בטור האסימפטוטי:

$$\underset{\text{zero order}}{\underbrace{\mathrm{\nabla }\cdot {\overrightarrow{J}}^{(0)}}}+\underset{\text{first order}}{\underbrace{\mathrm{\nabla }\cdot {\overrightarrow{J}}^{(1)}}}+\underset{\text{second order}}{\underbrace{\mathrm{\nabla }\cdot {\overrightarrow{J}}^{(2)}}}+...=-\underset{\text{first order}}{\underbrace{\frac{\partial }{\partial t}{\rho }^{(0)}}}-\underset{\text{second order}}{\underbrace{\frac{\partial }{\partial t}{\rho }^{(1)}}}-\underset{\text{third order}}{\underbrace{\frac{\partial }{\partial t}{\rho }^{(2)}}}-...$$

ולכן, אם נשווה בין כל סדר בנפרד נקבל:

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\cdot {\overrightarrow{J}}^{(0)}=0\\ \mathrm{\nabla }\cdot {\overrightarrow{J}}^{(1)}=-\frac{\partial }{\partial t}{\rho }^{(0)}\\ \mathrm{\nabla }\cdot {\overrightarrow{J}}^{(2)}=-\frac{\partial }{\partial t}{\rho }^{(1)}\\ ⋮\end{array}$$

משוואות הקוואזיסטטיקה - חוק אמפר

חוק אמפר הוא כידוע:$$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}={ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{E}+\overrightarrow{J}$$נציב את הטורים, ונקבל:

$$\mathrm{\nabla }\times (H^{(0)}+H^{(1)}+H^{(2)})={ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}(E^{(0)}+E^{(1)}+E^{(2)})+(J^{(0)}+J^{(1)}+J^{(2)})$$ולכן, מהשוואת סדרים נקבל:

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times {\overrightarrow{H}}^{(0)}={\overrightarrow{J}}^{(0)}\\ \mathrm{\nabla }\times {\overrightarrow{H}}^{(1)}={ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}{\overrightarrow{E}}^{(0)}+{\overrightarrow{J}}^{(1)}\\ \mathrm{\nabla }\times {\overrightarrow{H}}^{(2)}={ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}{\overrightarrow{E}}^{(1)}+{\overrightarrow{J}}^{(2)}\\ ⋮\end{array}$$

משוואות הקוואזיסטטיקה - חוק פאראדיי

בצורה דומה, נוכל לקבל:

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times E^{(0)}=0\\ \mathrm{\nabla }\times E^{(1)}=-{\mu }_0\frac{\partial H^{(0)}}{\partial t}\\ \mathrm{\nabla }\times E^{(2)}=-{\mu }_0\frac{\partial H^{(1)}}{\partial t}\\ ⋮\end{array}$$

משוואות הקוואזיסטטיקה - חוקי גאוס

$$\mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_0\overrightarrow{E})=\rho$$נשים לב שאין פה נגזרות זמניות, לכן הסדרים יהיו שווים משני הצדדים:

$$\{\begin{array}{l}\text{first order: }\mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_0{E}^{(0)})={\rho }^{(0)}\\ \text{second order: }\mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_0{E}^{(1)})={\rho }^{(1)}\\ ⋮\end{array}$$אותו הדבר קורה עבור חוק גאוס המגנטי.

משוואות הקוואזיסטטיקה - תנאי שפה

שדה חשמלי

נציב את הטור הקוואזיסטטי לתנאי השפה של שדה חשמלי ניצב לשפה:

$$\hat{n}\cdot ({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2-{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1)=\eta$$ונקבל:

$$\{\begin{array}{l}\hat{n}\cdot ({ϵ}_0{E}_2^{(0)}-{ϵ}_0{E}_1^{(0)})={\eta }^{(0)}\\ \hat{n}\cdot ({ϵ}_0{E}_2^{(1)}-{ϵ}_0{E}_1^{(1)})={\eta }^{(1)}\\ ⋮\end{array}$$

שימור מטען

נציב את הטור הקוואזיסטטי לתוך:

$$\hat{n}\cdot ({\overrightarrow{J}}_2-{\overrightarrow{J}}_1)+{\mathrm{\nabla }}_{2D}\cdot \overrightarrow{K}=-\frac{\partial \eta }{\partial t}$$ונקבל:

$$\{\begin{array}{l}\hat{n}\cdot ({\overrightarrow{J}}_2^{(0)}-{\overrightarrow{J}}_1^{(0)})+{\mathrm{\nabla }}_{2D}\cdot {\overrightarrow{K}}^{(0)}=0\\ \hat{n}\cdot ({\overrightarrow{J}}_2^{(1)}-{\overrightarrow{J}}_1^{(1)})+{\mathrm{\nabla }}_{2D}\cdot {\overrightarrow{K}}^{(1)}=-\frac{\partial }{\partial t}{\eta }^{(0)}\\ ⋮\end{array}$$

משוואות הקוואזיסטטיקה - סיכום

נהוג לחלק את הפתרון הקוואזי - סטטי לשני מסלולים:

מסלול מגנטו - סטטי: אם רק שדה מגנטי מרכיב את סדר האפס.

מסלול אלקטרו - סטטי: אם רק שדה חשמלי מרכיב את סדר האפס.

Order	Magneto-Quasistatics (MQS)	Electro-Quasistatics (EQS)	הערות
zero	$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times H^{(0)}=J^{(0)}\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0{H}^{(0)})=0\end{array}+\text{zero order B.C.}$	$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times E^{(0)}=0\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_0{E}^{(0)})={\rho }^{(0)}\end{array}+\text{zero order B.C.}$$	ניתן להשתמש בזמן כפרמטר, ולכן נפתור בעיה סטטית
	$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\cdot J^{(0)}=0\\ \hat{n}\cdot (J_2^{(0)}-J_1^{(0)})+{\mathrm{\nabla }}_S{K}^{(0)}=0\end{array}$$
first	$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times E^{(1)}=-{\mu }_0{\partial }_t{H}^{(0)}\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_0{E}^{(1)})={\rho }^{(1)}\end{array}+\text{first order B.C.}$	$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times H^{(1)}={ϵ}_0{\partial }_t{E}^{(0)}+J^{(1)}\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0{H}^{(1)})=0\end{array}+\text{first order B.C.}$
	$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\cdot J^{(1)}=-{\partial }_t{\rho }^{(0)}\\ \hat{n}\cdot (J_2^{(1)}-J_1^{(1)})+{\mathrm{\nabla }}_S{K}^{(1)}=-{\partial }_t{\eta }^{(0)}\end{array}$$
second	$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times H^{(2)}={ϵ}_0{\partial }_t{E}^{(1)}+J^{(2)}\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0{H}^{(2)})=0\end{array}+\text{second order B.C.}$	$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times E^{(2)}=-{\mu }_0{\partial }_t{H}^{(1)}\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_0{E}^{(2)})={\rho }^{(2)}\end{array}+\text{second order B.C.}$
	$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\cdot J^{(2)}=-{\partial }_t{\rho }^{(1)}\\ \hat{n}\cdot (J_2^{(2)}-J_1^{(2)})+{\mathrm{\nabla }}_S{K}^{(2)}=-{\partial }_t{\eta }^{(1)}\end{array}$$

דוגמא - EQS

איור 1

נתון קבל המוזן ע"י מקור מתח בשני קצותיו (איור 1).

נתון כי $d<<L,W$ ולכן ניתן להזניח אפקטי שפה.

חשבו את השדות בקבל בקירוב הקוואזי סטטי (סדר 0,1,2).

נשים לב:

• השדות בחוץ הם אפס
• על המקורות אין תיקונים מסדר גבוה למתח

סדר 0 (איור 2)

איור 2

$$V(+)=V_0\cdot cos(\omega t)$$כאמור, בסדר 0 הזמן הוא "פרמטר" ואנו פותרים בעיה סטטית:

$${\overrightarrow{E}}^{(0)}=-\frac{V}{d}\hat{z}=-\frac{V_0}{d}cos(\omega t)\hat{z}$$נמצא תנאי שפה, עבור הלוח העליון (בלוח התחתון נקבל תוצאות זהות, עם סימן הפוך):

$${\eta }^{(0)}=\hat{z}\cdot (0-{ϵ}_0\frac{-V(t)}{d}\hat{z})={ϵ}_0\frac{V_0\cdot cos(\omega t)}{d}$$$$Q^{(0)}={\eta }^{(0)}\cdot LW={ϵ}_0\frac{V_{0}cos(\omega t)}{d}\cdot LW$$

תיקון סדר 1 - זרם דרך המקור (הדופן הלבנה)

נפעיל את חוק שימור מטען על הלוח העליון:

$$I_{out}^{(1)}=-\frac{\partial Q^{(0)}}{\partial t}=-\frac{\partial }{\partial t}({ϵ}_0\cdot \frac{LW}{d}\cdot V_0\cdot cos(\omega t))={ϵ}_0\cdot \omega \cdot \frac{LW}{d}\cdot V_0\cdot sin(\omega t)$$

מאחר והמקור מפולג באופן אחיד לאורך הדופן, הזרם זורם בו כזרם משטחי:

$${\overrightarrow{K}}^{(1)}\cdot (-\hat{z})\cdot L\cdot 2={ϵ}_0\cdot \omega \cdot \frac{LW}{d}\cdot V_0\cdot sin(\omega t)$$$${\overrightarrow{K}}^{(1)}=-{ϵ}_0\cdot \omega \cdot \frac{W}{2d}\cdot V_0\cdot sin(\omega t)\hat{z}$$$${\overrightarrow{K}}^{(1)}\hat{z}\cdot (-\hat{z})\cdot 2L={ϵ}_0\cdot \omega \cdot \frac{LW}{d}\cdot V_0\cdot sin(\omega t)$$

תיקון סדר 1 - שדה מגנטי (איור 3)

איור 3

מה כיוון $H^{(1)}$?

לפני תנאי השפה על הלוח העליון:

$$\hat{z}\times (0-\overrightarrow{H})=k\hat{x}\Rightarrow \overrightarrow{H}=H\hat{y}$$כדי לחשב את גודל הרכיב, נשתמש בחוק אמפר האינטגרלי (הלולאה מסומנת באיור (3)):

$$\oint H^{(1)}\cdot dl={ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}\iiint E^{(0)}\cdot \hat{n}ds+\underset{\text{all the passing current}}{\underbrace{\iint J^{(1)}\cdot \hat{n}ds}}$$אגף שמאל:

$$\oint H^{(1)}\cdot dl=H\cdot D$$אגף ימין:

$${ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}\iiint E^{(0)}\cdot \hat{n}ds+\iint J^{(1)}\cdot \hat{n}ds=\frac{\partial }{\partial t}(-\frac{V_{0}cos(\omega t)}{d}\cdot x\cdot D)+{ϵ}_0\omega \frac{W}{2d}{V}_{0}sin(\omega t)\cdot D$$ולכן:

איור 4

$${\overrightarrow{H}}^{(1)}(x)=\frac{{ϵ}_0{V}_0}{d}\omega \cdot sin(\omega t)(x-W/2)\hat{y}$$ קיבלנו אופיין לינארי, ניתן לראות שרטוט שלו באיור 4.

כעת ניתן גם לקבל ביטוי מסודר ל $\overrightarrow{K}$ על הלוח העליון, בעזרת תנאי השפה:

$$\overrightarrow{K}=\hat{z}\times (0-\frac{{ϵ}_0{V}_0}{d}\omega sin(\omega t)(x-W/2)\hat{y})=\frac{{ϵ}_0{V}_0}{d}\omega sin(\omega t)(x-W/2)\hat{x}$$

תיקון סדר 1 - צפיפות זרם משטחית - לוח עליון

עשינו מקודם

תיקון סדר 2 - שדה חשמלי (איור 5)

איור 5

אמרנו מקודם שאין תיקונים מסדר גבוה למתח, לכן:

$$V_{source}=-\int E^{(0)}dz=V_{0}cos(\omega t)$$

נשתמש ב:

$$\oint E^{(2)}\cdot dl=-{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}\iiint H^{(1)}\cdot \hat{n}ds$$

באגף שמאל נניח שהשדה החשמלי הוא בכיוון z:

$$\oint E^{(2)}\cdot dl=-E^{(2)}\cdot D$$אגף ימין:

$$-{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}\int \frac{{ϵ}_0{V}_0}{d}\omega sin(\omega t)(x-W/2)\hat{y}Ddy\cdot \hat{y}$$ולכן:

$$E^{(2)}=\frac{{\omega }^2}{2}cos(\omega t)\cdot \frac{{ϵ}_0{\mu }_0}{d}{V}_0(x^2-\omega x)\hat{z}$$

קיבלנו אופיין פרבולי. את התיקון של הסדר השני לשדה החשמלי ניתן לראות באיור 6, ואת השדה החשמלי הכולל באיור 7.

איור 6

איור 7

מתי הפיתרון תקף?

$$|E^{(2)}|/|E^{(0)}|<<1$$$$\frac{|{\omega }^{2}cos(\omega t)\frac{{ϵ}_0{\mu }_0{V}_0}{2d}(x^2-Wx)|}{|\frac{V_{0}cos(\omega t)}{d}|}<<1$$$$\Rightarrow {\omega }^2{ϵ}_0{\mu }_0\frac{W^2}{8}<<1\Rightarrow (\frac{\omega }{c}{)}^2<<\frac{8}{W^2}\Rightarrow W<<\sqrt{\frac{8}{(2\pi {)}^2}}\lambda$$