פרק 4 - עבודה ואנרגיה

אינטואיציה

מה ההספק שהמקור מספק בבעיה הזו?

$$P_{out}=v(t)\cdot i(t)=v(t)[i_L+i_C+i_R]=v(t)\cdot i_L+v(t)\cdot i_C+v(t)\cdot i_R=L\cdot \dot{i_L}\cdot i_L+v\cdot c\cdot \dot{v}+v\cdot \frac{v}{R}=\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}(L\cdot i_L^2)+\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}(C\cdot v^2)+\frac{v^2}{R}$$$$P_{out}=\frac{\partial }{\partial t}\underset{u_M}{\underbrace{(\frac{1}{2}L{i}_L^2)}}+\frac{\partial }{\partial t}\underset{u_E}{\underbrace{(\frac{1}{2}C{v}^2)}}+\underset{P_{\text{resistor loss}}}{\underbrace{\frac{v^2}{R}}}$$ולכן, שטף ההספק הנכנס למעגל:

$$P_{out}=\frac{\partial }{\partial t}(u_M+u_E)+\underset{>0}{\underbrace{P_{loss}}}$$חוקי שימור - חוק שימור המטען

$$\text{∯}\overrightarrow{J}\cdot \hat{n}ds==\frac{d}{dt}\iiint \rho dV$$

חוקי שימור - חוק שימור התנע

$$\overrightarrow{F}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}/\cdot \overrightarrow{p}$$$$\Rightarrow \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{p}=\overrightarrow{p}\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}$$התנע הוא $\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$, ולכן:

$$\overrightarrow{F}\cdot m\overrightarrow{v}=\frac{\partial }{\partial t}[(\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{p})/2]$$$$\int \overrightarrow{F}\overrightarrow{v}=\int \frac{\partial }{\partial t}\underset{\text{kinetic energy}}{\underbrace{(\frac{|p{|}^2}{2m})}}$$ולכן:

$$W=\int \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2m}(p_f^2-p_i^2)$$

כוח לורנץ

נניח כי יש מטען ρ, צפיפות זרם $\overrightarrow{J}=\rho \overrightarrow{v}$, ויש גם שדה חשמלי ומגנטי.

$$\underset{\text{lorentz force}}{\underbrace{p}}=\underset{\text{system}}{\underbrace{\iiint }}(\rho \overrightarrow{E}+\underset{\text{prependicular to }\overrightarrow{v}\Rightarrow =0}{\underbrace{{\mu }_0\rho \overrightarrow{v}\times \overrightarrow{H}}})\cdot \overrightarrow{v}dv=\iiint \overrightarrow{E}\cdot \rho \overrightarrow{v}dv=\iiint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{J}dv$$נשתמש בזהות:

$$\mathrm{\nabla }\cdot (E\times H)=H\cdot (\mathrm{\nabla }\times E)-E\cdot (\mathrm{\nabla }\times H)$$נציב ב $\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{J}$ את:

$$J=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}-{ϵ}_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$$ונקבל:

$$\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{J}=\overrightarrow{E}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}-{ϵ}_0\frac{\partial E}{\partial t})=-{ϵ}_0\overrightarrow{E}\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}+\overrightarrow{H}\cdot \underset{=-{\mu }_0\frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t}}{\underbrace{(\mathrm{\nabla }\times E)}}-\mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})=-{ϵ}_0\overrightarrow{E}\frac{\partial E}{\partial t}-{\mu }_0\overrightarrow{H}\frac{\partial H}{\partial t}-\mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})$$נציב את הביטוי, בתוך האינטגרל, ונקבל:

$$\iiint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{J}dV=\iiint [\frac{\partial }{\partial t}(-\frac{{ϵ}_0}{2}|E{|}^2-\frac{{\mu }_0}{2}|H{|}^2)-\mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})]dV$$