פרק 6 - משוואת לפלאס

בהרצאות הקודמות ראינו את החשיבות של פתרון הבעיה הסטטית כבסיס לכל בעית EQS.

הגדרת הבעיה

איור 1

את הפיתרון הפרטי למשוואת פואסון אנחנו כבר יודעים לחשב.

ולכן, כעת נשים דגש על פיתקון של משוואת לפלאס (איור 1):

$${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =0$$כלומר, ניתן לפתור בתחום שבו אין מטען ρ, או שנפתור פתרון פרטי והומוגני בנפרד.

משוואת לפלאס - תכונות הפתרון

עקרון המינמום / מקסימום: לפתרונות משוואת לפלאס אין נקודות קיצון מקומיות בתוך התחום.

אינטואיטיבית: אם קיים למשל מינימום, אז השדה בכל מקום מכוון אל המינימום.

במקרה כזה, חוק גאוס הוא:

$$\iint \overrightarrow{E}\cdot \hat{n}dS=Q_{in}$$ולכן יש מטען בנקודה, אבל $\varphi$ מקיים את משוואת לפלאס, כלומר הפוטנציאל הוא ללא מטענים בתחום! ולכן, לא יתכן שיש קיצון מקומי! (הטיעון תקף גם לנקודת מקסימום).

הערה: אם בכל זאת נרצה נימוק יותר ריגורוזי:

בנק' קיצון מקומית $\mathrm{\nabla }\varphi =0$. כדי שזה אכן יהיה קיצון, נרשום את מטריצת ההסיאן:

$$\overline{\overline{H}}=\left(\begin{array}{ccc}{\varphi }_{xx}& {\varphi }_{xy}& {\varphi }_{xz}\\ {\varphi }_{yx}& {\varphi }_{yy}& {\varphi }_{yz}\\ {\varphi }_{zx}& {\varphi }_{zy}& {\varphi }_{zz}\end{array}\right)$$ולהאסיאן זה צריכים להיות ערכים עצמיים שהם כולם חיוביים (נקודת מינימום) או כולם שליליים (נקודת מקסימום):

$$\sum _i{\lambda }_i=tr(\overline{\overline{H}})=\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial z}\underset{\text{Laplace}}{\underbrace{=}}0$$ולכן לא יכולות להיות נקודות קיצון.

מכאן נובע ש $\varphi$ מקבלת את ערכי הקיצון על השפה. ולכן אם $\varphi$ קבועה על השפה, אז היא חייבת להיות קבועה בכל התחום ומכך נבין כי השדה בתוך התחום יהיה אפס.

משוואת פואסון - תכונות הפתרון

יחידות הפתרון

נניח בשלילה שיש 2 פתרונות לבעיה ${\varphi }_1$, ${\varphi }_2$. נגדיר:

$${\varphi }_3\equiv {\varphi }_2-{\varphi }_1$$ולכן:

$${\mathrm{\nabla }}^2{\varphi }_3={\mathrm{\nabla }}^2{\varphi }_2-{\mathrm{\nabla }}^2{\varphi }_1=-\frac{\rho }{{ϵ}_0}-(-\frac{\rho }{{ϵ}_0})=0$$מה לגבי תנאי שפה?

$$\{\begin{array}{l}{\varphi }_3(r_{B,1})={\varphi }_2(r_{B,2})-{\varphi }_1(r_{B,1})={\varphi }_B-{\varphi }_B=0\\ \frac{\partial {\varphi }_3}{\partial n}{|}_{r_{B,2}}=...=0\end{array}$$המטרה: להראות ש ${\overrightarrow{E}}_3=-\mathrm{\nabla }{\varphi }_3=0$, ומכאן ינבע ש ${\overrightarrow{E}}_1={\overrightarrow{E}}_2$.

אם נצליח להראות שהאנרגיה שווה ל:

$$u_E=\underset{D}{\iiint }{ϵ}_0/2|{\overrightarrow{E}}_3{|}^{2}dV$$האגורה ב ${\overrightarrow{E}}_3$ מתאפסת ← ${\overrightarrow{E}}_3$ הוא אפס זהותית בכל התחום.

נרצה לקש את הביטוי ל $u_E$ ל ${\varphi }_3$ או ${\overrightarrow{E}}_3$ על השפה, כי אלו הנתונים שלנו.

נשתמש בזהות הוקטורית:$$\mathrm{\nabla }\cdot (\psi \overrightarrow{F})=\psi (\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F})+\mathrm{\nabla }\psi \overrightarrow{F}$$ונקבל:

$$\mathrm{\nabla }\cdot ({\varphi }_3{\overrightarrow{E}}_3)=\underset{=\frac{{\rho }_3}{{ϵ}_0}=0}{\underbrace{{\varphi }_3(\mathrm{\nabla }\cdot {\overrightarrow{E}}_3)}}+\underset{-|{\overrightarrow{E}}_3{|}^2}{\underbrace{\underset{-{\overrightarrow{E}}_3}{\underbrace{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{\varphi }_3}}\cdot {\overrightarrow{E}}_3}}$$$$\underset{D}{\iiint }{ϵ}_0/2|{\overrightarrow{E}}_3{|}^2=\underset{D}{\iiint }{ϵ}_0/2(-\mathrm{\nabla }\cdot ({\varphi }_3\cdot {\overrightarrow{E}}_3))dV=-{ϵ}_0/2\underset{S=\partial D}{\iint }{\varphi }_3{\overrightarrow{E}}_3\cdot \hat{n}dS$$בנקודה $r_{B,1}$ מתקיים ${\varphi }_3=0$

בנקודה $r_{B,2}$ מתקיים ${\overrightarrow{E}}_3\cdot \hat{n}=0$

ולכן האינטגרטור מתאפס בכל מקום על השפה:

$$\Rightarrow \int {ϵ}_0/2|E_3{|}^{2}dV=0\Rightarrow {\overrightarrow{E}}_3{|}_{\text{in all D}}=0$$בעזרת זהות זו ניתן גם לקשור את האנרגיה האגורה לפוטנציאל ולפילוג המטען אם הוא ידוע.

נניח D אינסופי, ואנו יודעים את פילוג המטען בכל מקום, והוא מוגבל לאזור סופי במרחב:

$$\underset{\text{All space}}{\iiint }{ϵ}_0/2|E{|}^2={ϵ}_0/2\iiint \varphi \underset{\frac{\rho }{{ϵ}_0}}{\underbrace{(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E})}}-\iiint \mathrm{\nabla }\cdot ({\varphi }_3{\overrightarrow{E}}_3)$$ממשפט הדיברגנץ נקבל:

$$\iiint {ϵ}_0/2|E{|}^{2}dV={ϵ}_0/2\iiint \varphi \frac{\rho }{{ϵ}_0}-\underset{\to 0\text{ as }V\to \mathrm{\infty }}{\underbrace{\underset{\partial r}{\iiint }{\varphi }_3{\overrightarrow{E}}_{3}dr}}$$ולכן:

$$\iiint {ϵ}_0/2|E{|}^{2}dV=1/2\iiint \rho dV\iiint \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\cdot \frac{\rho }{|r-r^{\prime }|}d{V}^{\prime }$$$$u_E=1/2\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\iint \frac{\rho (r)\rho (r^{\prime })}{|r-r^{\prime }|}dVd{V}^{\prime }$$

משפט הערך הממוצע (איור 2)

איור 2

$$\varphi (r)=\frac{1}{4\pi a^2}\underset{\text{sphere}}{\iint }\varphi (r^{\prime })d{S}^{\prime }$$נוכיח:

$$\varphi (r^{\prime })=\underset{{\varphi }_{\text{ in the center}}}{\underbrace{\varphi (r)}}+\underset{{\varphi }_{\text{boundry }}}{\underbrace{\int -\overrightarrow{E}(r^{″})d{r}^{{\text{'}}^{\prime }}\hat{r}}}$$$$\frac{1}{4\pi a^2}\underset{\text{sphere}}{\iint }\varphi (r^{\prime })d{S}^{\prime }=\frac{1}{4\pi a^2}\iint (\varphi (r)+\int -\overrightarrow{E}\cdot d{r}^{″}\hat{r})d{S}^{\prime }=\frac{1}{4\pi a^2}[\varphi (r)r\pi a^2-\int d{r}^{″}\underset{=0\text{ propotional to the flux of the field}}{\underbrace{\underset{\text{Sphere}}{\iint }\overrightarrow{E}(e)\cdot \hat{r}d{S}^{″}}}]=\varphi (r)$$

ייצוג נומרי מקורב למשוואת לפלאס

$${\varphi }_{xx}+{\varphi }_{yy}+{\varphi }_{zz}=0$$$$\{\begin{array}{l}\varphi (x+\mathrm{△}x,y,z)=\varphi (x,y,z)+\mathrm{△}x\cdot \frac{\partial \varphi }{\partial x}+\mathrm{△}{x}^{2}1/2(\frac{\partial \varphi }{\partial x}{)}^2+...\\ \varphi (x-\mathrm{△}x,y,z)=\varphi (x,y,z)-\mathrm{△}x\cdot \frac{\partial \varphi }{\partial x}+\mathrm{△}{x}^{2}1/2(\frac{\partial \varphi }{\partial x}{)}^2+...\\ \varphi (x,y+\mathrm{△}y,z)=\varphi (x,y,z)+\mathrm{△}y\cdot \frac{\partial \varphi }{\partial y}+\mathrm{△}{y}^{2}1/2(\frac{\partial \varphi }{\partial y}{)}^2+...\\ y-\mathrm{△}y...\\ z+\mathrm{△}z...\\ z-\mathrm{△}z...\end{array}$$נניח ש: $\mathrm{△}x=\mathrm{△}y=\mathrm{△}z\equiv \mathrm{△}$

בנוסף נניח ש $\mathrm{△}$ הוא ממש קטן, כך שקירוב סדר שני הוא מספיק.

נסכם:

$$\varphi (x+\mathrm{△})+\varphi (x-\mathrm{△})+\varphi (y+\mathrm{△})+\varphi (y-\mathrm{△})+\varphi (z+\mathrm{△})+\varphi (z-\mathrm{△})=6\varphi (x,y,z)+{\mathrm{△}}^2\underset{=0}{\underbrace{(\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial z^2})}}$$נחלק ב - 6 ונקבל:

$$\varphi (x,y,z)=1/6[\varphi (x+\mathrm{△})+\varphi (x-\mathrm{△})+\varphi (y+\mathrm{△})+\varphi (y-\mathrm{△})+\varphi (z+\mathrm{△})+\varphi (z-\mathrm{△})]$$כלומר, $\varphi$ בנקודה x,y,z שווה לממוצע של הערכים בנקודת הסריג שמקיפות את הנקודה.

פתרון בהפרדת משתנים

איור 3 - פתרון בהפרדת משתנים בקורדינטות שונות

טכניקת פתרון כאשר פותרים לפלס בתחום ספרבילי - תחום שאת כל השפות שלו ניתן לתאר כמשטחים שווי קורדינטה.

קורדינטות קרטזיות

משוואת לפלאס בקורדינטות אלו:$${\varphi }_{xx}+{\varphi }_{yy}+{\varphi }_{zz}=0$$פתרון בהפרדת משתנים:

$$\mathrm{\Phi }=X(x)Y(y)Z(z)$$נציב בלפלאס: $$X{X}^{″}YZ+X{Y}^{″}Z+XY{Z}^{″}=0$$נחלק ב XYZ, ונקבל:

$$\underset{=-k_x^2\text{ depends only on x}}{\underbrace{\frac{X^{″}}{X}}}+\underset{=-k_y^2\text{ depends only on y}}{\underbrace{\frac{Y^{″}}{Y}}}+\underset{=-k_z^2\text{ depends only on z}}{\underbrace{\frac{Z^{″}}{Z}}}=0$$$$\Rightarrow k_x^2+k_y^2+k_z^2=0$$מכאן, כל אחד משלושת המחברים חייב להיות פונקציה קבועה שאינה תלויה בקורדינטות.

הבעיה "מופרדת" ל-3 משוואות דיפרנציאליות רגילות:

$$(1)\frac{X^{″}}{X}=-k_x^2,(2)\frac{Y^{″}}{Y}=-k_y^2(3)\frac{Z^{″}}{Z}=-k_z^2$$

• הפיתרון הטריוויאלי:

$$k_x=k_y=k_z=0\Rightarrow X^{″}=0,Y^{″}=0,Z^{″}=0$$$$\Rightarrow \varphi =(Ax+B)(Cy+D)(Ez+F)$$

• במקרה הכללי:

$$\frac{X^{″}}{X}=-k_x^2\Rightarrow X^{″}+k_x^{2}X=0$$נחלק לשני מקרים:

$k_x^2>0$	$k_x^2<0$
$X=A\sin (k_{x}x)+B\cos (k_{x}x)$	$X=A\cdot e^{{\tilde{k}}_{x}x}+B\cdot e^{-{\tilde{k}}_{x}x}$

כאשר $k_x\equiv i{\tilde{k}}_x$.

באופן כללי, תמיד ניתן לרשום:

$$\varphi =(A\cos (k_{x}x)+B\sin (k_{x}x))\cdot (C\cos (k_{y}y)+D\sin (k_{y}y))\cdot (E\cos (k_{z}z)+F\sin (k_{z}z))$$מכיוון ש $k_x^2+k_y^2+k_z^2=0$ , חלקם צריכים להיות מדומים.

אופציה נוספת: לכתוב חלק מהפתקונות כפונקציות טריגונומטריות וחלק כאקספוננציאליות, כך ש:

$$\underset{\text{Trigonometric}}{\underbrace{\sum _i{k}_i}}=\underset{\text{Exponential}}{\underbrace{\sum _i{\tilde{k}}_i}}$$

קורדינטות קרטזיות - דוגמא 1 (איור 4)

איור 4

• הפוטנציאל בין לוחות הקבל מקיים ${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =0$
• התחום ספירבילי
• תנאי שפה: $\varphi (z=0)=0,\varphi (z=d)=V$

מאחר וערך הפוטנציאל קבוע על משטחים שווי z:

$$\varphi =(Ez+F)\cdot (Ax+B)\cdot (Cy+D)$$נציב תנאי שפה:

$$\varphi (z=0)=F=0,\varphi (z=d)=Ed=V$$$$\Rightarrow \varphi =\frac{V}{d}\cdot z\Rightarrow \overrightarrow{E}=-\mathrm{\nabla }\varphi =-\frac{V}{d}\hat{z}$$

קורדינטות קרטזיות - דוגמא 2 (איור 5)

איור 5

• מה הפוטנציאל בתוך התחום
• המבנה אינסופי בכיוון z ← $k_z=0$.

הפוטנציאל פותר את משוואת לפלאס בתחום:

$$\{\begin{array}{l}\text{No charge: }\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}=\frac{\rho }{{ϵ}_0}=0\\ \text{Static problem: }\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}={\mu }_0\frac{\partial H}{\partial t}=0\Rightarrow \overrightarrow{E}=-\mathrm{\nabla }\varphi \end{array}$$תנאי שפה:

$$\{\begin{array}{l}\varphi (x=0)=\varphi (x=d)=0\\ \varphi (y=0)=0\\ \varphi (y=a)=V(x)\end{array}$$$$k_x^2+k_y^2=0\Rightarrow |k_x|=|k_y|\equiv k$$ולכן נכתוב את הפיתרון כך:

$$\varphi =(A\sin (kx)+B\cos (kx))\cdot (C\sinh (ky)+D\cosh (ky))$$נציב בתנאי שפה:

$$\{\begin{array}{l}\varphi (x=0)=B\cdot f(y)=0\Rightarrow B=0\\ \varphi (x=d)=A\sin (kd)\cdot f(y)=0\Rightarrow \sin (kd)=0\Rightarrow k=\frac{\pi n}{d},n\in \mathbb{\mathbb{N}}\\ \varphi (y=0)=g(x)\cdot D=0\Rightarrow D=0\end{array}$$עד כה, את הפיתרון ניתן לייצג באופן הבא:

$$\varphi =\sum _n{\tilde{A}}_n\sin (\frac{\pi n}{d}x)\underset{\text{Constant}}{\underbrace{\sinh (\frac{\pi na}{d})}}=V(x)$$ניתן לכתוב לפיכך:

$$\varphi =\sum _n{\tilde{B}}_n\sin (\frac{\pi n}{d}x),{\tilde{B}}_n\equiv {\tilde{A}}_n\sinh (\frac{\pi na}{d})$$הערות:

1. הטור הוא מייצג של פיתוח של פונקציות מחזוריות. נשאלת השאלה - אז איזו פונקציה אנחנו מפתחים לטור?
2. מה המחזור של הפונקציה שמיוצגת על ידי הטור הנתון?

המחזור הכי גדול הוא של האיבר הראשון $\sin (\frac{\pi x}{d})$, שהמחזור שלו הוא 2d. נסיק כי המחזור של הפונקציה הוא 2d.

לפונקציה המחזורית המלאה נקרא $\tilde{V}(x)$.

בתחום $0<x<d$ מתקיים: $\tilde{V}(x)=V(x)$.

עכשיו רק נותר למצוא את המקדמים בפיתוח של $\tilde{V}(x)$ לטור הסינוסים:

$$\tilde{V}(x)=\sum _n{B}_n\sin (\frac{\pi n}{d}x)\text{ (*)}$$נשתמש בפונקציה $V(x)=V_0$:

נכפול את הביטוי (*) ב $\underset{-d}{\overset{d}{\int }}\sin (\frac{\pi }{d}mx)dx$:

$$\underset{-d}{\overset{d}{\int }}\sum _n{\tilde{B}}_n\sin (\frac{\pi }{d}nx)\sin (\frac{\pi }{d}mx)dx=\underset{-d}{\overset{d}{\int }}\sin (\frac{\pi }{d}mx)\cdot \tilde{V}(x)dx$$מאורתוגונליות:

$${\tilde{B}}_m\underset{-d}{\overset{d}{\int }}{\sin }^2(mx)\cdot \frac{\pi }{d}dx=2\underset{0}{\overset{d}{\int }}{V}_0\sin (\frac{\pi }{d}mx)dx$$נקבל:

איור 6

$${\tilde{B}}_m\cdot d=2\underset{0}{\overset{d}{\int }}{V}_0\sin (mx\cdot \frac{\pi }{d})dx$$$$\Rightarrow {\tilde{B}}_m=\frac{4V_{0}d}{\pi m}\cdot \{\begin{array}{ll}0,& \text{if }m\text{ is even}\\ 1,& \text{if }m\text{ is odd}\end{array}$$$$\Rightarrow \varphi =\sum _n\frac{8V_0}{(2n-1)\pi }\cdot \frac{1}{\sinh (\frac{\pi a}{d}\cdot (2n-1))}\cdot \sin (\frac{(2n-1)\cdot \pi x}{d})\cdot \sinh (\frac{(2n-1)\pi }{d}y)$$$$\Rightarrow \overrightarrow{E}=-\mathrm{\nabla }\varphi =\sum _n\frac{-8V_0}{d\sinh (\frac{(2n-1)\pi a}{d})}[\cos (\frac{(2n-1)\pi x}{d})\cdot \sinh (\frac{(2n-1)\pi y}{d})\hat{x}+\sin (\frac{(2n-1)\pi x}{d})\cdot \cosh (\frac{(2n-1)\pi y}{d})\hat{y}]$$

איור 7 - תרשים שדה

מה הקיבול?

איור 8

כדי לחשב את הקיבול, נחשב את סף המטען על האלקטרודה $V(x)$.

$$\eta =\hat{y}\cdot ({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_{up}-{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_{down})=-2\hat{y}\cdot {ϵ}_0\cdot {\overrightarrow{E}}_{down}{|}_{\text{middle board}}=-2{ϵ}_0(-\frac{\partial \varphi }{\partial y}){|}_{y=a}=\sum _n\frac{-8V_0{ϵ}_0}{d}\cdot (-2)\cdot \coth (\frac{(2n-1)\pi a}{d})\cdot \sin (\frac{(2n-1)\pi x}{d})$$נחשב את סך המטען:

$$Q=\underset{0}{\overset{d}{\int }}\eta dx=\sum _n\frac{32V_0{ϵ}_0}{2n-1}\coth (\frac{(2n-1)\pi a}{d})$$אך זה מתבדר בגלל אי הרציפות של הפוטנציאל.

בבעיה אמיתית ניתן להניח שהשינוי של הפוטנציאל ב - δ (איור 8) הוא לינארי.

איור 9 - גרף מקורב לקיבול