פרק 6 - משוואת לפלאס

בהרצאות הקודמות ראינו את החשיבות של פתרון הבעיה הסטטית כבסיס לכל בעית EQS.

הגדרת הבעיה

איור 1

את הפיתרון הפרטי למשוואת פואסון אנחנו כבר יודעים לחשב. נביט בתחום כלשהו ${𝒟}$, בו קיימים מטענים שצפיפותם $\rho$ (איור 1). תנאי השפה יכולים להיות להיות באופן כללי נתונים כתנאי שפה דיריכלה על חלק מהשפה, ותנאי שפה נוימן על החלק האחר, ובלבד שמוגדרים על פני כל השפה. ולכן, התאור המלא של הבעיה נתון על ידי משוואות פואסון, ותנאי השפה שהיא צריכה לקיים. באופן כללי, תנאי השפה יכול להיות כזה שעל חלק מהשפה (נכנה את הנקודות האלו $r_{B,1}$, קו שחור באיור 1) נתון תנאי שפה דיריכלה, ועל חלקה (נכנה אותן $r_{B,2}$, קו צהוב באיור 1) תנאי נוימן. $${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =-\frac{\rho }{{ϵ}_0}$$
$$\varphi (r_{B,1})=f(r_{B,1})$$
$${\frac{\partial \varphi (r_{B,2})}{\partial n}}_{r=r_{B,2}}=g(r_{B,2})$$

כפי שכבר ראינו (לדוגמא בשיטת השיקופים), את הפתרון ניתן לפרק לסכום של פתרון פרטי (הנובע מפילוג המטען הנתון, אך לאו דווקא מקיים את תנאי השפה הדרושים) אותו ניתן לקבל באמצעות סופרפוזיציה, ופתרון הומוגני (פתרון ללא מקורות). $$\varphi ={\varphi }_p+{\varphi }_h$$
כאשר הפתרון ההומוגני מקיים את המשוואה ללא המקורות - משוואת לפלאס ${\mathrm{\nabla }}^2{\varphi }_h=0$.

תכונות הפתרון

עקרון המינימום / מקסימום

עקרון זה קובע כי לפתרונות משוואת לפלאס אין נקודות קיצון מקומיות בתוך התחום.

אינטואיטיבית: אם קיים למשל מינימום, אז השדה בסביבה כלשהו של נקודת המינימום בפוטנציאל יהיה מכוון אל המינימום. במקרה כזה, אם נבנה מעטפת קטנה סביב הנקודה, ונשתמש בחוק גאוס

$$\iint \overrightarrow{E}\cdot \hat{n}dS=Q_{in}$$

ולכן חייב להיות מטען בנקודה. אבל $\varphi$ מקיים את משוואת לפלאס, כלומר הפוטנציאל הוא ללא מטענים בתחום, ולכן, לא יתכן שיש קיצון מקומי. (הטיעון תקף גם לנקודת מקסימום).

באופן ריגורוזי יותר, בנק' קיצון מקומית $\mathrm{\nabla }\varphi =0$. כדי שזה אכן יהיה קיצון, נרשום את מטריצת ההסיאן:

$$\overline{\overline{H}}=\left(\begin{array}{ccc}{\varphi }_{xx}& {\varphi }_{xy}& {\varphi }_{xz}\\ {\varphi }_{yx}& {\varphi }_{yy}& {\varphi }_{yz}\\ {\varphi }_{zx}& {\varphi }_{zy}& {\varphi }_{zz}\end{array}\right)$$
ולהאסיאן זה צריכים להיות ערכים עצמיים שהם כולם חיוביים (נקודת מינימום) או כולם שליליים (נקודת מקסימום):

$$\sum _i{\lambda }_i=tr(\overline{\overline{H}})=\frac{{\partial }^2\varphi }{{\partial }^{2}x}+\frac{{\partial }^2\varphi }{{\partial }^{2}y}+\frac{{\partial }^2\varphi }{{\partial }^{2}z}\underset{\text{Laplace}}{\underbrace{=}}0$$ולכן לא יכולות להיות נקודות קיצון.

מכאן נובע ש $\varphi$ מקבלת את ערכי הקיצון שלה על השפה. אחת המסקנות מכאן היא שאם $\varphi$ קבועה על השפה, אז היא חייבת להיות קבועה בכל התחום ומכך נבין כי השדה בתוך התחום יהיה אפס.

יחידות הפתרון (פואסון)

נניח בשלילה שיש 2 פתרונות לבעיה ${\varphi }_1$, ${\varphi }_2$. נגדיר:

$${\varphi }_3\equiv {\varphi }_2-{\varphi }_1$$ ולכן:

$${\mathrm{\nabla }}^2{\varphi }_3={\mathrm{\nabla }}^2{\varphi }_2-{\mathrm{\nabla }}^2{\varphi }_1=-\frac{\rho }{{ϵ}_0}-(-\frac{\rho }{{ϵ}_0})=0$$ מה לגבי תנאי שפה?

$$\{\begin{array}{l}{\varphi }_3(r_{B,1})={\varphi }_2(r_{B,1})-{\varphi }_1(r_{B,1})=0\\ {\frac{\partial {\varphi }_3}{\partial n}|}_{r_{B,2}}=...=0\end{array}$$ המטרה: להראות ש ${\overrightarrow{E}}_3=-\mathrm{\nabla }{\varphi }_3=0$, ומכאן ינבע ש ${\overrightarrow{E}}_1={\overrightarrow{E}}_2$.

אם נצליח להראות שהאנרגיה האגורה ב ${\overrightarrow{E}}_3$ מתאפסת נוכל להסיק ש-${\overrightarrow{E}}_3$ הוא אפס זהותית בכל התחום. האנרגיה החשמלית האגורה בתחום היא:

$$u_E=\underset{D}{\iiint }\frac{{ϵ}_0}{2}|{\overrightarrow{E}}_3{|}^{2}dV$$

נרצה לקשר את הביטוי ל $u_E$ לערכי ${\varphi }_3$ או ${\overrightarrow{E}}_3$ על השפה, על מנת להעזר בתנאי השפה הנתונים לנו.

נשתמש בזהות הוקטורית: $$\mathrm{\nabla }\cdot (\psi \overrightarrow{F})=\psi (\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F})+\mathrm{\nabla }\psi \overrightarrow{F}$$ ונקבל:

$$\mathrm{\nabla }\cdot ({\varphi }_3{\overrightarrow{E}}_3)=\underset{=\frac{{\rho }_3}{{ϵ}_0}=0}{\underbrace{{\varphi }_3(\mathrm{\nabla }\cdot {\overrightarrow{E}}_3)}}+\underset{-|{\overrightarrow{E}}_3{|}^2}{\underbrace{\underset{-{\overrightarrow{E}}_3}{\underbrace{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{\varphi }_3}}\cdot {\overrightarrow{E}}_3}}$$ כעת נציב זאת בביטוי לאנרגיה האגורה $$\underset{D}{\iiint }\frac{{ϵ}_0}{2}|{\overrightarrow{E}}_3{|}^2=\underset{D}{\iiint }\frac{{ϵ}_0}{2}(-\mathrm{\nabla }\cdot ({\varphi }_3\cdot {\overrightarrow{E}}_3))dV=-\frac{{ϵ}_0}{2}\underset{S=\partial D}{\iint }{\varphi }_3{\overrightarrow{E}}_3\cdot \hat{n}dS$$ בנקודה $r_{B,1}$ מתקיים ${\varphi }_3=0$

בנקודה $r_{B,2}$ מתקיים ${\overrightarrow{E}}_3\cdot \hat{n}=0$

ולכן האינטגרנד מתאפס בכל מקום על השפה:

$$\Rightarrow \int \frac{{ϵ}_0}{2}|E_3{|}^{2}dV=0\Rightarrow {\overrightarrow{E}}_3{|}_{\text{in all D}}=0$$ בעזרת זהות זו ניתן גם לקשור את האנרגיה האגורה לפוטנציאל ולפילוג המטען אם הוא ידוע. נניח ${𝒟}$ אינסופי, ואנו יודעים את פילוג המטען בכל מקום, והוא מוגבל לאזור סופי במרחב:

$$\underset{\text{All space}}{\iiint }\frac{{ϵ}_0}{2}|E{|}^2=\frac{{ϵ}_0}{2}\iiint \varphi \underset{\frac{\rho }{{ϵ}_0}}{\underbrace{(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E})}}-\frac{{ϵ}_0}{2}\iiint \mathrm{\nabla }\cdot ({\varphi }_3{\overrightarrow{E}}_3)$$ממשפט הדיברגנץ נקבל:

$$\iiint \frac{{ϵ}_0}{2}|E{|}^{2}dV=\frac{{ϵ}_0}{2}\iiint \varphi \frac{\rho }{{ϵ}_0}-\frac{{ϵ}_0}{2}\underset{\to 0\text{ as }V\to \mathrm{\infty }}{\underbrace{{\oint }_{\partial {𝒟}}{\varphi }_3{\overrightarrow{E}}_{3}dr}}$$ולכן:

$$\iiint \frac{{ϵ}_0}{2}|E{|}^{2}dV=\frac{1}{2}\iiint \rho dV\iiint \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\cdot \frac{\rho }{|r-r^{\prime }|}d{V}^{\prime }$$
$$\Rightarrow u_E=\frac{1}{2}\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\iiint \iiint \frac{\rho (r)\rho (r^{\prime })}{|r-r^{\prime }|}dVd{V}^{\prime }$$

משפט הערך הממוצע

משפט הערך הממוצע אומר שכל פתרון למשוואת לפלס בנקודה מסוימת שווה לממוצע ערכי הפתרון על כדור שהנקודה נמצאת במרכזו (איור 2).

איור 2

$$\varphi (r)=\frac{1}{4\pi a^2}\underset{\text{sphere}}{\iint }\varphi (r^{\prime })d{S}^{\prime }$$

את הפוטנציאל על שפת הכדור ניתן לרשום ע"י $$\varphi (r^{\prime })=\varphi (r)+(-\underset{r}{\overset{r^{\prime }}{\int }}\overrightarrow{E}\cdot \hat{R}dR)$$ כאשר את האינטגרציה בחרנו לעשות בכיוון הרדיאלי. מאחר והשדה משמר, אנו רשאים לבחור את מסלול האינטגרציה כרצוננו. כעת, נציב בחישוב הערך הממוצע

$$\frac{1}{4\pi a^2}\underset{\text{sphere}}{\iint }\varphi (r^{\prime })d{S}^{\prime }=$$ $$=\frac{1}{4\pi a^2}\underset{\text{sphere}}{\iint }[\varphi (r)+(-\underset{r}{\overset{r^{\prime }}{\int }}\overrightarrow{E}\cdot \hat{R}dR)]d{S}^{\prime }=$$ נחליף את סדר האינטגרציה $$=\varphi (r)-\underset{r}{\overset{r^{\prime }}{\int }}dR\left[\underset{=0\text{ propotional to the flux of the field}}{\underbrace{\underset{\text{Sphere}}{\iint }\overrightarrow{E}\cdot \hat{R}d{S}^{\prime }}}\right]=\varphi (r)$$

ייצוג נומרי מקורב למשוואת לפלאס

$${\varphi }_{xx}+{\varphi }_{yy}+{\varphi }_{zz}=0$$$$\{\begin{array}{l}\varphi (x+\mathrm{△}x,y,z)=\varphi (x,y,z)+\mathrm{△}x\cdot \frac{\partial \varphi }{\partial x}+\mathrm{△}{x}^{2}1/2(\frac{\partial \varphi }{\partial x}{)}^2+...\\ \varphi (x-\mathrm{△}x,y,z)=\varphi (x,y,z)-\mathrm{△}x\cdot \frac{\partial \varphi }{\partial x}+\mathrm{△}{x}^{2}1/2(\frac{\partial \varphi }{\partial x}{)}^2+...\\ \varphi (x,y+\mathrm{△}y,z)=\varphi (x,y,z)+\mathrm{△}y\cdot \frac{\partial \varphi }{\partial y}+\mathrm{△}{y}^{2}1/2(\frac{\partial \varphi }{\partial y}{)}^2+...\\ y-\mathrm{△}y...\\ z+\mathrm{△}z...\\ z-\mathrm{△}z...\end{array}$$נניח ש: $\mathrm{△}x=\mathrm{△}y=\mathrm{△}z\equiv \mathrm{△}$

בנוסף נניח ש $\mathrm{△}$ הוא ממש קטן, כך שקירוב סדר שני הוא מספיק.

נסכם:

$$\varphi (x+\mathrm{△})+\varphi (x-\mathrm{△})+\varphi (y+\mathrm{△})+\varphi (y-\mathrm{△})+\varphi (z+\mathrm{△})+\varphi (z-\mathrm{△})=6\varphi (x,y,z)+{\mathrm{△}}^2\underset{=0}{\underbrace{(\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial z^2})}}$$נחלק ב - 6 ונקבל:

$$\varphi (x,y,z)=1/6[\varphi (x+\mathrm{△})+\varphi (x-\mathrm{△})+\varphi (y+\mathrm{△})+\varphi (y-\mathrm{△})+\varphi (z+\mathrm{△})+\varphi (z-\mathrm{△})]$$כלומר, $\varphi$ בנקודה x,y,z שווה לממוצע של הערכים בנקודת הסריג שמקיפות את הנקודה.

פתרון בהפרדת משתנים

איור 3 - פתרון בהפרדת משתנים בקורדינטות שונות

טכניקת פתרון כאשר פותרים לפלס בתחום ספרבילי - תחום שאת כל השפות שלו ניתן לתאר כמשטחים שווי קורדינטה.

קורדינטות קרטזיות

משוואת לפלאס בקורדינטות אלו:$${\varphi }_{xx}+{\varphi }_{yy}+{\varphi }_{zz}=0$$פתרון בהפרדת משתנים:

$$\mathrm{\Phi }=X(x)Y(y)Z(z)$$נציב בלפלאס: $$X{X}^{″}YZ+X{Y}^{″}Z+XY{Z}^{″}=0$$נחלק ב XYZ, ונקבל:

$$\underset{=-k_x^2\text{ depends only on x}}{\underbrace{\frac{X^{″}}{X}}}+\underset{=-k_y^2\text{ depends only on y}}{\underbrace{\frac{Y^{″}}{Y}}}+\underset{=-k_z^2\text{ depends only on z}}{\underbrace{\frac{Z^{″}}{Z}}}=0$$$$\Rightarrow k_x^2+k_y^2+k_z^2=0$$מכאן, כל אחד משלושת המחברים חייב להיות פונקציה קבועה שאינה תלויה בקורדינטות.

הבעיה "מופרדת" ל-3 משוואות דיפרנציאליות רגילות:

$$(1)\frac{X^{″}}{X}=-k_x^2,(2)\frac{Y^{″}}{Y}=-k_y^2(3)\frac{Z^{″}}{Z}=-k_z^2$$

• הפיתרון הטריוויאלי:

$$k_x=k_y=k_z=0\Rightarrow X^{″}=0,Y^{″}=0,Z^{″}=0$$$$\Rightarrow \varphi =(Ax+B)(Cy+D)(Ez+F)$$

• במקרה הכללי:

$$\frac{X^{″}}{X}=-k_x^2\Rightarrow X^{″}+k_x^{2}X=0$$נחלק לשני מקרים:

$k_x^2>0$	$k_x^2<0$
$X=A\sin (k_{x}x)+B\cos (k_{x}x)$	$X=A\cdot e^{{\tilde{k}}_{x}x}+B\cdot e^{-{\tilde{k}}_{x}x}$

כאשר $k_x\equiv i{\tilde{k}}_x$.

באופן כללי, תמיד ניתן לרשום:

$$\varphi =(A\cos (k_{x}x)+B\sin (k_{x}x))\cdot (C\cos (k_{y}y)+D\sin (k_{y}y))\cdot (E\cos (k_{z}z)+F\sin (k_{z}z))$$מכיוון ש $k_x^2+k_y^2+k_z^2=0$ , חלקם צריכים להיות מדומים.

אופציה נוספת: לכתוב חלק מהפתקונות כפונקציות טריגונומטריות וחלק כאקספוננציאליות, כך ש:

$$\underset{\text{Trigonometric}}{\underbrace{\sum _i{k}_i}}=\underset{\text{Exponential}}{\underbrace{\sum _i{\tilde{k}}_i}}$$

קורדינטות קרטזיות - דוגמא 1 (איור 4)

איור 4

• הפוטנציאל בין לוחות הקבל מקיים ${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =0$
• התחום ספירבילי
• תנאי שפה: $\varphi (z=0)=0,\varphi (z=d)=V$

מאחר וערך הפוטנציאל קבוע על משטחים שווי z:

$$\varphi =(Ez+F)\cdot (Ax+B)\cdot (Cy+D)$$נציב תנאי שפה:

$$\varphi (z=0)=F=0,\varphi (z=d)=Ed=V$$$$\Rightarrow \varphi =\frac{V}{d}\cdot z\Rightarrow \overrightarrow{E}=-\mathrm{\nabla }\varphi =-\frac{V}{d}\hat{z}$$

קורדינטות קרטזיות - דוגמא 2 (איור 5)

איור 5

• מה הפוטנציאל בתוך התחום
• המבנה אינסופי בכיוון z ← $k_z=0$.

הפוטנציאל פותר את משוואת לפלאס בתחום:

$$\{\begin{array}{l}\text{No charge: }\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}=\frac{\rho }{{ϵ}_0}=0\\ \text{Static problem: }\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}={\mu }_0\frac{\partial H}{\partial t}=0\Rightarrow \overrightarrow{E}=-\mathrm{\nabla }\varphi \end{array}$$תנאי שפה:

$$\{\begin{array}{l}\varphi (x=0)=\varphi (x=d)=0\\ \varphi (y=0)=0\\ \varphi (y=a)=V(x)\end{array}$$$$k_x^2+k_y^2=0\Rightarrow |k_x|=|k_y|\equiv k$$ולכן נכתוב את הפיתרון כך:

$$\varphi =(A\sin (kx)+B\cos (kx))\cdot (C\sinh (ky)+D\cosh (ky))$$נציב בתנאי שפה:

$$\{\begin{array}{l}\varphi (x=0)=B\cdot f(y)=0\Rightarrow B=0\\ \varphi (x=d)=A\sin (kd)\cdot f(y)=0\Rightarrow \sin (kd)=0\Rightarrow k=\frac{\pi n}{d},n\in \mathbb{\mathbb{N}}\\ \varphi (y=0)=g(x)\cdot D=0\Rightarrow D=0\end{array}$$עד כה, את הפיתרון ניתן לייצג באופן הבא:

$$\varphi =\sum _n{\tilde{A}}_n\sin (\frac{\pi n}{d}x)\underset{\text{Constant}}{\underbrace{\sinh (\frac{\pi na}{d})}}=V(x)$$ניתן לכתוב לפיכך:

$$\varphi =\sum _n{\tilde{B}}_n\sin (\frac{\pi n}{d}x),{\tilde{B}}_n\equiv {\tilde{A}}_n\sinh (\frac{\pi na}{d})$$הערות:

1. הטור הוא מייצג של פיתוח של פונקציות מחזוריות. נשאלת השאלה - אז איזו פונקציה אנחנו מפתחים לטור?
2. מה המחזור של הפונקציה שמיוצגת על ידי הטור הנתון?

המחזור הכי גדול הוא של האיבר הראשון $\sin (\frac{\pi x}{d})$, שהמחזור שלו הוא 2d. נסיק כי המחזור של הפונקציה הוא 2d.

לפונקציה המחזורית המלאה נקרא $\tilde{V}(x)$.

בתחום $0<x<d$ מתקיים: $\tilde{V}(x)=V(x)$.

עכשיו רק נותר למצוא את המקדמים בפיתוח של $\tilde{V}(x)$ לטור הסינוסים:

$$\tilde{V}(x)=\sum _n{B}_n\sin (\frac{\pi n}{d}x)\text{ (*)}$$נשתמש בפונקציה $V(x)=V_0$:

נכפול את הביטוי (*) ב $\underset{-d}{\overset{d}{\int }}\sin (\frac{\pi }{d}mx)dx$:

$$\underset{-d}{\overset{d}{\int }}\sum _n{\tilde{B}}_n\sin (\frac{\pi }{d}nx)\sin (\frac{\pi }{d}mx)dx=\underset{-d}{\overset{d}{\int }}\sin (\frac{\pi }{d}mx)\cdot \tilde{V}(x)dx$$מאורתוגונליות:

$${\tilde{B}}_m\underset{-d}{\overset{d}{\int }}{\sin }^2(mx)\cdot \frac{\pi }{d}dx=2\underset{0}{\overset{d}{\int }}{V}_0\sin (\frac{\pi }{d}mx)dx$$נקבל:

איור 6

$${\tilde{B}}_m\cdot d=2\underset{0}{\overset{d}{\int }}{V}_0\sin (mx\cdot \frac{\pi }{d})dx$$$$\Rightarrow {\tilde{B}}_m=\frac{4V_{0}d}{\pi m}\cdot \{\begin{array}{ll}0,& \text{if }m\text{ is even}\\ 1,& \text{if }m\text{ is odd}\end{array}$$$$\Rightarrow \varphi =\sum _n\frac{8V_0}{(2n-1)\pi }\cdot \frac{1}{\sinh (\frac{\pi a}{d}\cdot (2n-1))}\cdot \sin (\frac{(2n-1)\cdot \pi x}{d})\cdot \sinh (\frac{(2n-1)\pi }{d}y)$$$$\Rightarrow \overrightarrow{E}=-\mathrm{\nabla }\varphi =\sum _n\frac{-8V_0}{d\sinh (\frac{(2n-1)\pi a}{d})}[\cos (\frac{(2n-1)\pi x}{d})\cdot \sinh (\frac{(2n-1)\pi y}{d})\hat{x}+\sin (\frac{(2n-1)\pi x}{d})\cdot \cosh (\frac{(2n-1)\pi y}{d})\hat{y}]$$

איור 7 - תרשים שדה

מה הקיבול?

איור 8

כדי לחשב את הקיבול, נחשב את סף המטען על האלקטרודה $V(x)$.

$$\eta =\hat{y}\cdot ({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_{up}-{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_{down})=-2\hat{y}\cdot {ϵ}_0\cdot {\overrightarrow{E}}_{down}{|}_{\text{middle board}}=-2{ϵ}_0(-\frac{\partial \varphi }{\partial y}){|}_{y=a}=...$$$$...=\sum _n\frac{-8V_0{ϵ}_0}{d}\cdot (-2)\cdot \coth (\frac{(2n-1)\pi a}{d})\cdot \sin (\frac{(2n-1)\pi x}{d})$$נחשב את סך המטען:

$$Q=\underset{0}{\overset{d}{\int }}\eta dx=\sum _n\frac{32V_0{ϵ}_0}{2n-1}\coth (\frac{(2n-1)\pi a}{d})$$אך זה מתבדר בגלל אי הרציפות של הפוטנציאל.

בבעיה אמיתית ניתן להניח שהשינוי של הפוטנציאל ב - δ (איור 8) הוא לינארי.

איור 9 - גרף מקורב לקיבול