פרק 10 - שדות חשמליים בחומר

שדות חשמליים בחומר

חומרים מוליכים

בחומרים מוליכים בעלי פילוג מטען ρ וחלקיקים הנעים במהירות $\overrightarrow{v}(\overrightarrow{r})$, ניתן לרשום ביטוי לצפיפות הזרם:$$\overrightarrow{J}=\rho (r)\cdot \overrightarrow{v}(r)=n\cdot q\cdot \overrightarrow{v}(r)$$כאשר $n$ היא צפיפות החלקיקים נושאי המטען ליח' נפח ו-$q$ מטענו של כל חלקיק.

כאשר יש יותר מסוג אחד של חלקיקים:$$\overrightarrow{J}=\rho (r)\cdot \overrightarrow{v}(r)=n_1\cdot q_1\cdot {\overrightarrow{v}}_1+n_2\cdot q_2\cdot {\overrightarrow{v}}_2$$אם יש יותר מ-2 סוגים:$$\overrightarrow{J}=\sum n_k\cdot q_k\cdot {\overrightarrow{v}}_k$$

מודל Drude

במודל דרודה, מסתכלים על מטענים אשר חופשיים לנוע בתגובה להפעלת שדה חשמלי חיצוני $\overrightarrow{E}$. במצב זה, ניתן לכתוב את החוק השני בצורה הבאה:$$m\cdot \dot{\overrightarrow{v}}=q\overrightarrow{E}-\nu \overrightarrow{v}$$כאשר $\nu$ הינו מקדם החיכוך האפקטיבי.

כשהמערכת מתייצבת, $\dot{\overrightarrow{v}}=0$ ואז ניתן לרשום:$$q\overrightarrow{E}=\nu \overrightarrow{v}\Rightarrow \overrightarrow{v}=\frac{q}{\nu }\overrightarrow{E}={\overrightarrow{v}}_d$$כאשר ${\overrightarrow{v}}_d$ מוגדרת להיות המהירות בשיווי משקל (drift velocity).

מקובל לסמן $\mu =\frac{q}{\nu }$ - מוביליות נושאי המטען.

אם נציב את הביטוי ל-${\overrightarrow{v}}_d$ במשוואה המתארת את צפיפות הזרם, נקבל:$$\overrightarrow{J}=\sum n_k\cdot q_k\cdot {\overrightarrow{v}}_k=\sum n_k\cdot q_k\cdot \frac{q_k}{{\nu }_k}\overrightarrow{E}=[\sum n_k\cdot \frac{q_k^2}{{\nu }_k}]\overrightarrow{E}=\sigma \overrightarrow{E}$$כלומר, קיבלנו מתוך מודל דרודה את חוק אוהם, כאשר $\sigma$ המוליכות הסגולית.

פולריזציה

כאשר מופעל שדה חיצוני, הוא "מעוות" את ענן האלקטרונים (פונקציית הגל). המיקום הממוצע של האלקטרונים הנתון על ידי הביטוי:$$\int \overrightarrow{r}\psi (r,t)\cdot {\psi }^{*}(r,t)dr$$בהפעלת השדה, המיקום הממוצע של האלקטרונים כבר לא יהיה במרכז וייווצר דיפול שקול בחומר.

יש חומרים (כמו מים) שלמולקולות שמרכיבות אותם יש מומנט דיפול באופן טבעי, ואז הפעלה של שדה חשמלי חיצוני "מיישרת" את כל הדיפולים בכיוון השדה.

מודל מקרוסקופי

נניח שמומנט הדיפול של כל אטום או מולקולה הוא ${\overrightarrow{P}}_{atom}$ ולכן סה"כ הדיפול של כל התיבה: $\overrightarrow{P}=N\cdot {\overrightarrow{P}}_{atom}$. נוכל להגדיר את צפיפות הדיפולים הנפחית בתור היחס בין מומנט הדיפול לנפח. בהינתן $\overrightarrow{P}$, אפשר לרשום

מאחר וסך הכל מטען הפולריזציה צריך להיות אפס:$$Q_{p,surface}=\oint \overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{da}$$$$Q_{p,volume}=-\oint \overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{da}$$נביט בקשר הזה, עבור נפח קטן $\mathrm{\Delta }v$:$${\rho }_p=\frac{Q_{p,volume}}{\mathrm{\Delta }v}=-\frac{1}{\mathrm{\Delta }v}\oint \overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{da}\stackrel{\mathrm{\Delta }\mathrm{v}\mathrm{\to }\mathrm{0}}{=}-\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{P}$$$$\Rightarrow {\rho }_p=-\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{P}$$נשים לב לכך שאם $\overrightarrow{P}$ אחיד, אז ${\rho }_p=0$.

צפיפות משטחית של מטעני הפולריזציה

נוכל למצוא ביטוי לצפיפות המשטחית מחוק גאוס:$$Q_{in}=\oint {ϵ}_0\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{da}\Rightarrow \eta =\hat{n}({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2-{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1)$$ומסך המטען:$$Q_p=-\oint \overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{da}\Rightarrow {\eta }_p=-\hat{n}({\overrightarrow{P}}_2-{\overrightarrow{P}}_1)$$זרמי פולריזציה

נסתכל על השינוי בזמן באלמנט מטען קטן $\delta Q=\overrightarrow{P}\cdot \delta \overrightarrow{A}$:$$I=\frac{d(\delta Q)}{dt}=\frac{d}{dt}(\overrightarrow{P}\cdot \delta \overrightarrow{A})=\frac{d\overrightarrow{P}}{dt}\cdot \delta \overrightarrow{A}={\overrightarrow{J}}_p\cdot \delta \overrightarrow{A}$$כאשר השינוי בזמן של $\overrightarrow{P}$ מוגדר על ידי זרם אפקטיבי שחולף בתיבה - זרם פולריזציה ${\overrightarrow{J}}_p$.

ביחד עם הקשר ${\rho }_p=-\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{P}$ נקבל את חוק שימור מטען הפולריזציה:$$\mathrm{\nabla }\cdot {\overrightarrow{J}}_p=-\frac{d{\rho }_p}{dt}$$אם נגזור בזמן את הביטוי שקיבלנו עבור צפיפות המטען המשטחית, נקבל:$$\frac{d{\eta }_p}{dt}=-\hat{n}({\overrightarrow{J}}_{2,p}-{\overrightarrow{J}}_{1,p})$$כלומר, אין זרמי פולריזציה משטחיים! (אלא אם יש תנועה מכנית)

משוואות מקסוול בחומר

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial ({\mu }_{0}H)}{\partial t}\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_0\overrightarrow{E})={\rho }_f+(-\mathrm{\nabla }\cdot P)\\ \mathrm{\nabla }\times H=\frac{\partial ({ϵ}_{0}E)}{\partial t}+J_f+\frac{\partial P}{\partial t}\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_{0}H)=0\end{array}$$המקורות לשדה החשמלי הם כלל המטענים בבעיה - מטענים חופשיים ומטעני פולריזציה.

תנאי השפה המגיעים ממשוואות מקסוול בתנאים אלו:$$\{\begin{array}{l}\hat{n}\times (E_2-E_1)=0\\ \hat{n}\cdot ({ϵ}_0{E}_2-{ϵ}_0{E}_1)={\eta }_f+(-\hat{n}\cdot [P_2-P_1])\\ \hat{n}\times (H_2-H_1)=K_f\\ \hat{n}\cdot ({\mu }_0{H}_2-{\mu }_0{H}_1)=0\end{array}$$

דוגמה

נתון לוח של חומר פעיל בו שוררת הפולריזציה הנתונה. חשבו את השדה החשמלי בכל המרחב.$${\rho }_p=-\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{P}=-\frac{\partial }{\partial z}{P}_z=-\frac{P_0}{d}$$על השפות:$${\eta }_{p,z=0}=-\hat{z}\cdot (P_{z=0}-0)=0$$$${\eta }_{p,z=d}=-\hat{z}\cdot (0-P_{z=d})=-\hat{z}\cdot (0-P_0\hat{z})=P_0$$$$Q_p={\rho }_p\cdot A\cdot d+{\eta }_{p,z=d}\cdot A=-\frac{P_0}{d}\cdot A\cdot d+P_0\cdot A=0$$הבעיה השקולה: מטעני פולריזציה בואקום!

מאחר וסך מטעני הפולריזציה ליחידת שטח הוא אפס ויש סימטריה של לוח אינסופי, נקבל $\overrightarrow{E}=0$ מחוץ ללוח, כלומר ב-$z<0,z>d$. משיקולי סימטריה: $\overrightarrow{E}=E(z)\hat{z}$.

נשתמש בחוק גאוס האינטגרלי. נגדיר מעטפת (הפאה העליונה נמצאת בקואורדינטה $z$)$$\oint {ϵ}_0\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{da}=Q_{in}\Rightarrow {ϵ}_{0}E(z)\cdot A=-\frac{P_0}{d}\cdot A\cdot z\Rightarrow E(z)=-\frac{P_0}{d{ϵ}_0}\cdot z$$

משוואות מקסוול בחומר - וקטור ההעתקה

נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות פולריזציה בעזרת וקטור ההעתקה $\overrightarrow{D}={ϵ}_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}$, צפיפות שטף חשמלי:$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_0\overrightarrow{E})={\rho }_f+(-\mathrm{\nabla }\cdot P)\Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P})={\rho }_f\\ \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\frac{\partial ({ϵ}_0\overrightarrow{E})}{\partial t}+{\overrightarrow{J}}_f+\frac{\partial \overrightarrow{P}}{\partial t}\Rightarrow \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\frac{\partial }{\partial t}({ϵ}_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P})+{\overrightarrow{J}}_f\\ \hat{n}\cdot ({ϵ}_0{E}_2-{ϵ}_0{E}_1)={\eta }_f+(-\hat{n}\cdot [P_2-P_1])\Rightarrow \hat{n}\cdot (({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2+{\overrightarrow{P}}_2)-({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1+{\overrightarrow{P}}_1))={\eta }_f\end{array}$$נוכל לרשום:$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial ({\mu }_{0}H)}{\partial t}\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_0\overrightarrow{D})={\rho }_f\\ \mathrm{\nabla }\times H=\frac{\partial D}{\partial t}+J_f\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_{0}H)=0\end{array}$$ותנאי השפה:$$\{\begin{array}{l}\hat{n}\times (E_2-E_1)=0\\ \hat{n}\cdot (D_2-D_1)={\eta }_f\\ \hat{n}\times (H_2-H_1)=K_f\\ \hat{n}\cdot ({\mu }_0{H}_2-{\mu }_0{H}_1)=0\end{array}$$המקורות לשדה ההעתקה $\overrightarrow{D}$ הם המטענים החופשיים בבעיה.

• מנגנונים ליצירת פולריזציה
• Pyroelectric materials
• Piezoelectric materials
• Ferroelectric materials
• Bi-anisotropic materials

הקשר בין $E$ ל-$P,D$

סוספטביליות ומקדם דיאלקטרי

אנחנו נתעניין בחומרים לינאריים בהם מתקיים:$$\overrightarrow{P}={ϵ}_0{\chi }_e\overrightarrow{E}$$כאשר מגדירים את הסוספטביליות ${\chi }_e$, המתארת בעיקר את התגובה של החומר כאשר השדות חלשים. נוכל כעת לכתוב את וקטור שדה ההעתקה $\overrightarrow{D}$:$$\overrightarrow{D}={ϵ}_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}={ϵ}_0\overrightarrow{E}+{ϵ}_0{\chi }_e\overrightarrow{E}={ϵ}_0(1+{\chi }_e)\overrightarrow{E}$$כאשר $1+{\chi }_e$ הוא המקדם הדיאלקטרי היחסי המסומן ב-${ϵ}_r$, ו-${ϵ}_0(1+{\chi }_e)$ הוא המקדם הדיאלקטרי המסומן ב-$ϵ$.

תכונות של חומרים לינאריים

• איזוטרופיות - החומר מגיב באופן זהה לכל הכיוונים של השדה שמופעלים עליו (או בתוכו). כלומר, $ϵ$ ו-${\chi }_e$ הם סקלרים. אם זה לא כך, $ϵ$ ו-${\chi }_e$ הן מטריצות. במצב זה נוכל לכתוב את שדה ההעתקה באופן הבא:$$\overrightarrow{D}={ϵ}_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}={ϵ}_0(\mathbb{𝕀}+{\chi }_e)\overrightarrow{E}={ϵ}_0{ϵ}_r\overrightarrow{E}$$לדוגמה, אם ${\chi }_e$ תהיה מטריצה $3\times 3$, גם $ϵ$ תהיה מטריצה מסדר זה.
• הומוגניות - כאשר תכונות החומר, $ϵ$, לא תלויות במיקום. כאשר התווך אינו הומוגני מתקיים $ϵ=ϵ(\overrightarrow{r})$

ברגע שיודעים מהו $ϵ$, אז אפשר להכניס אותו לתוך המשוואה ולפתור:$$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{D}={\rho }_f\Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot (ϵ\overrightarrow{E})={\rho }_f$$$$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}+{\overrightarrow{J}}_f\Rightarrow \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\frac{\partial (ϵ\overrightarrow{E})}{\partial t}+J_f$$עם תנאי השפה:$$\hat{n}\cdot ({\overrightarrow{D}}_2-{\overrightarrow{D}}_1)={\eta }_f\Rightarrow \hat{n}\cdot ({ϵ}_2{\overrightarrow{E}}_2-{ϵ}_1{\overrightarrow{E}}_1)={\eta }_f$$

מטען נקודתי בתוך חומר דיאלקטרי

תווך אינסופי

$$\overrightarrow{D}=\frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat{r}$$$$\overrightarrow{D}=ϵ\overrightarrow{E}\Rightarrow \overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{D}}{ϵ}\Rightarrow \overrightarrow{E}=\frac{q}{4\pi ϵr^2}\cdot \hat{r}$$

כדור סופי

מטעמי סימטריה מתקיים $\overrightarrow{E}=E(r)\cdot \hat{r},\overrightarrow{D}=D(r)\cdot \hat{r}$. נקבל את תנאי השפה:$$\hat{n}\cdot (D_{out}-D_{in})={\eta }_f=0$$מכאן נובע:$$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{D}={\rho }_f\iff \int \overrightarrow{D}\cdot \hat{n}ds=Q_{f,in}$$שדה ההעתקה:$$\overrightarrow{D}=\frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat{r}$$והשדה החשמלי:$$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{E}=\frac{q}{4\pi ϵr^2}\cdot \hat{r}r<a\\ \overrightarrow{E}=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}\cdot \hat{r}r>a\end{array}$$תנאי שפה עבור $\overrightarrow{E}$ בוואקום:$$\hat{n}\cdot ({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2-{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1)={\eta }_{tot}={\eta }_f+{\eta }_{pol}$$נמצא את הפולריזציה:$$\overrightarrow{D}=ϵ\overrightarrow{E}={ϵ}_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}\Rightarrow \overrightarrow{P}=(ϵ-{ϵ}_0)\overrightarrow{E}$$$$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{P}=\frac{q}{4\pi ϵr^2}\cdot \hat{r})(ϵ-{ϵ}_0)r<a\\ \overrightarrow{P}=0r>a\end{array}$$כעת נוכל למצוא את צפיפות המטען המשטחית (על שפת הכדור) הנובעת ממטעני הפולריזציה:$${\eta }_p=-\hat{r}\cdot ({\overrightarrow{P}}_{out}-{\overrightarrow{P}}_{in})=\frac{q}{4\pi ϵa^2}\cdot (ϵ-{ϵ}_0)$$$$Q_p=q\frac{ϵ-{ϵ}_0}{ϵ}$$סך מטעני הפולריזציה חייב להיות אפס. את המטען עצמו נוכל לקבל מחוק גאוס:$$\int {ϵ}_0\overrightarrow{E}\cdot \hat{n}ds=Q_f+Q_{pol}$$$${ϵ}_0\frac{q}{4\pi ϵr^2}4\pi r^2=q+Q_{pol}$$$$\frac{{ϵ}_0}{ϵ}q=q+Q_{pol}\Rightarrow Q_{pol}=\frac{-ϵ+{ϵ}_0}{ϵ}q$$וזהו בדיוק $-Q_p$ כך שסך מטען הפולריזציה הוא אכן אפס.

דוגמה

נתון כדור בעל מקדם דיאלקטרי $ϵ$, מוקף בריק. הכדור מוכנס לשדה אחיד. מצאו את השדות בכל המרחב.

הבעיה סטטית ולכן ניתן לרשום את השדה החשמלי בתור גרדיאנט של פונקציה סקלרית:$$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=0\Rightarrow \overrightarrow{E}=-\mathrm{\nabla }\varphi$$בהצבה במשוואות מקסוול נקבל:$$\mathrm{\nabla }\cdot (ϵE)=0\Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot (ϵ\cdot (-\mathrm{\nabla }\varphi ))=0$$מאחר ו-$ϵ$ הומוגני נקבל:$$ϵ{\mathrm{\nabla }}^2\varphi =0$$וזוהי משוואת לפלס.

תנאי השפה בבעיה:$$\{\begin{array}{l}{\varphi }_{out}(r>>a)=-E_{0}z=-E_{0}r\cos \theta \\ \hat{r}\cdot ({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_{out}-ϵ{\overrightarrow{E}}_{in}){|}_{\text{r=a}}=0\Rightarrow \hat{r}\cdot [-{ϵ}_0\frac{\partial {\varphi }_{out}}{\partial r}-(-ϵ\frac{\partial {\varphi }_{in}}{\partial r}){]}_{\text{r=a}}=0\\ {\varphi }_{out}(r=a)={\varphi }_{in}(r=a)\\ {\varphi }_{in}(r\to 0)<{}^{″}{\mathrm{\infty }}^{″}\end{array}$$נבחר פוטנציאל:$$\{\begin{array}{l}{\varphi }_{out}=(Ar+\frac{B}{r^2})\cos \theta \\ {\varphi }_{in}=Cr\cos \theta \end{array}$$כאשר זרקנו את התלות ב-$\frac{1}{r^2}$ בפוטנציאל הפנימי כדי לקיים את תנאי השפה הרביעי.

מתנאי השפה השלישי והראשון בהתאמה נקבל:$$\{\begin{array}{l}Aa+\frac{B}{a^2}=Ca\\ {\varphi }_{out}(r>>a)=Ar\cos \theta =-E_{0}r\cos \theta \Rightarrow A=-E_0\end{array}$$נציב בתנאי השפה השני את הנגזרות של הפוטנציאל:$$\frac{\partial {\varphi }_{out}}{\partial r}=(A-\frac{2B}{r^3})\cos \theta ,\frac{\partial {\varphi }_{in}}{\partial r}=C\cos \theta$$ונקבל:$${ϵ}_0(A-\frac{2B}{a^3})=ϵC$$בסך הכל, המקדמים אשר נקבל עבור הפוטנציאל הם:$$\{\begin{array}{l}A=-E_0\\ B=-a^3\cdot \frac{{ϵ}_r-1}{{ϵ}_r+2}{E}_0\\ C=a^3\cdot \frac{3}{{ϵ}_r+2}{E}_0\end{array}$$כאשר ${ϵ}_r=\frac{ϵ}{{ϵ}_0}$. לכן, הפוטנציאל והשדה החשמלי מחוץ לכדור:$$\{\begin{array}{l}{\varphi }_{out}=(-E_{0}r+E_0{a}^3\cdot \frac{{ϵ}_r-1}{{ϵ}_r+2}\frac{1}{r^2})\cos \theta \\ {\overrightarrow{E}}_{out}=E_0\hat{z}+\frac{{ϵ}_r-1}{{ϵ}_r+2}\cdot E_0\cdot \frac{a^3}{r^3}\cdot (2\cos \theta \hat{r}+\sin \theta \hat{\theta })\end{array}$$כעת נוכל לחשב את הקיטוביות:$${\varphi }_{dipole}=\frac{p}{4\pi {ϵ}_0}\frac{1}{r^2}\cos \theta$$בבעיה שלנו, נמצא את הקיטוביות בעזרת השוואת מקדמים:$$\frac{p}{4\pi {ϵ}_0}=E_0\cdot a^3\cdot \frac{{ϵ}_r-1}{{ϵ}_r+2}\Rightarrow p=4\pi {ϵ}_0{a}^3\cdot \frac{{ϵ}_r-1}{{ϵ}_r+2}{E}_0$$הקיטוביות מוגדרת על ידי $\overrightarrow{p}={ϵ}_0\alpha \overrightarrow{E}$, לכן נוכל לרשום:$$\alpha =4\pi a^3\cdot \frac{{ϵ}_r-1}{{ϵ}_r+2}=3V\cdot \frac{{ϵ}_r-1}{{ϵ}_r+2}$$כעת נסתכל על השדה והפוטנציאל בתוך הכדור:$$\{\begin{array}{l}{\varphi }_{in}=-\frac{3E_0}{2+{ϵ}_r}\cdot r\cos \theta \\ {\overrightarrow{E}}_{in}=\frac{3}{2+{ϵ}_r}\hat{z}\end{array}$$מתקיים ${\overrightarrow{E}}_{in}={\overrightarrow{E}}_{out}+{\overrightarrow{E}}_{respond}$ ולכן שדה התגובה:$${\overrightarrow{E}}_{respond}=-\frac{{ϵ}_r-1}{{ϵ}_r+2}{E}_0\hat{z}$$

דוגמה 2

חשבו את הקיבול של קבל שכבות.

מטעמי סימטריה מתקיים $\overrightarrow{E}=E(z)\cdot \hat{z},\overrightarrow{D}=D(z)\cdot \hat{z}$

בתוך הקבל $\overrightarrow{D}$ אחיד: $\overrightarrow{D}=D_0\hat{z}$. נסתכל על צפיפות המטען המשטחית על הלוח העליון:$${\eta }_f=\hat{z}\cdot ({\overrightarrow{D}}_{out}-{\overrightarrow{D}}_{in})=-D_0$$ולכן המטען ובהתאם הקיבול:$$Q=|D_0|\cdot A\Rightarrow C=\frac{Q}{V}=\frac{|D_0|\cdot A}{V}$$בשכבה ה-$i$ מתקיים:$$\overrightarrow{D}=ϵ\overrightarrow{E}\Rightarrow D_0\hat{z}={ϵ}_i{\overrightarrow{E}}_i\Rightarrow {\overrightarrow{E}}_i=\frac{D_0}{{ϵ}_i}\hat{z}$$המתח הכולל יתקבל על ידי סכימה על הפוטנציאלים שנצברים בכל שכבה:$$V=\sum \frac{D_0}{{ϵ}_i}\cdot d_i\Rightarrow C=\frac{D_0\cdot A}{\sum \frac{D_0}{{ϵ}_i}\cdot d_i}=\frac{A}{\sum \frac{d_i}{{ϵ}_i}}=\frac{1}{\sum \frac{d_i}{{ϵ}_{i}A}}$$נשים לב לכך שהתוצאה שקיבלנו שקולה לחיבור קבלים בטור.

אם השתנות $ϵ$ רציפה $ϵ=ϵ(z)$ נוכל לחלק לשכבות בעובי $dz$ ונקבל:$$\frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{A}\int \frac{dz}{ϵ(z)}$$