פרק 13 - אנרגיה: Difference between revisions

Revision as of 15:40, 20 April 2022

אנרגיה

משפט פוינטינג

בוואקום ראינו את משפט פוינטינג: $- \nabla \cdot \underset{\vec{S}}{\underset{⏟}{(\vec{E} \times \vec{H})}} = \frac{\partial}{\partial t} \underset{stored energy}{\underset{⏟}{(\frac{ϵ_{0}}{2} | \vec{E} |^{2} + \frac{μ_{0}}{2} | \vec{H} |^{2})}} + \underset{conduction power}{\underset{⏟}{\vec{E} \cdot \vec{J}}}$ כעת, לאחר שפתרנו את משוואות מקסוול בחומר ורכשנו הבנה על התגובה של חומרים לשדות הפועלים בתוכם, ננסה להבין את ההשפעה של מאזן האנרגיה בבעיה. לצורך כך, נביט על: $- \nabla \cdot (\vec{E} \times \vec{H}) = - (\nabla \times \vec{E}) \cdot \vec{H} + \vec{E} \cdot (\nabla \times \vec{H}) = - \vec{H} \cdot \underset{F a r a d a y}{\underset{⏟}{(- \partial_{t} \vec{B})}} + \vec{E} \cdot \underset{A m p e r}{\underset{⏟}{(\vec{J} + \partial_{t} \vec{D})}} = \vec{H} \cdot (\partial_{t} \vec{B}) + \vec{E} \cdot (\vec{J} + \partial_{t} \vec{D})$ כאשר במעבר הראשון השתמשנו בזהות הוקטורית האהובה: $\nabla \cdot (A \times B) = B \cdot (\nabla \times A) - A \cdot (\nabla \times B)$ נשתמש בהגדרות המוכרות: $\vec{D} = ϵ_{0} \vec{E} + \vec{P}, \vec{B} = μ_{0} (\vec{H} + \vec{M}), \vec{J} = \underset{c o n d u c t i o n}{\underset{⏟}{{\vec{J}}_{c o n d}}} + \underset{s o u r c e}{\underset{⏟}{{\vec{J}}_{s}}}$ נציב במשוואה שפיתחנו למשפט פוינטינג ונקבל: $- \nabla \cdot (\vec{E} \times \vec{H}) = \vec{H} \cdot \partial_{t} [μ_{0} (\vec{H} + \vec{M})] + \vec{E} \cdot \partial_{t} [ϵ_{0} \vec{E} + \vec{P}] + \vec{E} \cdot ({\vec{J}}_{s} + {\vec{J}}_{c o n d})$ נסתכל על כל רכיבי המשוואה: $- \nabla \cdot (\underset{\vec{S}}{\underset{⏟}{\vec{E} \times \vec{H}}}) = \underset{W_{H}}{\underset{⏟}{\vec{H} \cdot \partial_{t} (μ_{0} \vec{H})}} + \underset{P_{H}}{\underset{⏟}{\vec{H} \cdot \underset{{\vec{J}}_{m}}{\underset{⏟}{\partial_{t} (μ_{0} \vec{M})}}}} + \underset{W_{E}}{\underset{⏟}{\vec{E} \cdot \partial_{t} (ϵ_{0} \vec{E})}} + \underset{P_{E}}{\underset{⏟}{\vec{E} \cdot \underset{{\vec{J}}_{p}}{\underset{⏟}{\partial_{t} \vec{P}}}}} + \underset{P_{S}}{\underset{⏟}{\vec{E} \cdot {\vec{J}}_{s}}} + \underset{P_{c o n d} = σ | \vec{E} |^{2}}{\underset{⏟}{\vec{E} \cdot {\vec{J}}_{c o n d}}}$ כאשר הגדרנו:

הגדרות
סימון	משמעות	יחידות
$\vec{S}$	וקטור פוינטינג - וקטור צפיפות שטף ההספק	$\frac{W a t t}{m^{2}}$
$W_{H}$	צפיפות האנרגיה האגורה בשדה המגנטי	$\frac{J o u l e}{m^{3}}$
$W_{E}$	צפיפות האנרגיה האגורה בשדה החשמלי	$\frac{J o u l e}{m^{3}}$
$P_{H}$	צפיפות הספק המגנטיזציה	$\frac{W a t t}{m^{3}}$
$P_{E}$	צפיפות הספק הפולריזציה	$\frac{W a t t}{m^{3}}$
$P_{S}$	צפיפות הספק המקורות	$\frac{W a t t}{m^{3}}$
$P_{c o n d}$	צפיפות הספק ההולכה	$\frac{W a t t}{m^{3}}$

איברים חיוביים - הספק מתבזבז. למה?

גם רואים את זה מהספק ההולכה, שאנחנו יודעים ויודעות שמבזבז אנרגיה במקרה האוהמי הפשוט.

הספק מקורות

במקור $\vec{E}$ ו $\vec{J}$ בכיוונים הפוכים, ולכן $\vec{E} \cdot \vec{J} < 0$ ויש הספק שמסופק ע"י המקור. $\vec{E} \cdot \vec{J} < 0 \Rightarrow Providing Energy$ $\vec{E} \cdot \vec{J} > 0 \Rightarrow dissipating Energy$

הספק פולריזציה

כאשר נחזור חזרה, נקבל את אותה עבודה, אך בסימן שלילי, ולכן $W_{p, 0 \to E_{0} \to 0} = 0$ . $P_{p} = \vec{E} \cdot \partial_{t} \vec{P} \Rightarrow W_{p} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{E} \cdot \partial_{t} \vec{P} \cdot d t = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{P}}{\partial t} \cdot d t = \int_{P_{1}}^{P_{2}} \vec{E} \cdot d \vec{P}$ במקרה מחזורי $E_{0} \to - E_{0} \to E_{0}$ , לדוגמה $E (t) = E_{0} \cos (ω t)$ , ההפסד במחזור שלם הוא שטח הלולאה $W_{p, 0 \to E_{0} \to 0} > 0$ .

הספק פולריזציה - חומר דיאלקטרי

$P_{p} = \vec{E} \cdot \partial_{t} \vec{P} = \vec{E} \cdot \partial_{t} ϵ_{0} χ_{E} \vec{E}$ אם $χ_{E}$ לא תלוי בזמן, ניתן לרשום: $P_{p} = \vec{E} \cdot \partial_{t} \vec{P} = ϵ_{0} χ_{E} \vec{E} \cdot \partial_{t} \vec{E} = ϵ_{0} χ_{E} \cdot \frac{1}{2} \partial_{t} | \vec{E} |^{2}$ ניתן במקרה זה "לצרף" את הספק הפולריזציה לאנרגיה האגורה. $W_{E} + W_{P} = \frac{1}{2} \partial_{t} ϵ_{0} | \vec{E} |^{2} + \frac{1}{2} \partial_{t} ϵ_{0} χ_{E} | \vec{E} |^{2} = \frac{1}{2} \partial_{t} (1 + χ_{E}) | \vec{E} |^{2} ϵ_{0} = \frac{1}{2} \partial_{t} ϵ | \vec{E} |^{2} = W_{E, m a t e r i a l}$

הספק מגנוט

הגדרנו את צפיפות הספק המגנטיזציה כך: $P_{m} = \vec{H} \cdot μ_{0} \frac{\partial \vec{M}}{\partial t}$ לכן, נוכל לחשב את הספק המגנוט: $\Rightarrow W_{m} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{H} \cdot μ_{0} \frac{\partial \vec{M}}{\partial t} d t = μ_{0} \int_{M_{1}}^{M_{2}} \vec{H} \cdot d \vec{M}$ אם החומר מגיב ע"י: $M = χ_{m} \vec{H}$ אז התמונה זהה למצב של חומר דיאלקטרי.

משפט פוינטינג בחומרים לינאריים

אם יש חומר לינארי לגמרי שבו

\vec{D} = ϵ \vec{E}, \vec{B} = μ \vec{H}

אז ניתן לכתוב את משפט פוינטינג באופן הבא:

- \nabla \cdot (\vec{E} \times \vec{H}) = \frac{\partial}{\partial t} (\frac{ϵ}{2} | \vec{E} |^{2}) + \frac{\partial}{\partial t} (\frac{μ}{2} | \vec{H} |^{2}) + σ | \vec{E} |^{2} + \vec{E} \cdot {\vec{J}}_{S}

@@ Line 5: / Line 5: @@
 בוואקום ראינו את משפט פוינטינג:<math display="block">-\nabla\cdot
 \underbrace{(\vec E \times \vec H)}_{\vec S}
-= \frac{\partial}{\partial t}\underbrace{(\frac{\epsilon_0}{2}|\vec E|^2+\frac{\mu_0}{2}|\vec H|^2)}_{\text{stored energy}} +\underbrace{\vec E \cdot \vec J}_{\text{conduction power} } </math>מה קורה בחומר?<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = -(\nabla\times\vec E)\cdot\vec H + \vec E\cdot(\nabla\times\vec H) = -\vec H\cdot\underbrace{(-\partial_t\vec B)}_{Faraday} + \vec E\cdot\underbrace{(\vec J + \partial_t\vec D)}_{Amper}= \vec H\cdot(\partial_t\vec B) + \vec E\cdot(\vec J + \partial_t\vec D) </math>כאשר במעבר הראשון השתמשנו בזהות הוקטורית האהובה:<math display="block">\nabla\cdot(A \times B) = B\cdot(\nabla\times A) - A\cdot(\nabla\times B) </math>נשתמש בהגדרות המוכרות:<math display="block">\vec D = \epsilon_0\vec E + \vec P \quad ,\quad  \vec B = \mu_0(\vec H +\vec M) \quad , \quad \vec J = \underbrace{\vec J_{cond}}_{conduction} +\underbrace{\vec J_s}_{source}  </math>נציב במשוואה שפיתחנו למשפט פוינטינג ונקבל:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \vec H\cdot\partial_t[\mu_0(\vec H+\vec M)] + \vec E\cdot\partial_t[\epsilon_0\vec E + \vec P]+ \vec E\cdot(\vec J_s + \vec J_{cond}) </math>נסתכל על כל רכיבי המשוואה:<math display="block">-\nabla\cdot(\underbrace{\vec E \times \vec H}_{\vec S}) = \underbrace{\vec H\cdot\partial_t(\mu_0\vec H)}_{W_H} + \underbrace{\vec H\cdot\underbrace{\partial_t(\mu_0\vec M)}_{\vec J_m}}_{P_H} + \underbrace{\vec E\cdot\partial_t(\epsilon_0\vec E)}_{W_E} + \underbrace{\vec E\cdot\underbrace{\partial_t\vec P}_{\vec J_p}}_{P_E}+ \underbrace{\vec E\cdot\vec J_s}_{P_S} + \underbrace{\vec E\cdot\vec J_{cond}}_{P_{cond}=\sigma|\vec E|^2} </math>כאשר הגדרנו:
+= \frac{\partial}{\partial t}\underbrace{(\frac{\epsilon_0}{2}|\vec E|^2+\frac{\mu_0}{2}|\vec H|^2)}_{\text{stored energy}} +\underbrace{\vec E \cdot \vec J}_{\text{conduction power} } </math>כעת, לאחר שפתרנו את משוואות מקסוול בחומר ורכשנו הבנה על התגובה של חומרים לשדות הפועלים בתוכם, ננסה להבין את ההשפעה של מאזן האנרגיה בבעיה.
+לצורך כך, נביט על:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = -(\nabla\times\vec E)\cdot\vec H + \vec E\cdot(\nabla\times\vec H) = -\vec H\cdot\underbrace{(-\partial_t\vec B)}_{Faraday} + \vec E\cdot\underbrace{(\vec J + \partial_t\vec D)}_{Amper}= \vec H\cdot(\partial_t\vec B) + \vec E\cdot(\vec J + \partial_t\vec D) </math>כאשר במעבר הראשון השתמשנו בזהות הוקטורית האהובה:<math display="block">\nabla\cdot(A \times B) = B\cdot(\nabla\times A) - A\cdot(\nabla\times B) </math>נשתמש בהגדרות המוכרות:<math display="block">\vec D = \epsilon_0\vec E + \vec P \quad ,\quad  \vec B = \mu_0(\vec H +\vec M) \quad , \quad \vec J = \underbrace{\vec J_{cond}}_{conduction} +\underbrace{\vec J_s}_{source}  </math>נציב במשוואה שפיתחנו למשפט פוינטינג ונקבל:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \vec H\cdot\partial_t[\mu_0(\vec H+\vec M)] + \vec E\cdot\partial_t[\epsilon_0\vec E + \vec P]+ \vec E\cdot(\vec J_s + \vec J_{cond}) </math>נסתכל על כל רכיבי המשוואה:<math display="block">-\nabla\cdot(\underbrace{\vec E \times \vec H}_{\vec S}) = \underbrace{\vec H\cdot\partial_t(\mu_0\vec H)}_{W_H} + \underbrace{\vec H\cdot\underbrace{\partial_t(\mu_0\vec M)}_{\vec J_m}}_{P_H} + \underbrace{\vec E\cdot\partial_t(\epsilon_0\vec E)}_{W_E} + \underbrace{\vec E\cdot\underbrace{\partial_t\vec P}_{\vec J_p}}_{P_E}+ \underbrace{\vec E\cdot\vec J_s}_{P_S} + \underbrace{\vec E\cdot\vec J_{cond}}_{P_{cond}=\sigma|\vec E|^2} </math>כאשר הגדרנו:
 {| class="wikitable"
 |+הגדרות
@@ Line 46: / Line 47: @@
 === הספק מקורות ===
-<math display="block">\vec E \cdot \vec J < 0 \Rightarrow \text{Providing Energy} </math><math display="block">\vec E \cdot \vec J > 0 \Rightarrow \text{dissipating Energy} </math>
+במקור <math>\vec E</math> ו <math>\vec J</math> בכיוונים הפוכים, ולכן <math>\vec E \cdot \vec J <0</math> ויש הספק שמסופק ע"י המקור.<math display="block">\vec E \cdot \vec J < 0 \Rightarrow \text{Providing Energy} </math><math display="block">\vec E \cdot \vec J > 0 \Rightarrow \text{dissipating Energy} </math>
 === הספק פולריזציה ===
@@ Line 55: / Line 56: @@
 === הספק מגנוט ===
-הגדרנו את צפיפות הספק המגנטיזציה כך:<math display="block">P_m = \vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t}   </math>לכן, נוכל לחשב את הספק המגנוט:<math display="block">\Rightarrow W_m = \int_{t_1}^{t_2}\vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t}dt = \mu_0\int_{M_1}^{M_2}\vec H\cdot d\vec M   </math>
+הגדרנו את צפיפות הספק המגנטיזציה כך:<math display="block">P_m = \vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t}   </math>לכן, נוכל לחשב את הספק המגנוט:<math display="block">\Rightarrow W_m = \int_{t_1}^{t_2}\vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t}dt = \mu_0\int_{M_1}^{M_2}\vec H\cdot d\vec M   </math>אם החומר מגיב ע"י:
+<math display="block">M = \chi_m \vec H</math>אז התמונה זהה למצב של חומר דיאלקטרי.
 === משפט פוינטינג בחומרים לינאריים ===
 אם יש חומר לינארי לגמרי שבו <math>\vec D = \epsilon\vec E \ ,\ \vec B = \mu\vec H    </math> אז ניתן לכתוב את משפט פוינטינג באופן הבא:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \frac{\partial}{\partial t}(\frac{\epsilon}{2}|\vec E|^2)+\frac{\partial}{\partial t}(\frac{\mu}{2}|\vec H|^2) + \sigma|\vec E|^2 + \vec E \cdot \vec J_S  </math></div>

פרק 13 - אנרגיה: Difference between revisions

Revision as of 15:40, 20 April 2022

Contents

אנרגיה

משפט פוינטינג

הספק מקורות

הספק פולריזציה

הספק פולריזציה - חומר דיאלקטרי

הספק מגנוט

משפט פוינטינג בחומרים לינאריים

Navigation menu

פרק 13 - אנרגיה: Difference between revisions

Revision as of 15:40, 20 April 2022

אנרגיה

משפט פוינטינג

הספק מקורות

הספק פולריזציה

הספק פולריזציה - חומר דיאלקטרי

הספק מגנוט

משפט פוינטינג בחומרים לינאריים

Navigation menu

Search