פרק 0 - מבוא מתמטי

בפרק 0 של הקורס שדות אלקטרומגנטיים נחזור ונגדיר מושגים מתמטיים חשובים, שיידרשו להבנת החומר בקורס.

מערכת קורדינטות אורתוגונלית

נגדיר 3 פונקציות

$u_1(x,y,z),u_2(x,y,z),u_3(x,y,z)$

אם המשטחים שווי הערך (כלומר המשטחים המקיימים את המשוואות $u_i(x,y,z)=u_{i,0}$) ניצבים זה לזה בכל נקודה ונקודה, הפונקציות מגדירות מערכת קורדינטות אורתוגונלית, והמשוואות הנ"ל מגדירות משטחים שווי קורדינטה. וקטורי היחידה בכיוון הקורדינטות, המסומנים $\widehat{u_i}$ מוגדרים בכיוון הגדלת הקורדינטה $u_i$ כאשר הקורדינטות האחרות קבועות.

תרשים 1 - משטחים שווי קורדינטה במערכת אורתוגונלית כללית

יחסים מטריים

אם נניח שניתן להפוך את היחסים, ניתן לרשום את וקטור המיקום על ידי

$\overrightarrow{r}=x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}=x(u_1,u_2,u_3)\hat{x}+y(u_1,u_2,u_3)\hat{y}+z(u_1,u_2,u_3)\hat{z}$

שינוי קטן בוקטור המיקום הנובע מצעד אינפיטסימלי בכיוון הקורדינטה $u_1$ ניתן לרשום על ידי $/vecdr=h_{1}d{u}_1\widehat{u_1}$ כאשר $h_1$ הוא היחס המטרי - היחס הקושר בין ערך השנוי בקורדינטה ($d{u}_1$), לגודל הצעד ה"אמיתי" שעשינו במרחב.

$\overrightarrow{dr}=h_{1}d{u}_1\widehat{u_1}=\left|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial u_1}\right|d{u}_1\widehat{u_1}=|\frac{\partial x}{\partial u_1}\hat{x}+\frac{\partial y}{\partial u_1}\hat{y}+\frac{\partial z}{\partial u_1}\hat{z}|⟹h_1={[{\left(\frac{\partial x}{\partial u_1}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial u_1}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial u_1}\right)}^2]}^{1/2}$

את היחסים המטריים $h_2,h_3$ ניתן להגדיר באופן אנלוגי לחלוטין, ומכאן ניתן לרשום עבור צעד כללי כלשהו בוקטור המיקום

$\overrightarrow{dr}=h_{1}d{u}_1\widehat{u_1}+h_{2}d{u}_2\widehat{u_2}+h_{3}d{u}_3\widehat{u_3}$

וניתן לרשום את אלמנטי האורך בכיוון כל אחת מהקורדינטות בקמצעות קשרים אלו - $d{\ell }_1=h_{1}d{u}_1,d{\ell }_2=h_{2}d{u}_2,d{\ell }_3=h_{3}d{u}_3$.

באופן דומה ניתן להראות ששטחו של אלמנט שטח קטן שנוצר כתוצאה מתוספת אינפיטסימלית לקורדינטות $u_2,u_3$ לדוגמא יהיה

$dS=h_{2}d{u}_2{h}_{3}d{u}_3=d{\ell }_{2}d{\ell }_3$

כשטחו של מלבן קטן בעל צלעות $d{\ell }_2,d{\ell }_3$ (זה חייב להיות מלבן מאחר ומדובר במערכת קורדינטות אורתוגונלית). עבור אלמנט נפח נקבל

$dV=h_{1}d{u}_1{h}_{2}d{u}_2{h}_{3}d{u}_3=d{\ell }_{1}d{\ell }_{2}d{\ell }_3$

דוגמא - קורדינטות גליליות

קורדינטות גליליות מוגדרות על ידי הטרנספורמציה

$\{\begin{array}{c}x=r\cos \phi \\ y=r\sin \phi \\ z=z\end{array}$

נחשב את היחסים המטריים ונקבל

$\begin{array}{c}{h}_r={[{\left(\frac{\partial x}{\partial r}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial r}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)}^2]}^{1/2}=1\Rightarrow d{\ell }_r=dr\\ h_{\phi }={[{\left(\frac{\partial x}{\partial \phi }\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial \phi }\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial \phi }\right)}^2]}^{1/2}=r\Rightarrow d{\ell }_{\phi }=rd\phi \\ h_z=1\Rightarrow d{\ell }_z=dz\end{array}$

הגדרות האופרטורים הדיפרנציאליים

הגדרת הדיברגנץ

על מנת לקבל אינטואיציה לגבי הגדרת הדיברגנץ של שדה וקטורי בנקודה מסוימת, אינטואיטיבי להתחיל ממשפט הדיברגנץ. אמנם יש כאן שאלה של "ביצה ותרנגולת", אך בשל ההיכרות של רבים עם המשפט, והשלכותיו, זה אינטואיטיבי מאוד להתחיל ממנו <math> \iiint_V div(\vec{F})dV=\iint_{S=\partial V} \vec{F}\cdot\vec{da} </math