פרק 13 - אנרגיה

אנרגיה

משפט פוינטינג

בוואקום ראינו את משפט פוינטינג:$$-\mathrm{\nabla }\cdot \underset{\overrightarrow{S}}{\underbrace{(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})}}=\frac{\partial }{\partial t}\underset{\text{stored energy}}{\underbrace{(\frac{{ϵ}_0}{2}|\overrightarrow{E}{|}^2+\frac{{\mu }_0}{2}|\overrightarrow{H}{|}^2)}}+\underset{\text{conduction power}}{\underbrace{\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{J}}}$$כעת, לאחר שפתרנו את משוואות מקסוול בחומר ורכשנו הבנה על התגובה של חומרים לשדות הפועלים בתוכם, ננסה להבין את ההשפעה של מאזן האנרגיה בבעיה. לצורך כך, נביט על:$$-\mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})=-(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E})\cdot \overrightarrow{H}+\overrightarrow{E}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H})=-\overrightarrow{H}\cdot \underset{Faraday}{\underbrace{(-{\partial }_t\overrightarrow{B})}}+\overrightarrow{E}\cdot \underset{Amper}{\underbrace{(\overrightarrow{J}+{\partial }_t\overrightarrow{D})}}=\overrightarrow{H}\cdot ({\partial }_t\overrightarrow{B})+\overrightarrow{E}\cdot (\overrightarrow{J}+{\partial }_t\overrightarrow{D})$$כאשר במעבר הראשון השתמשנו בזהות הוקטורית האהובה:$$\mathrm{\nabla }\cdot (A\times B)=B\cdot (\mathrm{\nabla }\times A)-A\cdot (\mathrm{\nabla }\times B)$$נשתמש בהגדרות המוכרות:$$\overrightarrow{D}={ϵ}_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P},\overrightarrow{B}={\mu }_0(\overrightarrow{H}+\overrightarrow{M}),\overrightarrow{J}=\underset{conduction}{\underbrace{{\overrightarrow{J}}_{cond}}}+\underset{source}{\underbrace{{\overrightarrow{J}}_s}}$$נציב במשוואה שפיתחנו למשפט פוינטינג ונקבל:$$-\mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})=\overrightarrow{H}\cdot {\partial }_t[{\mu }_0(\overrightarrow{H}+\overrightarrow{M})]+\overrightarrow{E}\cdot {\partial }_t[{ϵ}_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}]+\overrightarrow{E}\cdot ({\overrightarrow{J}}_s+{\overrightarrow{J}}_{cond})$$נסתכל על כל רכיבי המשוואה:$$-\mathrm{\nabla }\cdot (\underset{\overrightarrow{S}}{\underbrace{\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}}})=\underset{W_H}{\underbrace{\overrightarrow{H}\cdot {\partial }_t({\mu }_0\overrightarrow{H})}}+\underset{P_H}{\underbrace{\overrightarrow{H}\cdot \underset{{\overrightarrow{J}}_m}{\underbrace{{\partial }_t({\mu }_0\overrightarrow{M})}}}}+\underset{W_E}{\underbrace{\overrightarrow{E}\cdot {\partial }_t({ϵ}_0\overrightarrow{E})}}+\underset{P_E}{\underbrace{\overrightarrow{E}\cdot \underset{{\overrightarrow{J}}_p}{\underbrace{{\partial }_t\overrightarrow{P}}}}}+\underset{P_S}{\underbrace{\overrightarrow{E}\cdot {\overrightarrow{J}}_s}}+\underset{P_{cond}=\sigma |\overrightarrow{E}{|}^2}{\underbrace{\overrightarrow{E}\cdot {\overrightarrow{J}}_{cond}}}$$כאשר הגדרנו:

הגדרות

סימון	משמעות	יחידות
$\overrightarrow{S}$	וקטור פוינטינג - וקטור צפיפות שטף ההספק	$\frac{Watt}{m^2}$
$W_H$	צפיפות האנרגיה האגורה בשדה המגנטי	$\frac{Joule}{m^3}$
$W_E$	צפיפות האנרגיה האגורה בשדה החשמלי	$\frac{Joule}{m^3}$
$P_H$	צפיפות הספק המגנטיזציה	$\frac{Watt}{m^3}$
$P_E$	צפיפות הספק הפולריזציה	$\frac{Watt}{m^3}$
$P_S$	צפיפות הספק המקורות	$\frac{Watt}{m^3}$
$P_{cond}$	צפיפות הספק ההולכה	$\frac{Watt}{m^3}$

איברים חיוביים - הספק מתבזבז. למה?

גם רואים את זה מהספק ההולכה, שאנחנו יודעים ויודעות שמבזבז אנרגיה במקרה האוהמי הפשוט.

הספק מקורות (איור 1)

איור 1

במקור $\overrightarrow{E}$ ו $\overrightarrow{J}$ בכיוונים הפוכים, ולכן $\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{J}<0$ ויש הספק שמסופק ע"י המקור.$$\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{J}<0\Rightarrow \text{Providing Energy}$$$$\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{J}>0\Rightarrow \text{dissipating Energy}$$

הספק פולריזציה (איור 2)

איור 2

כאשר נחזור חזרה, נקבל את אותה עבודה, אך בסימן שלילי, ולכן $W_{p,0\to E_0\to 0}=0$.$$P_p=\overrightarrow{E}\cdot {\partial }_t\overrightarrow{P}\Rightarrow W_p=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\overrightarrow{E}\cdot {\partial }_t\overrightarrow{P}\cdot dt=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\overrightarrow{E}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{P}}{\partial t}\cdot dt=\underset{P_1}{\overset{P_2}{\int }}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{P}$$במקרה מחזורי $E_0\to -E_0\to E_0$, לדוגמה $E(t)=E_0\cos (\omega t)$, ההפסד במחזור שלם הוא שטח הלולאה $W_{p,0\to E_0\to 0}>0$.

הספק פולריזציה - חומר דיאלקטרי

$$P_p=\overrightarrow{E}\cdot {\partial }_t\overrightarrow{P}=\overrightarrow{E}\cdot {\partial }_t{ϵ}_0{\chi }_E\overrightarrow{E}$$אם ${\chi }_E$ לא תלוי בזמן, ניתן לרשום:$$P_p=\overrightarrow{E}\cdot {\partial }_t\overrightarrow{P}={ϵ}_0{\chi }_E\overrightarrow{E}\cdot {\partial }_t\overrightarrow{E}={ϵ}_0{\chi }_E\cdot \frac{1}{2}{\partial }_t|\overrightarrow{E}{|}^2$$ניתן במקרה זה "לצרף" את הספק הפולריזציה לאנרגיה האגורה.$$W_E+W_P=\frac{1}{2}{\partial }_t{ϵ}_0|\overrightarrow{E}{|}^2+\frac{1}{2}{\partial }_t{ϵ}_0{\chi }_E|\overrightarrow{E}{|}^2=\frac{1}{2}{\partial }_t(1+{\chi }_E)|\overrightarrow{E}{|}^2{ϵ}_0=\frac{1}{2}{\partial }_tϵ|\overrightarrow{E}{|}^2=W_{E,material}$$

הספק מגנטי

הגדרנו את צפיפות הספק המגנטיזציה כך:$$P_m=\overrightarrow{H}\cdot {\mu }_0\frac{\partial \overrightarrow{M}}{\partial t}$$לכן, נוכל לחשב את ההספק המגנטי:$$\Rightarrow W_m=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\overrightarrow{H}\cdot {\mu }_0\frac{\partial \overrightarrow{M}}{\partial t}dt={\mu }_0\underset{M_1}{\overset{M_2}{\int }}\overrightarrow{H}\cdot d\overrightarrow{M}$$אם החומר מגיב ע"י: $$M={\chi }_m\overrightarrow{H}$$אז התמונה זהה למצב של חומר דיאלקטרי.

משפט פוינטינג בחומרים לינאריים

אם יש חומר לינארי לגמרי שבו $\overrightarrow{D}=ϵ\overrightarrow{E},\overrightarrow{B}=\mu \overrightarrow{H}$ אז ניתן לכתוב את משפט פוינטינג באופן הבא:$$-\mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})=\frac{\partial }{\partial t}(\frac{ϵ}{2}|\overrightarrow{E}{|}^2)+\frac{\partial }{\partial t}(\frac{\mu }{2}|\overrightarrow{H}{|}^2)+\sigma |\overrightarrow{E}{|}^2+\overrightarrow{E}\cdot {\overrightarrow{J}}_S$$