פרק 0 - מבוא מתמטי

בפרק 0 של הקורס שדות אלקטרומגנטיים נחזור ונגדיר מושגים מתמטיים חשובים, שיידרשו להבנת החומר בקורס.

מערכת קורדינטות אורתוגונלית

נגדיר 3 פונקציות

$u_1(x,y,z),u_2(x,y,z),u_3(x,y,z)$

אם המשטחים שווי הערך (כלומר המשטחים המקיימים את המשוואות $u_i(x,y,z)=u_{i,0}$) ניצבים זה לזה בכל נקודה ונקודה, הפונקציות מגדירות מערכת קורדינטות אורתוגונלית, והמשוואות הנ"ל מגדירות משטחים שווי קורדינטה. וקטורי היחידה בכיוון הקורדינטות, המסומנים $\widehat{u_i}$ מוגדרים בכיוון הגדלת הקורדינטה $u_i$ כאשר הקורדינטות האחרות קבועות.

תרשים 1 - משטחים שווי קורדינטה במערכת אורתוגונלית כללית

יחסים מטריים

אם נניח שניתן להפוך את היחסים, ניתן לרשום את וקטור המיקום על ידי

$\overrightarrow{r}=x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}=x(u_1,u_2,u_3)\hat{x}+y(u_1,u_2,u_3)\hat{y}+z(u_1,u_2,u_3)\hat{z}$

שינוי קטן בוקטור המיקום הנובע מצעד אינפיטסימלי בכיוון הקורדינטה $u_1$ ניתן לרשום על ידי $/vecdr=h_{1}d{u}_1\widehat{u_1}$ כאשר $h_1$ הוא היחס המטרי - היחס הקושר בין ערך השנוי בקורדינטה ($d{u}_1$), לגודל הצעד ה"אמיתי" שעשינו במרחב.

$\overrightarrow{dr}=h_{1}d{u}_1\widehat{u_1}=\left|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial u_1}\right|d{u}_1\widehat{u_1}=|\frac{\partial x}{\partial u_1}\hat{x}+\frac{\partial y}{\partial u_1}\hat{y}+\frac{\partial z}{\partial u_1}\hat{z}|⟹h_1={[{\left(\frac{\partial x}{\partial u_1}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial u_1}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial u_1}\right)}^2]}^{1/2}$

את היחסים המטריים $h_2,h_3$ ניתן להגדיר באופן אנלוגי לחלוטין, ומכאן ניתן לרשום עבור צעד כללי כלשהו בוקטור המיקום

$\overrightarrow{dr}=h_{1}d{u}_1\widehat{u_1}+h_{2}d{u}_2\widehat{u_2}+h_{3}d{u}_3\widehat{u_3}$

וניתן לרשום את אלמנטי האורך בכיוון כל אחת מהקורדינטות בקמצעות קשרים אלו - $d{\ell }_1=h_{1}d{u}_1,d{\ell }_2=h_{2}d{u}_2,d{\ell }_3=h_{3}d{u}_3$.

באופן דומה ניתן להראות ששטחו של אלמנט שטח קטן שנוצר כתוצאה מתוספת אינפיטסימלית לקורדינטות $u_2,u_3$ לדוגמא יהיה

$dS=h_{2}d{u}_2{h}_{3}d{u}_3=d{\ell }_{2}d{\ell }_3$

כשטחו של מלבן קטן בעל צלעות $d{\ell }_2,d{\ell }_3$ (זה חייב להיות מלבן מאחר ומדובר במערכת קורדינטות אורתוגונלית). עבור אלמנט נפח נקבל

$dV=h_{1}d{u}_1{h}_{2}d{u}_2{h}_{3}d{u}_3=d{\ell }_{1}d{\ell }_{2}d{\ell }_3$

דוגמא - קורדינטות גליליות

קורדינטות גליליות מוגדרות על ידי הטרנספורמציה

$\{\begin{array}{c}x=r\cos \phi \\ y=r\sin \phi \\ z=z\end{array}$

נחשב את היחסים המטריים ונקבל

$\begin{array}{c}{h}_r={[{\left(\frac{\partial x}{\partial r}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial r}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)}^2]}^{1/2}=1\Rightarrow d{\ell }_r=dr\\ h_{\phi }={[{\left(\frac{\partial x}{\partial \phi }\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial \phi }\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial \phi }\right)}^2]}^{1/2}=r\Rightarrow d{\ell }_{\phi }=rd\phi \\ h_z=1\Rightarrow d{\ell }_z=dz\end{array}$