פרק 2 - תנאי שפה

בפרק 2 של הקורס שדות אלקטרומגנטיים נגדיר תנאי שפה, כדי להתמודד עם בעיית אי - הרציפות שמאפיינת בעיות מסוימות.

מבוא

בפרק הקודם, הנחנו שכל השדות שנעבוד איתם הינם רציפים וגזירים, וזאת כדי לקבל קשר בין שדות למקורות בסביבה כלשהי של נקודה. ראינו כי ניתן לתאר את הקשר באופן המתמטי הבא:$$(\overrightarrow{E},\overrightarrow{H})=\hat{D}[((\overrightarrow{E},\overrightarrow{H})]+\overrightarrow{Sources}$$כך ש $\hat{D}$ הינו אופרטור דיפרנציאלי כלשהו.

עם זאת, בטבע קיימות תופעות רבות שאינן רציפות, ולכן נרצה לתאר גם אותן באופן מתמטי.

בדומה לפרק הקודם, אנו נבצע לוקליזציה למרחב, אך נתחשב גם בנקודות אי רציפות.

לוקליזציה סביב שפה - חוקי גאוס

תיאור הבעיה

נתון משטח S עם צפיפות מטען $\eta$, בעל אי רציפות.

נרצה לראות כיצד נראה מתנהג השדה החשמלי, מעל ומתחת למשטח.

כרגיל, נבנה מעטפת גאוסית ברדיוס R, וגובה $\delta$.

נניח כי:$$\delta <<R<<\text{every other dimension in the problem}$$כלומר, נניח שהתרומה של המעטפת זניחה ביחס לגודל הבעיה.

בנוסף נניח:

מעל המשטח S קיים שדה חשמל ${ϵ}_1$ עם צפיפות מטען ${\rho }_1$

מתחת למשטח S קיים שדה חשמל ${ϵ}_2$ עם צפיפות מטען ${\rho }_2$.

כעת, נחשב את השטף דרך הבסיס התחתון של הגליל (S1), הבסיס העליון שלו (S2), והמעטפת הגליל (S3).

חוק גאוס

$$\underset{S=\partial V}{\oint }{ϵ}_0\overrightarrow{E}\cdot \hat{n}ds=\iiint \rho dV=Q_{in}$$נפעיל את אגף שמאל של חוק כאוס על אחד מהמשטחים S1,S2,S3:$$S1:\underset{S=\partial V}{\oint }{ϵ}_0\overrightarrow{E}\cdot \hat{n}ds=\underset{S1}{\oint }{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1\cdot (-\hat{n})da=-{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1\cdot \overrightarrow{n}da$$$$S2:\underset{S=\partial V}{\oint }{ϵ}_0\overrightarrow{E}\cdot \hat{n}ds=\underset{S2}{\oint }{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2\cdot \hat{n}da={ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2\cdot \overrightarrow{n}da$$$$S3:\int {ϵ}_1\cdot \tilde{\hat{n}}ds+\int {ϵ}_2\cdot \tilde{\hat{n}}ds=F({ϵ}_1,{ϵ}_2)\cdot \delta$$

כך ש F הוא מסלול על המעטפת, והשיוויון האחרון מתקיים כי שטח פני המעטפת פרופורציוני לגובה הגליל (במקרה הפשוט $S=\underset{\equiv F}{2\pi R}\cdot \delta$).

כעת, סכום כל התרומות הינו:

$$S1+S2+S3:({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2-{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1)\cdot \hat{n}da+F({ϵ}_1,{ϵ}_2)\cdot \delta$$

כאשר, מההנחה כי $\delta <<R<<\text{every other dimension in the problem}$ נסיק כי ניתן להזניח את תרומת S3 (כלומר $F({ϵ}_1,{ϵ}_2)$).

סה"כ עד כה קיבלנו שתרומת אגף שמאל של חוק גאוס הינה:

$$({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2-{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1)\cdot \hat{n}da$$נמשיך עם אגף ימין של חוק גאוס ($Q_{in}$):

המטען שכלוא במעטפת הגליל כולל את צפיפות המטען המשטחית $\eta$, ואת צפיפויות המטען הנפחיות ${\rho }_1,{\rho }_2$:

$$Q_{in}=\eta da+(\iiint {\rho }_{1}dV+\iiint {\rho }_{2}dV)=\eta da+(G({\rho }_1)+G({\rho }_2))\delta \cdot da$$כאשר גם פה נזניח את תרומת הצפיפויות הנפחות מהטיעון של $\delta <<R<<\text{every other dimension in the problem}$.

לכן תרומת אגף ימין של חוק גאוס הינו:

$$\eta da$$כעת, אם נשווה את שני האגפים, נקבל:

$$({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2-{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1)\cdot \hat{n}da=\eta da$$ואחרי חלוקה ב $da$, נקבל:

$$({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2-{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1)\cdot \hat{n}=\eta$$כאשר:

• $\eta$ - צפיפות המטען של משטח אי הרציפות.
• $\hat{n}$ - נורמל למשטח אי הרציפות.
• ${\overrightarrow{E}}_2$ - השדה בתחום שאליו פונה $\hat{n}$.

לוקליזציה של חוק גאוס עבור שדה מגנטי

ניתן לבצע את אותו התהליך, גם עבור השדה המגנטי ( חוג גאוס המגנטי: $\oint {\mu }_0\overrightarrow{H}\cdot \hat{n}dS=0$), שלאחריו נקבל:

$$\hat{n}({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_2-{\mu }_0{\overrightarrow{H}}_1)=0$$

כאשר:

• $\eta$ - צפיפות המטען של משטח אי הרציפות
• $\hat{n}$ - נורמל למשטח אי הרציפות
• ${\overrightarrow{H}}_2$ - השדה בתחום שאליו פונה $\hat{n}$.

נשיב לב, שבניגוד לתוצאה הקודמת (עבוד השדה החשמלי), קיבלנו כי אגף שמאל מתאפס. תוצאה זו לא אמור להפתיע אותנו, שכן לא קיימים מונופולים מגנטיים בטבע.

ניתן להסיק מכך, כי רכיב השדה המגנטי הניצב לשפה בהכרח רציף (${\overrightarrow{H}}_1={\overrightarrow{H}}_2$).