פרק 3א - מבוא לקווזיסטטיקה - גלים

מבוא

משוואות מקסוול שקיבלנו בהרצאות הקודמות הינן:

$$(1)\mathrm{\nabla }\times E=-{\mu }_0\frac{\partial H}{\partial t}$$$$(2)\mathrm{\nabla }\times H={ϵ}_0\frac{\partial E}{\partial t}+J$$$$(3)\mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_{0}E)=\rho$$$$(4)\mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_{0}H)=0$$נשים לב כי אלו משוואות מצומדות, כלומר - הפעלת שדה מגנטי משתנה בזמן יוצרת שדה חשמלי משתנה בזמן (משוואה 1), אך משינוי בשדה החשמלי, ישתנה גם השדה המגנטי (משוואה 2),

דהיינו לא ניתן למצוא את השדה החשמלי, בלי לדעת מהו השדה המגנטי.

משוואות מקסוול - פתרונות גליים

על מנת לפתור את בעיית הצימוד, ניתן כמובן להניח שהשדות סטטיים, ואז הנגזרות הזמניות מתאפסות.

אך, הפתרונות הגליים, המשתנים בזמן, האם אלו שמאפשרים את האפליקציות הטכנולוגיות ותופעות הטבע כמו אור השמש שמגיע אלינו (פיזור), ולכן אנו לא יכולים להתעלם מהשפעתן של הנגזרות הזמניות.

משוואות מקסוול - משטר קווזי סטטי

על מנת לפתור את הבעיה לעיל, נציג את הפיתרון הקווזיסטטי למשוואות הגלים.

במשטר קווזיסטטי אנו מניחים שהשדות משתנים בזמן, אך לאט מאוד.

מה הכוונה ב"משתנים לאט מאוד"? נראה בהמשך הפרק.

משוואת הגלים - תווך חסר מקורות

בתווך חסר מקורות:

$$\overrightarrow{J}=0,\rho =0$$כעת, נפעיל רוטור על שני האגפים של משוואה (1) (חוק פארדיי):

אגף שמאל:

$$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E})=\underset{\rho =0}{\underbrace{\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E})}}-{\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{E}=-{\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{E}$$כאשר במעבר הראשון השתמשנו בזהות וקטורית:

$$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{a})=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{a})-{\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{a}$$אגף ימין:

$$\mathrm{\nabla }\times (-{\mu }_0\frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t})=-{\mu }_0\mathrm{\nabla }\times \frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t}$$מכיוון שהנחנו שכל השדות שאנו עובדים איתם הינם גזירים ורציפים, נחליף את הסדר בין הרוטור המרחבי שפועל על השדה המגנטי, לנגזרת בזמן:

$$=-{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H})=-{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}\underset{\text{Eq. 2 - Ampere's law}}{\underbrace{({ϵ}_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}+\underset{J=0}{\underbrace{\overrightarrow{J}}})}}=-{\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}$$בסך הכל נקבל:

$-{\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{E}=-{\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}$

נגדיר את מהירות הגל להיות $c\equiv \frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{ϵ}_0}}$, נעביר אגפים ונקבל את משוואת הגלים:$${\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{E}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=0$$זוהי מערכת של 3 משוואות גלים סקלריות לכל רכיב ($\hat{x},\hat{y},\hat{z}$).

משוואת הגלים - תווך חסר מקורות - פתרונות