פרק 4 - עבודה ואנרגיה

אינטואיציה

איור 1

מה ההספק שהמקור מספק בבעיה הזו?

$$P_{out}=v(t)\cdot i(t)=v(t)[i_L+i_C+i_R]=v(t)\cdot i_L+v(t)\cdot i_C+v(t)\cdot i_R=$$ $$L\cdot \dot{i_L}\cdot i_L+v\cdot c\cdot \dot{v}+v\cdot \frac{v}{R}=\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}(L\cdot i_L^2)+\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}(C\cdot v^2)+\frac{v^2}{R}$$

$$P_{out}=\frac{\partial }{\partial t}\underset{u_M}{\underbrace{(\frac{1}{2}L{i}_L^2)}}+\frac{\partial }{\partial t}\underset{u_E}{\underbrace{(\frac{1}{2}C{v}^2)}}+\underset{P_{\text{resistor loss}}}{\underbrace{\frac{v^2}{R}}}$$ ולכן, ההספק שנמסר למעגל על ידי המקור מקיים:

$$P_{out}=\frac{\partial }{\partial t}(u_M+u_E)+\underset{>0}{\underbrace{P_{loss}}}$$

זהו מבנה טיפוסי של חוק שימור!

נשים לב כי בפיתוח זה, ההספק המועבר לנגד תמיד חיובי.

חוקי שימור - חוק שימור המטען

גם חוק שימור המטען הוא חוק כזה:$$\iint \overrightarrow{J}\cdot \hat{n}ds=-\frac{d}{dt}\iiint \rho dV$$$$\Rightarrow F_{in}=-\frac{d}{dt}Q$$מבנה זהה למה שראינו קודם, ולכן באנלוגיה לחוק שימור המטען הדיפרנציאלי:

$$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{J}=-\frac{\partial \rho }{\partial t}$$כאן אין הפסדי הולכה, ולכן "חסר איבר", היינו מצפים לקבל משהו כמו: $$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{S}=\frac{d}{dt}u+P_{loss}$$

חוקי שימור - חוק שימור התנע

נביט בחוק שימור התנע:$$\overrightarrow{F}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}/\cdot \overrightarrow{p}$$$$\Rightarrow \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{p}=\overrightarrow{p}\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}$$התנע הוא $\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$, ולכן:

$$\overrightarrow{F}\cdot m\overrightarrow{v}=\frac{\partial }{\partial t}[(\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{p})/2]$$$$\int \overrightarrow{F}\overrightarrow{v}=\int \frac{\partial }{\partial t}\underset{\text{kinetic energy}}{\underbrace{(\frac{|p{|}^2}{2m})}}$$ולכן:

$$W=\int \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2m}(p_f^2-p_i^2)$$

כוח לורנץ

בהמשך לשאלה הקודמת, נניח כי יש מטען ρ, צפיפות זרם $\overrightarrow{J}=\rho \overrightarrow{v}$, ויש גם שדה חשמלי ומגנטי.

$$\underset{\text{lorentz force}}{\underbrace{p}}=\underset{\text{system}}{\underbrace{\iiint }}(\rho \overrightarrow{E}+\underset{\text{prependicular to }\overrightarrow{v}\Rightarrow =0}{\underbrace{{\mu }_0\rho \overrightarrow{v}\times \overrightarrow{H}}})\cdot \overrightarrow{v}dv=\iiint \overrightarrow{E}\cdot \rho \overrightarrow{v}dv=\iiint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{J}dv$$נשתמש בזהות:

$$\mathrm{\nabla }\cdot (E\times H)=H\cdot (\mathrm{\nabla }\times E)-E\cdot (\mathrm{\nabla }\times H)$$נציב ב $\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{J}$ את:

$$J=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}-{ϵ}_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$$ונקבל:

$$\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{J}=\overrightarrow{E}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}-{ϵ}_0\frac{\partial E}{\partial t})=-{ϵ}_0\overrightarrow{E}\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}+\overrightarrow{H}\cdot \underset{=-{\mu }_0\frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t}}{\underbrace{(\mathrm{\nabla }\times E)}}-\mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})=-{ϵ}_0\overrightarrow{E}\frac{\partial E}{\partial t}-{\mu }_0\overrightarrow{H}\frac{\partial H}{\partial t}-\mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})$$נציב את הביטוי, בתוך האינטגרל, ונקבל:

$$\iiint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{J}dV=\iiint [\frac{\partial }{\partial t}(-\frac{{ϵ}_0}{2}|E{|}^2-\frac{{\mu }_0}{2}|H{|}^2)-\mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})]dV$$ולכן: $$\overrightarrow{E}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H})=-\mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})+\overrightarrow{H}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E})$$

חוקי שימור - משפט פוינטינג

מכיוון שהחוק חייב להתקיים עבור כל מעטפת (כלומר, בחירת המעטפת היא שרירותית):

$$\iiint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{J}dV=\iiint [\frac{\partial }{\partial t}(-\frac{{ϵ}_0}{2}|E{|}^2-\frac{{\mu }_0}{2}|H{|}^2)-\mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})]dV$$לכן חייב להתקיים שיוויון באינטגרנד:

$$-\underset{\text{sources of flux of }\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}}{\underbrace{\mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})}}=\underset{\text{power}}{\underbrace{\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{J}}}+\frac{\partial }{\partial t}\underset{\text{change of energy density}}{\underbrace{({ϵ}_0/2|E{|}^2+{\mu }_0|H{|}^2)}}$$

הגדלים במשפט פוינטינג

וקטור פוינטינג - מציין את כיוון "זרימת" צפיפות ההספק בבעיה ($[\overrightarrow{S}]=\frac{\text{Watt}}{m^2}$):

$$\overrightarrow{S}\equiv \overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}$$צפיפות האנרגיה החשמלית ($[u_E]=\frac{J}{m^3}$):

$$u_E=\frac{{ϵ}_0}{2}|E{|}^2$$צפיפות האנרגיה המגנטית ($[u_M]=\frac{J}{m^3}$):

$$u_M=\frac{{\mu }_0}{2}|H{|}^2$$צפיפות הספק הולכה ($[p]=\frac{\text{Watt}}{m^3}$):

$$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{J}$$

משפט פוינטינג בצורה האינטגרלית:

$$\underset{V}{\iiint }-\mathrm{\nabla }\cdot (E\times H)dV=-\underset{S=\partial V}{\iint }(E\times H)\cdot \hat{n}ds$$נציב:

$$-\underset{\text{total flux going out from the poynting vector}}{\underbrace{\iint \overrightarrow{S}\cdot \hat{n}ds}}=\frac{\partial }{\partial t}\underset{\text{all the stored energy}}{\underbrace{\iiint [\frac{{ϵ}_0}{2}|E{|}^2+\frac{{\mu }_0}{2}|H{|}^2]dV}}+\underset{\text{all the power}}{\underbrace{\iiint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{J}dV}}$$

חוקי שימור - משפט פוינטינג - הספק הולכה

אם ניתן לחלק את הזרם בבעיה ל 2 תרומות:

$$\overrightarrow{J}={\overrightarrow{J}}_{\text{source}}+{\overrightarrow{J}}_{\text{transport in material}}$$$$\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{J}=\overrightarrow{E}\cdot ({\overrightarrow{J}}_{\text{source}}+{\overrightarrow{J}}_{\text{transport}})=\overrightarrow{E}\cdot {\overrightarrow{J}}_{\text{source}}+\overrightarrow{E}\cdot \sigma \overrightarrow{E}=\underset{\text{can be energy source or sink}}{\underbrace{\overrightarrow{E}\cdot {\overrightarrow{J}}_{\text{source}}}}+\underset{>0}{\underbrace{\sigma |E{|}^2}}$$

דוגמא - אנרגיה חשמלית אגורה בקבל לוחות (איור 2)

איור 2

$$E=-\frac{V}{d}\hat{z}$$$$u_E=\iiint {ϵ}_0|E{|}^{2}dV={ϵ}_0/2(\frac{V}{d}{)}^2\cdot W\cdot l\cdot d$$מצד שני:

$$u_E=1/2c{V}^2$$ולכן:

$$C={ϵ}_0\frac{W\cdot l}{d}$$

דוגמא - אנרגיה חשמלית אגורה בסליל מלבני (איור 3)

איור 3

בתוך הסליל:

$$\overrightarrow{H}=H\hat{z}$$מתנאי שפה מתקבל:

$$\hat{n}\times (0-H\hat{z})=\overrightarrow{K}$$אם עבר דרך הסליל זרם I, אז מתקיים:

$$I=K\cdot W$$לכן:

$$H=\frac{I}{W}\hat{z}\Rightarrow u_M=\iiint {\mu }_0/2(\frac{I}{W}{)}^{2}dV={\mu }_0/2(\frac{I}{W}{)}^2\cdot W\cdot l\cdot d$$מצד שני:

$$u_M=1/2L{I}^2$$לבסוף:

$$L={\mu }_0\frac{l\cdot d}{W}$$

דוגמא - נגד גלילי (איור 4)

איור 4

בכל התחום בין הלוחות:

$$\overrightarrow{E}=\frac{J_0}{\sigma }\hat{z}$$ולכן, מחוק אמפר השד המגנטי הינו:

$$\overrightarrow{H}=\hat{\phi }\cdot \{\begin{array}{ll}\frac{J_{0}r}{2},& r<a\\ \frac{J_0{a}^2}{2r},& r>a\end{array}$$נחשב את וקטור פוינטינג:

$$\overrightarrow{S}=\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}=-\hat{r}\cdot \{\begin{array}{ll}\frac{J_0^{2}r}{2\sigma },& r<a\\ \frac{J_0^2{a}^2}{2\sigma r},& r>a\end{array}$$צפיפות הספק ההולכה תהיה:

$$\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{J}=\{\begin{array}{ll}\frac{J_0^2}{\sigma },& r<a\\ 0,& r>a\end{array}$$נראה שאכן משפט פוינטינג מתקיים:

$$-\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{S}=\underset{=0}{\underbrace{\frac{\partial }{\partial t}({ϵ}_0/2|E{|}^2+{\mu }_0/2|H{|}^2)}}+\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{J}$$$$\Rightarrow -\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{S}=-\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r{S}_r)=-\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(\{\begin{array}{ll}-\frac{J_0^2{r}^2}{2\sigma },& r<a\\ -\frac{J_0^2{a}^2}{2\sigma },& r>a\end{array})=\frac{1}{r}\cdot \{\begin{array}{ll}\frac{J_0^{2}r}{\sigma },& r<a\\ 0,& r>a\end{array}$$בין הלוחות בתוך הנגד:

$$-\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{S}=\frac{J_0^2}{\sigma }=\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{J}=\frac{J_0^2}{\sigma }$$ואכן, משפט פוינטינג מתקיים!

דוגמא תלויה בזמן - גל מישורי

$$\overrightarrow{E}=\hat{e}{E}_{0}cos(k\cdot r-\omega t)$$$$\overrightarrow{H}=\hat{h}\frac{E_0}{\eta }cos(k\cdot r-\omega t)$$$$\overrightarrow{S}=\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}=\underset{\hat{k}}{\underbrace{\hat{e}\times \hat{h}}}\frac{E_0^2}{\eta }co{s}^2(k\cdot r-wt)=\hat{k}\cdot \frac{E_0^2}{\eta }co{s}^2(k\cdot r-wt)$$$$-\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{S}=\hat{k}\cdot \hat{k}\frac{E_0^2}{\eta }2\cos (k\cdot r-wt)\sin (k\cdot r-wt)=\frac{k}{\eta }{E}_0^2\cdot \sin (2(k\cdot r-wt))$$מכיוון שגל מישורי הוא פיתרון בתווך חסר מקורות:

$$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{J}=0$$צפיפויות האנרגיה יהיו:

$$u_E={ϵ}_0/2|E{|}^2={ϵ}_0/2|E_0{|}^2{\cos }^2(k\cdot r-wt)$$$$u_M={\mu }_0/2|H{|}^2={ϵ}_0/2|\frac{E_0}{\eta }{|}^2{\cos }^2(k\cdot r-wt)$$האם מתקיים משפט פוינטינג?

$$-\mathrm{\nabla }\cdot S=\frac{\partial }{\partial t}(u_E+u_M)=E_0^2({ϵ}_0/2+{\mu }_0/2\frac{1}{{\eta }^2})\frac{\partial }{\partial t}{\cos }^2(k\cdot r-wt)=E_0^2({ϵ}_0/2+{\mu }_0/2(\frac{1}{\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{ϵ}_0}}}{)}^2)\cdot 2\cos (k\cdot r-wt)\sin (k\cdot r-wt)\cdot (-1)\cdot (-\omega )=\omega {ϵ}_0$$התוצאה המקורית הייתה $\frac{k}{\eta }$.

האם אכן מתקיים:

$$\frac{k}{\eta }=\omega {ϵ}_0$$

אכן כן!

מיצוע בזמן

הרבה פעמים יעניין אותנו מאזן האנרגיה הממוצע על פני מחזור שלם של הגדלים המחזוריים (שדות, מקורות,...)

$$T=\frac{2\pi }{\omega }$$כל גודל פיזיקלי F ניתן למצע על פני מחזור, על ידי הביטוי הבא:

$$F_a=\frac{1}{T}\underset{t}{\overset{t+T}{\int }}F(t)dt$$

וקטור פוינטינג ממוצע, אנרגיה ממוצעת, הספק ממוצע

רישום פאזורי לשדות:

$$\overrightarrow{E}=\mathrm{\Re }(\tilde{E}{e}^{j\omega t})=1/2(\tilde{E}{e}^{j\omega t}+{\tilde{E}}^{*}{e}^{-j\omega t})$$$$\overrightarrow{H}=\mathrm{\Re }(\tilde{H}{e}^{j\omega t})=1/2(\tilde{H}{e}^{j\omega t}+{\tilde{H}}^{*}{e}^{-j\omega t})$$

משפט פוינטינג לשדות קומפלקסיים

נציב את הביטויים הקומפלקסיים לשדה המגנטי והחשמלי במשוואת פוינטינג:

$$\overrightarrow{S}=\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}=1/4(\tilde{E}{e}^{j\omega t}+{\tilde{E}}^{*}{e}^{-j\omega t})(\tilde{H}{e}^{j\omega t}+{\tilde{H}}^{*}{e}^{-j\omega t})=1/4({\tilde{E}}^{*}\times \tilde{H}+\tilde{E}\times \tilde{H}+\tilde{E}\times \tilde{H}{e}^{2j\omega t}+{\tilde{E}}^{*}\times {\tilde{H}}^{*}{e}^{-2j\omega t})=1/2\mathrm{\Re }(\tilde{E}\times {\tilde{H}}^{*}+\tilde{E}\times \tilde{H}{e}^{2j\omega t})$$זרימת הספק ממוצעת:

$${\overrightarrow{S}}_a=1/2\mathrm{\Re }(\tilde{E}\times {\tilde{H}}^{*})$$נחשב את האנרגיה החשמלית:

$$u_E={ϵ}_0/2\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{E}={ϵ}_0/2\cdot 1/2((\tilde{E}{e}^{j\omega t}+{\tilde{E}}^{*}{e}^{-j\omega t}))\cdot 1/2(\tilde{H}{e}^{j\omega t}+{\tilde{H}}^{*}{e}^{-j\omega t})=1/4\cdot {ϵ}_0/2(2|E{|}^2+\tilde{E}\cdot \tilde{E}{e}^{2j\omega t}+{\tilde{E}}^{*}{\tilde{E}}^{*}{e}^{-2j\omega t})$$ובאותה דרך האנרגיה המגנטית תהיה:

$$u_M=1/4\cdot {\mu }_0/2(2|H{|}^2+\tilde{H}\cdot \tilde{H}{e}^{2j\omega t}+{\tilde{H}}^{*}{\tilde{H}}^{*}{e}^{-2j\omega t})$$נגזרות בזמן את השדה החשמלי:

$$\frac{\partial u_E}{\partial t}=2j\omega (\tilde{E}\cdot \tilde{E}{e}^{2j\omega t})-2j\omega ({\tilde{E}}^{*}\cdot {\tilde{E}}^{*}{e}^{-2j\omega t})\underset{\text{averaging in time}}{\underbrace{=}}0$$ואת אותה התוצאה נקבל עבור השדה המגנטי.

נחשב את ההספק שמושקע בהנעת זרמים במערכת:

$$\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{J}=1/2(\tilde{E}{e}^{j\omega t}+{\tilde{E}}^{*}{e}^{-j\omega t})\cdot 1/2(\tilde{J}{e}^{j\omega t}+{\tilde{J}}^{*}{e}^{-j\omega t})=1/4(2\mathrm{\Re }(\tilde{E}\cdot {\tilde{J}}^{*})+2\mathrm{\Re }(\tilde{E}\cdot \tilde{J}{e}^{2j\omega t}))$$$$\Rightarrow p_a=1/2\mathrm{\Re }(\tilde{E}\cdot {\tilde{J}}^{*})$$משפט פוינטינג לאחר מיצוע בזמן:

$$-\mathrm{\nabla }1/2\mathrm{\Re }(\tilde{E}\times {\tilde{H}}^{*})=1/2\mathrm{\Re }(\tilde{E}\times {\tilde{J}}^{*})$$

משפט פוינטינג עבור הפאזורים של השדות - פיתוח

וקטור פוינטינג הממוצע:

$${\overrightarrow{S}}_a=1/2/Re(\tilde{E}\times {\tilde{H}}^{*})$$נשתמש בחוק אמפר (בצורה הפאזורית):

$$\mathrm{\nabla }\times \tilde{H}=\tilde{J}+{ϵ}_0\cdot j\omega \tilde{E}$$ונחשב בעזרתו את צפיפות הספק ההולכה:

$${\overrightarrow{p}}_a=\tilde{E}\cdot {\tilde{J}}^{*}=\tilde{E}(\mathrm{\nabla }\times {\tilde{H}}^{*}+j\omega {ϵ}_0{\tilde{E}}^{*})=\tilde{E}\cdot (\mathrm{\nabla }\times {\tilde{H}}^{*})+j\omega {ϵ}_0|\tilde{E}{|}^2=j\omega {ϵ}_0|\tilde{E}{|}^2+{\tilde{H}}^{*}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \tilde{E})-\mathrm{\nabla }\cdot (\tilde{E}\times {\tilde{H}}^{*})$$נעביר אגפים ונקבל:

$$-\mathrm{\nabla }\cdot (\tilde{E}\times {\tilde{H}}^{*})=\tilde{E}\cdot {\tilde{J}}^{*}-j\omega ({\mu }_0|\tilde{H}{|}^2-{ϵ}_0|\tilde{E}{|}^2)$$נפריד לחלק ממשי ומדומה:

$$\text{Real: }\mathrm{\Re }(-\mathrm{\nabla }\cdot (\tilde{E}\times {\tilde{H}}^{*}))=\mathrm{\Re }(\tilde{E}\cdot {\tilde{J}}^{*})$$$$\text{Imaginary: }\mathrm{\Im }(-\mathrm{\nabla }\cdot (\tilde{E}\times {\tilde{H}}^{*}))=\mathrm{\Im }(\tilde{E}\cdot {\tilde{J}}^{*})-\omega ({\mu }_0|\tilde{H}{|}^2|-{ϵ}_0|\tilde{E}{|}^2)$$חלק ממשי - מתאר את זרימת ההספק הממשי בבעיה, הספק שמושקע בביצוע עבודה.

חלק מדומה - מאזן של אנרגיה ריאקטיבית.

דוגמא נוספת תלויה בזמן - קבל בקירוב קוואזי - סטטי

ראו איור 5.

איור 5

$${\overrightarrow{E}}^{(0)}=-\frac{V_0}{d}\cos (\omega t)\hat{z}$$$${\overrightarrow{H}}^{(1)}=\frac{{ϵ}_0{V}_0}{d}\omega \sin (\omega t)\hat{y}\cdot (x-W/2)$$משפט פוינטינג בצורה האינטגרלית:

$$-\iint \overrightarrow{S}\cdot \hat{n}dS=\frac{\partial }{\partial t}(U_E+U_M)+P_{\text{transmission}}$$$$\overrightarrow{S}={\overrightarrow{E}}^{(0)}\times {\overrightarrow{H}}^{(1)}=-{ϵ}_0(\frac{V_0}{d}{)}^2\cos (\omega t)\hat{z}\times \omega \sin (\omega t)\cdot (x-W/2)\hat{y}=-\hat{x}{ϵ}_0\frac{V_0}{d}(x-W/2)\omega \underset{=\frac{sin(2\omega t)}{2}}{\underbrace{\sin (\omega t)\cos (\omega t)}}$$$$-\iint \overrightarrow{S}\cdot \hat{n}dS=-[\overrightarrow{S}(x=0)\cdot (-\hat{x})\cdot dL+\overrightarrow{S}(x=W)\cdot \hat{x}\cdot dL]=-[{ϵ}_0(\frac{V_0}{d}{)}^2\frac{-W}{4}\omega \sin (2\omega t)\cdot dL\cdot 2]=-{ϵ}_0(\frac{V_0}{d}{)}^2\frac{W}{2}\omega \sin (2\omega t)\cdot dL$$$$U_E=\iiint u_E=(\frac{V_0}{d}\cos (\omega t){)}^2\frac{{ϵ}_0}{2}\cdot d\cdot L\cdot W$$$$\frac{\partial U_E}{\partial t}=\frac{{ϵ}_0}{2}(\frac{V_0}{d}{)}^2\cdot d\cdot L\cdot W\cdot \underset{=\sin (2\omega t)}{\underbrace{2\cos (\omega t)\sin (\omega t)}}\cdot (-1)$$מהו וקטור פוינטינג הממוצע?

$${\overrightarrow{S}}_a=\frac{1}{T}\underset{t}{\overset{t+T}{\int }}\overrightarrow{S}dt\propto \frac{1}{T}\underset{t}{\overset{t+T}{\int }}\sin (2\omega t)dt=0$$מה בכל זאת האנרגיה המגנטית?

$$U_M=\iiint {\mu }_0/2|H^{(1)}{|}^{2}dV=\underset{x=W}{\iiint }{\mu }_0/2(\frac{{ϵ}_0{V}_0}{d}\cdot \omega \sin (\omega t)(x-W/2){)}^{2}dV=dL\underset{x=0}{\overset{x=W}{\int }}{\mu }_0/2(\frac{{ϵ}_0{V}_0}{d}{)}^2{\omega }^2{\sin }^{}(\omega t)\cdot (x-W/2{)}^{2}dx=...$$$$...=dL\cdot {\mu }_0/2(\frac{{ϵ}_0{V}_0}{d}{)}^2{\omega }^2{\sin }^2(\omega t)\frac{(x-W/2{)}^3}{3}{|}_0^W=2dL\cdot {\mu }_0/2(\frac{{ϵ}_0{V}_0}{2}{)}^2{\omega }^2{\sin }^2(\omega t)\frac{W^3}{24}\cdot 2$$בפיתרון הקוואזי סטטי:

$$I=\frac{{ϵ}_0{V}_0}{d}\omega \sin (\omega t)\cdot W\cdot L$$ומצד שני:$$U_M=\frac{1}{2}\underset{\text{inductance}}{\underbrace{L}}{I}^2$$

ולכן:

$$L=\frac{{\mu }_{0}dW}{12L}$$