פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר

שדות מגנטיים בחומר

מנגנוני מגנטיזציה

• Spin Magnetization
• Orbital Magnetization

דיאמגנטים - Orbital Magnetization

מנגנון התגובה ל-$\overrightarrow{H}$ הוא דרך שינוי השטף. מתוך עקרון לנץ, דיפול התגובה יהיה הפוך לשדה החיצוני.

פאראמגנטים, פרומגנטים - Spin Magnetization

וקטור מגנטיזציה - $\overrightarrow{M}$

נסתכל על אלמנט מגנטיזציה קטן:$$d\overrightarrow{m}=\sum \overrightarrow{m}=\overrightarrow{M}\cdot dv\iff \frac{d\overrightarrow{m}}{dv}=\overrightarrow{M}$$ישנם שני מודלים לתיאור המקורות השקולים המייצגים את המגנטיזציה:

1. מודל הזרם האמפרי
2. מודל המטען המגנטי

1.מודל הזרם האמפרי

כאשר באזור מסוים משתנה המגנטיזציה, תהיה צפיפות זרם שקולה המייצגת שינוי זה.

נרצה לשכנע שמתקיים: ${\overrightarrow{J}}_a=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{M}$. נתחיל מלהסתכל שוב על אלמנט מגנטיזציה קטן:$$d\overrightarrow{m}=\overrightarrow{M}(d\overrightarrow{l}\cdot d\overrightarrow{a})=(\overrightarrow{M}\cdot d\overrightarrow{l})d\overrightarrow{a}$$מתקיים $I=\overrightarrow{M}\cdot d\overrightarrow{l}$ ולכן:$$d\overrightarrow{m}=Id\overrightarrow{a}$$קיבלנו את התוצאה שקיבלנו דרך מגנטוסטטיקה עבור מומנט הדיפול של לולאת זרם בשטח $d\overrightarrow{a}$.

מה סך הזרם שעובר דרך הלולאה שהגדרנו?$$I=\oint \overrightarrow{M}\cdot d\overrightarrow{l}$$מצד אחד, ישנו הקשר בין הזרם לצפיפות הזרם:$$I=\iint {\overrightarrow{J}}_a\cdot d\overrightarrow{a}$$מצד שני, לפי משפט סטוקס נוכל לומר:$$\oint \overrightarrow{M}\cdot d\overrightarrow{l}=\iint \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{M}\cdot d\overrightarrow{a}$$מאחר שאין תלות בלולאה בה נבחר, נקבל את השוויון:$${\overrightarrow{J}}_a=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{M}$$והוכחנו.

זרמי מגנטיזציה משטחיים

נמצא תנאי שפה במעבר בין תווכים בהם $\overrightarrow{H}$ שונה:$$\mathrm{\nabla }\times H=J+\frac{\partial D}{\partial t}\Rightarrow \hat{n}\times ({\overrightarrow{H}}_2-{\overrightarrow{H}}_1)=\overrightarrow{k}$$ובין תווכים בהם $\overrightarrow{M}$ שונה:$$\mathrm{\nabla }\times M=J_a\Rightarrow \hat{n}\times ({\overrightarrow{M}}_2-{\overrightarrow{M}}_1)={\overrightarrow{k}}_a$$

משוואות מקסוול בחומר

נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות מגנטיזציה:$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_a)}{\partial t}\\ \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{D}={\rho }_f\\ \mathrm{\nabla }\times {\overrightarrow{H}}_a=\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}+{\overrightarrow{J}}_f+\underset{\overrightarrow{J_a}}{\underbrace{\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{M}}}\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_a)=0\end{array}$$ותנאי השפה:$$\{\begin{array}{l}\hat{n}\times ({\overrightarrow{E}}_2-{\overrightarrow{E}}_1)=0\\ \hat{n}\cdot ({\overrightarrow{D}}_2-{\overrightarrow{D}}_1)={\eta }_f\\ \hat{n}\times ({\overrightarrow{H}}_{a,2}-{\overrightarrow{H}}_{a,1})={\overrightarrow{K}}_f+\underset{\overrightarrow{K_a}}{\underbrace{\hat{n}\times ({\overrightarrow{M}}_2-{\overrightarrow{M}}_1)}}\\ \hat{n}\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_{a,2}-{\mu }_0{\overrightarrow{H}}_{a,1})=0\end{array}$$

2. מודל המטענים המגנטיים

נבנה את המודל באמצעות השוואה בין הפולרזיציה לבין המגנטיזציה:$$\overrightarrow{P}\iff {\mu }_0\overrightarrow{M}$$צפיפות המטען הנפחית:$${\rho }_p=-\mathrm{\nabla }\cdot P\iff {\rho }_m=-\mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0\overrightarrow{M})$$צפיפות הזרם:$$\overrightarrow{J_p}=\frac{\partial p}{\partial t}\iff \overrightarrow{J_m}=\frac{\partial }{\partial t}({\mu }_0\overrightarrow{M})$$צפיפות המטען המשטחית:$${\eta }_p=-\hat{n}\cdot ({\overrightarrow{P}}_2-{\overrightarrow{P}}_1)\iff {\eta }_m=-\hat{n}\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{M}}_2-{\mu }_0{\overrightarrow{M}}_1)$$

חוק שימור המטען המגנטי

קיבלנו את הביטוי לצפיפות המטען המשטחית:$${\eta }_m=-\hat{n}\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{M}}_2-{\mu }_0{\overrightarrow{M}}_1)$$נגזור אותו בזמן:$$\frac{\partial {\eta }_m}{\partial t}=-\hat{n}\cdot ({\mu }_0\overrightarrow{\frac{\partial M_2}{\partial t}}-{\mu }_0\frac{\partial {\overrightarrow{M}}_1}{\partial t})=-\hat{n}\cdot (\overrightarrow{J_{m_2}}-\overrightarrow{J_{m_1}})$$וקיבלנו את חוק שימור המטען המגנטי:$$-\frac{\partial {\eta }_m}{\partial t}=\hat{n}\cdot (\overrightarrow{J_{m_2}}-\overrightarrow{J_{m_1}})$$

משוואות מקסוול במודל המטען (אנלוגיה עם מודל הפולריזציה החשמלית)

נרשום את משוואות מקסוול:$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_{0}E)={\rho }_f+(-\mathrm{\nabla }\cdot P)\\ \mathrm{\nabla }\times H=\frac{\partial ({ϵ}_{0}E)}{\partial t}+J_f+\frac{\partial P}{\partial t}\\ \hat{n}\cdot ({ϵ}_0{E}_2-{ϵ}_0{E}_1)={\eta }_f+(-\hat{n}\cdot [P_2-P_1])\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0\overrightarrow{H})={\rho }_{mf}+{\rho }_m={\rho }_m\\ \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial }{\partial t}({\mu }_0\overrightarrow{H})-\underset{J_m}{\underbrace{\frac{\partial }{\partial t}({\mu }_0\overrightarrow{M})}}-J_{mf}\\ \hat{n}\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_2-{\mu }_0{\overrightarrow{H}}_1)={\eta }_{mf}+{\eta }_m=-\hat{n}\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{M}}_2-{\mu }_0{\overrightarrow{M}}_1)\end{array}$$

סיכום המודלים - משוואות מקסוול בחומר

מודל הזרם האמפרי:$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_a)}{\partial t}\\ \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{D}={\rho }_f\\ \mathrm{\nabla }\times {\overrightarrow{H}}_a-\overrightarrow{M}=\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}+{\overrightarrow{J}}_f\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_a)=0\\ \hat{n}\times ({\overrightarrow{E}}_2-{\overrightarrow{E}}_1)=0\\ \hat{n}\cdot ({\overrightarrow{D}}_2-{\overrightarrow{D}}_1)={\eta }_f\\ \hat{n}\times ([{\overrightarrow{H}}_{a,2}-{\overrightarrow{M}}_2]-[{\overrightarrow{H}}_{a,1}-{\overrightarrow{M}}_1])={\overrightarrow{K}}_f\\ \hat{n}\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_{a,2}-{\mu }_0{\overrightarrow{H}}_{a,1})=0\end{array}$$מודל המטען המגנטי:$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_a)}{\partial t}\\ \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{D}={\rho }_f\\ \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}+{\overrightarrow{J}}_f\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0\overrightarrow{[}\overrightarrow{H}+\overrightarrow{M}])=0\\ \hat{n}\times ({\overrightarrow{E}}_2-{\overrightarrow{E}}_1)=0\\ \hat{n}\cdot ({\overrightarrow{D}}_2-{\overrightarrow{D}}_1)={\eta }_f\\ \hat{n}\times ({\overrightarrow{H}}_2-{\overrightarrow{H}}_1)={\overrightarrow{K}}_f\\ \hat{n}\cdot ({\mu }_0[{\overrightarrow{H}}_2+{\overrightarrow{M}}_2]-{\mu }_0[{\overrightarrow{H}}_1+{\overrightarrow{M}}_1])=0\end{array}$$נשים לב לכך שאם נגדיר $\overrightarrow{H}+\overrightarrow{M}={\overrightarrow{H}}_a$ נקבל בדיוק את אותן משוואות!

משוואות מקסוול בחומר - צפיפות השטף המגנטי

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial B}{\partial t}\\ \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{D}={\rho }_f\\ \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}+{\overrightarrow{J}}_f\\ \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{B}=0\\ \hat{n}\times ({\overrightarrow{E}}_2-{\overrightarrow{E}}_1)=0\\ \hat{n}\cdot ({\overrightarrow{D}}_2-{\overrightarrow{D}}_1)={\eta }_f\\ \hat{n}\times ({\overrightarrow{H}}_2-{\overrightarrow{H}}_1)={\overrightarrow{K}}_f\\ \hat{n}\cdot ({\overrightarrow{B}}_2-{\overrightarrow{B}}_1)=0\end{array}$$נגדיר $\overrightarrow{B}={\mu }_0{\overrightarrow{H}}_a$ צפיפות השטף המגנטי.

תזכורת: $\overrightarrow{D}={ϵ}_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}$

דוגמה 1

גליל קטן בעל מגנטיזציה אחידה $\overrightarrow{M}=M\hat{z}$.

מודל המטען:$${\rho }_m=-\mathrm{\nabla }\cdot ({\overrightarrow{\mu }}_0\overrightarrow{M})=0$$צפיפות המטען המשטחית על חלקו העליון של הגליל:$${\eta }_{m,top}=-\hat{z}\cdot (0-{\mu }_{0}M\hat{z})={\mu }_{0}M$$צפיפות המטען המשטחית בתחתית הגליל:$${\eta }_{m,bottom}=-\hat{z}\cdot ({\mu }_{0}M\hat{z}-0)=-{\mu }_{0}M$$רחוק מאוד מהגליל נראה דיפול בעל מגנטיזציה:$$\overrightarrow{m}=\overrightarrow{M}\cdot V=M\pi a^{2}h\hat{z}$$אם נסתכל על הגליל כדיפול נקבל:$${\mu }_0\overrightarrow{m}={\mu }_{0}M\pi a^2\cdot h\hat{z}$$קיבלנו את אותו הביטוי! כעת אפשר להציב בביטוי לשדה דיפולי.

מודל הזרם האמפרי:$${\overrightarrow{J}}_a=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{M}=0$$$${\overrightarrow{K}}_a=\hat{r}\times (0-M\hat{z})=M\hat{\phi }$$$${\overrightarrow{H}}_a=\overrightarrow{H}+\overrightarrow{M}\Rightarrow \overrightarrow{B}=\stackrel{\text{connection between models}}{\overbrace{{\mu }_0{\overrightarrow{H}}_a={\mu }_0(\overrightarrow{H}+\overrightarrow{M})}}$$

דוגמה 2

כדור בעל מגנטיזציה אחידה. מהו $\overrightarrow{B}$ בכל המרחב?

נשתמש במודל המטען:$${\eta }_m=-\hat{n}\cdot ({\overrightarrow{M}}_{out}-{\overrightarrow{M}}_{in}){\mu }_0=-\hat{r}\cdot (0-M\hat{z}{\mu }_0)=M\hat{r}\cdot \hat{z}=M\cos \theta {\mu }_0$$צפיפות המטען:$${\rho }_m=-\mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0\overrightarrow{M})=0$$נפתור באמצעות פוטנציאל סקלרי:$$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}={\overrightarrow{J}}_f+\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}+{\overrightarrow{J}}_a=0\Rightarrow \overrightarrow{H}=-\mathrm{\nabla }{\varphi }_m$$נציב ונקבל ממקסוול:$$\mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0\overrightarrow{H})={\rho }_m=0\Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0\cdot (-\mathrm{\nabla }{\varphi }_m))=0$$קיבלנו את משוואת לפלס:$${\mathrm{\nabla }}^2{\varphi }_m=0$$נפתור את משוואת לפלס עם מקורות משטחיים בלבד:$$\{\begin{array}{l}{\varphi }_m(r>>a)\to 0\\ {\varphi }_m(r\to 0)<\mathrm{\infty }\\ \hat{n}\times ({\overrightarrow{H}}_2-{\overrightarrow{H}}_1)={\overrightarrow{K}}_f=0\\ \hat{n}\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_2-{\mu }_0{\overrightarrow{H}}_1)={\eta }_m={\mu }_{0}M\cos \theta \end{array}$$נבחר פתרון כללי $(l=0,n=1)$:$$\varphi =(c_{1}r+\frac{c_2}{r^2})\cos \theta$$$${\varphi }_{m_1}=Ar\cos \theta ,{\varphi }_{m_2}=\frac{C}{r^2}\cos \theta$$נציב בתנאי השפה:$$Aa\cos \theta =\frac{C}{a^2}\cos \theta \Rightarrow a^{3}A=C$$מתנאי השפה האחרון:$$\hat{r}\cdot [{\mu }_0\cdot (-\mathrm{\nabla }{\varphi }_{m_2})-{\mu }_0(-\mathrm{\nabla }{\varphi }_{m_1})]={\mu }_{0}M\cos \theta$$$$-\frac{\partial {\varphi }_{m_2}}{\partial r}+\frac{\partial {\varphi }_{m_1}}{\partial r}=M\cos \theta \Rightarrow -[\frac{-2C}{a^3}\cos \theta ]+A\cos \theta =M\cos \theta \Rightarrow \frac{2C}{a^3}+A=M$$נקבל את המקדמים:$$A=\frac{M}{3},C=a^3\frac{M}{3}$$נציב את המקדם חזרה בפוטנציאל הראשון:$${\varphi }_{m_1}=\frac{M}{3}r\cos \theta \Rightarrow {\overrightarrow{H}}_1=-\mathrm{\nabla }{\varphi }_{m_1}=-\frac{M}{3}\hat{z}$$נמצא את השדה המגנטי:$$\Rightarrow {\overrightarrow{B}}_1={\mu }_0\cdot ({\overrightarrow{H}}_1+\overrightarrow{M})={\mu }_0\cdot (-\frac{M}{3}\hat{z}+M\hat{z})=\frac{2}{3}{\mu }_{0}M\hat{z}$$כעת נציב את המקדם בפוטנציאל השני:$${\varphi }_{m_1}=\frac{M}{3}\frac{a^3}{r^2}\cos \theta \Rightarrow {\overrightarrow{H}}_2=-\mathrm{\nabla }{\varphi }_{m_2}=\frac{M{a}^3}{3r^3}[2\cos \theta \hat{r}+\sin \theta \hat{\theta }],{\overrightarrow{B}}_2={\mu }_0{\overrightarrow{H}}_2$$תזכורת - שדה מגנטי של דיפול:$${\overrightarrow{H}}_{dip}=\frac{m}{4\pi r^3}[2\cos \theta \hat{r}+\sin \theta \hat{\theta }]$$נשווה מקדמים ונקבל:$$\frac{m}{4\pi }=\frac{M{a}^3}{3}\Rightarrow m=M\cdot \underset{V_{ball}}{\underbrace{\frac{4}{3}\pi a^3}}$$

יחסי חוקה - סוספטביליות מגנטית, פרמאביליות

אם הקשר לינארי:$$\overrightarrow{M}={\chi }_m\overrightarrow{H}\Rightarrow \overrightarrow{B}={\mu }_0(\overrightarrow{H}+\overrightarrow{M})={\mu }_0(1+{\chi }_m)\overrightarrow{H}$$כאשר ${\chi }_m$ הסוספטביליות המגנטית.

משוואות מקסוול בחומר לינארי

נוכל לעדכן את משוואות מקסוול עבור חומרים לינאריים:$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial (\mu \overrightarrow{H})}{\partial t}\\ \mathrm{\nabla }\cdot (ϵ\overrightarrow{E})={\rho }_f\\ \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\frac{\partial (ϵ\overrightarrow{E})}{\partial t}+{\overrightarrow{J}}_f\\ \mathrm{\nabla }\cdot (\mu \overrightarrow{H})=0\\ \hat{n}\times ({\overrightarrow{E}}_2-{\overrightarrow{E}}_1)=0\\ \hat{n}\cdot ({\overrightarrow{ϵ}}_2{\overrightarrow{E}}_2-{ϵ}_1{\overrightarrow{E}}_1)={\eta }_f\\ \hat{n}\times ({\overrightarrow{H}}_2-{\overrightarrow{H}}_1)={\overrightarrow{K}}_f\\ \hat{n}\cdot ({\mu }_2{\overrightarrow{H}}_2+{\mu }_1{\overrightarrow{H}}_1)=0\end{array}$$

חומרים לא מגנטיים (תגובה חלשה)

פאראמגנטים	דיאמגנטים	סוג החומר
$0<{\chi }_m<<1$	$|{\chi }_m|<<1,{\chi }_m<0$	${\chi }_m$

חומרים מגנטיים (תגובה חזקה)

פרומגנטים	פרימגנטים	סוג החומר
תגובה חזקה מאוד, בד"כ לא לינארית	תגובה חזקה מאוד	אופי התגובה