פרק 0 - מבוא מתמטי

בפרק 0 של הקורס שדות אלקטרומגנטיים נחזור ונגדיר מושגים מתמטיים חשובים, שיידרשו להבנת החומר בקורס.

מערכת קורדינטות אורתוגונלית

נגדיר 3 פונקציות

$u_{1} (x, y, z), u_{2} (x, y, z), u_{3} (x, y, z)$

אם המשטחים שווי הערך (כלומר המשטחים המקיימים את המשוואות $u_{i} (x, y, z) = u_{i, 0}$ ) ניצבים זה לזה בכל נקודה ונקודה, הפונקציות מגדירות מערכת קורדינטות אורתוגונלית, והמשוואות הנ"ל מגדירות משטחים שווי קורדינטה. וקטורי היחידה בכיוון הקורדינטות, המסומנים $\hat{u_{i}}$ מוגדרים בכיוון הגדלת הקורדינטה $u_{i}$ כאשר הקורדינטות האחרות קבועות.

יחסים מטריים

אם נניח שניתן להפוך את היחסים, ניתן לרשום את וקטור המיקום על ידי

$\vec{r} = x \hat{x} + y \hat{y} + z \hat{z} = x (u_{1}, u_{2}, u_{3}) \hat{x} + y (u_{1}, u_{2}, u_{3}) \hat{y} + z (u_{1}, u_{2}, u_{3}) \hat{z}$

שינוי קטן בוקטור המיקום הנובע מצעד אינפיטסימלי בכיוון הקורדינטה $u_{1}$ ניתן לרשום על ידי $/ v e c d r = h_{1} d u_{1} \hat{u_{1}}$ כאשר $h_{1}$ הוא היחס המטרי - היחס הקושר בין ערך השנוי בקורדינטה ( $d u_{1}$ ), לגודל הצעד ה"אמיתי" שעשינו במרחב.

$\vec{d r} = h_{1} d u_{1} \hat{u_{1}} = | \frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{1}} | d u_{1} \hat{u_{1}} = | \frac{\partial x}{\partial u_{1}} \hat{x} + \frac{\partial y}{\partial u_{1}} \hat{y} + \frac{\partial z}{\partial u_{1}} \hat{z} | ⟹ h_{1} = {[{(\frac{\partial x}{\partial u_{1}})}^{2} + {(\frac{\partial y}{\partial u_{1}})}^{2} + {(\frac{\partial z}{\partial u_{1}})}^{2}]}^{1 / 2}$

את היחסים המטריים $h_{2}, h_{3}$ ניתן להגדיר באופן אנלוגי לחלוטין, ומכאן ניתן לרשום עבור צעד כללי כלשהו בוקטור המיקום

$\vec{d r} = h_{1} d u_{1} \hat{u_{1}} + h_{2} d u_{2} \hat{u_{2}} + h_{3} d u_{3} \hat{u_{3}}$

וניתן לרשום את אלמנטי האורך בכיוון כל אחת מהקורדינטות בקמצעות קשרים אלו - $d ℓ_{1} = h_{1} d u_{1}, d ℓ_{2} = h_{2} d u_{2}, d ℓ_{3} = h_{3} d u_{3}$ . באופן דומה ניתן להראות ששטחו של אלמנט שטח קטן שנוצר כתוצאה מתוספת אינפיטסימלית לקורדינטות u_2,u_3 לדוגמא יהיה

$d S = h_{2} d u_{2} h_{3} d u_{3} = d ℓ_{2} d ℓ_{3}$

כשטחו של מלבן קטן בעל צלעות $d ℓ_{2}, d ℓ_{3}$ (זה חייב להיות מלבן מאחר ומדובר במערכת קורדינטות אורתוגונלית).

פרק 0 - מבוא מתמטי

מערכת קורדינטות אורתוגונלית

יחסים מטריים

Navigation menu

Search