פרק 13 - אנרגיה

אנרגיה

משפט פוינטינג

בוואקום ראינו את משפט פוינטינג:

$$-\nabla \cdot \underbrace {({\vec {E}}\times {\vec {H}})} _{\vec {S}}={\frac {\partial }{\partial t}}\underbrace {({\frac {\epsilon _{0}}{2}}|{\vec {E}}|^{2}+{\frac {\mu _{0}}{2}}|{\vec {H}}|^{2})} _{\text{stored energy}}+\underbrace {{\vec {E}}\cdot {\vec {J}}} _{\text{conduction power}}$$

כעת, לאחר שפתרנו את משוואות מקסוול בחומר ורכשנו הבנה על התגובה של חומרים לשדות הפועלים בתוכם, ננסה להבין את ההשפעה של מאזן האנרגיה בבעיה. לצורך כך, נביט על:

$$-\nabla \cdot ({\vec {E}}\times {\vec {H}})=-(\nabla \times {\vec {E}})\cdot {\vec {H}}+{\vec {E}}\cdot (\nabla \times {\vec {H}})=-{\vec {H}}\cdot \underbrace {(-\partial _{t}{\vec {B}})} _{Faraday}+{\vec {E}}\cdot \underbrace {({\vec {J}}+\partial _{t}{\vec {D}})} _{Amper}={\vec {H}}\cdot (\partial _{t}{\vec {B}})+{\vec {E}}\cdot ({\vec {J}}+\partial _{t}{\vec {D}})$$

כאשר במעבר הראשון השתמשנו בזהות הוקטורית האהובה:

$$\nabla \cdot (A\times B)=B\cdot (\nabla \times A)-A\cdot (\nabla \times B)$$

נשתמש בהגדרות המוכרות:

$${\vec {D}}=\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}\quad ,\quad {\vec {B}}=\mu _{0}({\vec {H}}+{\vec {M}})\quad ,\quad {\vec {J}}=\underbrace {{\vec {J}}_{cond}} _{conduction}+\underbrace {{\vec {J}}_{s}} _{source}$$

נציב במשוואה שפיתחנו למשפט פוינטינג ונקבל:

$$-\nabla \cdot ({\vec {E}}\times {\vec {H}})={\vec {H}}\cdot \partial _{t}[\mu _{0}({\vec {H}}+{\vec {M}})]+{\vec {E}}\cdot \partial _{t}[\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}]+{\vec {E}}\cdot ({\vec {J}}_{s}+{\vec {J}}_{cond})$$

נסתכל על כל רכיבי המשוואה:

$$-\nabla \cdot (\underbrace {{\vec {E}}\times {\vec {H}}} _{\vec {S}})=\underbrace {{\vec {H}}\cdot \partial _{t}(\mu _{0}{\vec {H}})} _{\partial _{t}W_{H}}+\underbrace {{\vec {H}}\cdot \underbrace {\partial _{t}(\mu _{0}{\vec {M}})} _{{\vec {J}}_{m}}} _{P_{H}}+\underbrace {{\vec {E}}\cdot \partial _{t}(\epsilon _{0}{\vec {E}})} _{\partial _{t}W_{E}}+\underbrace {{\vec {E}}\cdot \underbrace {\partial _{t}{\vec {P}}} _{{\vec {J}}_{p}}} _{P_{E}}+\underbrace {{\vec {E}}\cdot {\vec {J}}_{s}} _{P_{S}}+\underbrace {{\vec {E}}\cdot {\vec {J}}_{cond}} _{P_{cond}=\sigma |{\vec {E}}|^{2}}$$

כאשר הגדרנו:

הגדרות

סימון	משמעות	יחידות
${\vec {S}}$	וקטור פוינטינג - וקטור צפיפות שטף ההספק	${\frac {Watt}{m^{2}}}$
$\partial _{t}W_{H}=\partial _{t}\left({\frac {1}{2}}\epsilon _{0}|{\vec {E}}|^{2}\right)$	צפיפות ההספק המושקעת בבניית האנרגיה המגנטית האגורה בשדה המגנטי H	${\frac {Watt}{m^{3}}}$
$\partial _{t}W_{E}=\partial _{t}\left({\frac {1}{2}}\mu _{0}|{\vec {H}}|^{2}\right)$	צפיפות ההספק המושקעת בבניית האנרגיה החשמלית האגורה בשדה החשמלי E	${\frac {Watt}{m^{3}}}$
$P_{H}$	צפיפות הספק המגנטיזציה	${\frac {Watt}{m^{3}}}$
$P_{E}$	צפיפות הספק הפולריזציה	${\frac {Watt}{m^{3}}}$
$P_{S}$	צפיפות הספק המקורות	${\frac {Watt}{m^{3}}}$
$P_{cond}$	צפיפות הספק ההולכה	${\frac {Watt}{m^{3}}}$

איברים חיוביים - הספק מתבזבז. למה?

גם רואים את זה מהספק ההולכה, שאנחנו יודעים ויודעות שמבזבז אנרגיה במקרה האוהמי הפשוט.

הספק מקורות (איור 1)

איור 1

במקור ${\vec {E}}$ ו ${\vec {J}}$ בכיוונים הפוכים, ולכן ${\vec {E}}\cdot {\vec {J}}<0$ ויש הספק שמסופק ע"י המקור.

$${\vec {E}}\cdot {\vec {J}}<0\Rightarrow {\text{Providing Energy}}$$

$${\vec {E}}\cdot {\vec {J}}>0\Rightarrow {\text{dissipating Energy}}$$

הספק פולריזציה (איור 2)

איור 2

אם נסתכל על מקרה של חומר פסיבי, המתואר בצד שמאל של איור 2, ונחשב את העבודה המושקעת בבניית הפולריזציה מ-0 עד לערך מסוים, ע"י

$$P_{p}={\vec {E}}\cdot \partial _{t}{\vec {P}}\Rightarrow W_{p}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {E}}\cdot \partial _{t}{\vec {P}}\cdot dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {E}}\cdot {\frac {\partial {\vec {P}}}{\partial t}}\cdot dt=\int _{P_{1}}^{P_{2}}{\vec {E}}\cdot d{\vec {P}}$$

נקבל ערך חיובי. אם כעת נחזור חזרה למצב ללא פולריזציה נקבל $W_{p,\ 0\rightarrow E_{0}\rightarrow 0}=0$. לעומת זאת, בחומר המאופיין על ידי לולאת היסטרזיס, כפי שמתואר בצד ימין של איור 2, העבודה המושקעת בבניית הפולריזציה לא "מוחזרת" במלואה כאשר הפולריזציה יורדת חזרה. מאחר והאינטגרציה בשני הכיוונים מתבצעת על קווים שונים בתרשים (כתום וכחול, או צהוב וכחול, כתלות במצב ההתחלתי).

במקרה מחזורי $E_{0}\rightarrow -E_{0}\rightarrow E_{0}$, לדוגמה $E(t)=E_{0}\cos(\omega t)$, ההפסד במחזור שלם הוא שטח הלולאה $W_{p,\ 0\rightarrow E_{0}\rightarrow 0}>0$.

הספק פולריזציה - חומר דיאלקטרי

$$P_{p}={\vec {E}}\cdot \partial _{t}{\vec {P}}={\vec {E}}\cdot \partial _{t}\epsilon _{0}\chi _{E}{\vec {E}}$$

אם $\chi _{E}$ לא תלוי בזמן, ניתן לרשום:

$$P_{p}={\vec {E}}\cdot \partial _{t}{\vec {P}}=\epsilon _{0}\chi _{E}{\vec {E}}\cdot \partial _{t}{\vec {E}}=\epsilon _{0}\chi _{E}\cdot {\frac {1}{2}}\partial _{t}|{\vec {E}}|^{2}$$

ניתן במקרה זה "לצרף" את הספק הפולריזציה לאנרגיה האגורה.

$$W_{E}+W_{P}={\frac {1}{2}}\partial _{t}\epsilon _{0}|{\vec {E}}|^{2}+{\frac {1}{2}}\partial _{t}\epsilon _{0}\chi _{E}|{\vec {E}}|^{2}={\frac {1}{2}}\partial _{t}(1+\chi _{E})|{\vec {E}}|^{2}\epsilon _{0}={\frac {1}{2}}\partial _{t}\epsilon |{\vec {E}}|^{2}=W_{E,material}$$

הספק מגנטי

הגדרנו את צפיפות הספק המגנטיזציה כך:

$$P_{m}={\vec {H}}\cdot \mu _{0}{\frac {\partial {\vec {M}}}{\partial t}}$$

לכן, נוכל לחשב את ההספק המגנטי:

$$\Rightarrow W_{m}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {H}}\cdot \mu _{0}{\frac {\partial {\vec {M}}}{\partial t}}dt=\mu _{0}\int _{M_{1}}^{M_{2}}{\vec {H}}\cdot d{\vec {M}}$$

אם החומר מגיב ע"י:

$$M=\chi _{m}{\vec {H}}$$

אז התמונה זהה למצב של חומר דיאלקטרי.

משפט פוינטינג בחומרים לינאריים

אם יש חומר לינארי לגמרי שבו ${\vec {D}}=\epsilon {\vec {E}}\ ,\ {\vec {B}}=\mu {\vec {H}}$

אז ניתן לכתוב את משפט פוינטינג באופן הבא:

$$-\nabla \cdot ({\vec {E}}\times {\vec {H}})={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\epsilon }{2}}|{\vec {E}}|^{2}\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\mu }{2}}|{\vec {H}}|^{2}\right)+\sigma |{\vec {E}}|^{2}+{\vec {E}}\cdot {\vec {J}}_{S}$$

כלומר, בחומר לינארי ניתן להגדיר מחדש את הביטויים לאנרגיה האגורה כך שיכללו את תכונות החומר, הבאות לידי ביטוי בערכי הפרמיטיביות $\epsilon$ והפרמאביליות $\mu$.