פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר

כפי שראינו בפרק על פולריזציה, חומרים יכולים להגיב לנוכחותו של שדה חשמלי לידם / בתוכם. תגובה זו מתרחשת (אם כי בעקבות מנגנונים פיזיקליים שונים) גם כאשר חומר נחשף לשדה מגנטי.

כאשר שוחחנו על חומרים חשמליים, תארנו באופן קלאסי את תגובתם על ידי "הסטת" ענן אלקטרונים ביחס לגרעין, מה שגורם להיווצרות מומנט דיפול באטום / מולקולה.

כעת, ננסה להבין את התופעות המתרחשות בתוך החומר המאפשרות או יוצרות את התגובה של החומר לשדה מגנטי.

ראשית, ניזכר בתיאור שקיבלנו עבור דיפול מגנטי. בהרצאה על מגנטוסטטיקה ראינו שלולאת זרם קטנה יוצרת שדה מגנטי שמשתנה כשדה של דיפול, כאשר מומנט הדיפול היה $m=I\cdot A$ .

את האטומים של החומר, ניתן לתאר באמצות לולאות זרם קטנות של דיפולים מגנטיים.

שדות מגנטיים בחומר

מנגנוני מגנטיזציה

איור 1

את הזרם, או את הדיפול באופן שקול, נהוג לייחס ל - 2 מנגנונים עיקריים:

• Spin Magnetization (איור 1) - דיפול מגנטי שקיים באופן טבעי בחלקיקים המרכיבים את האטום - אלקטרונים, פרוטונים וניורוטונים. במצב טבעי, דיפולים אלו במצאים באורינטציה אקראית בחומר והדיפול הממוצע הוא אפס.
• Orbital Magnetization (איור 2) - דיפול מגנטי הנובע מהתנועה המעגלית שמבצעים האלקטרונים סביב הגרעיון - מתנהגים כטבעת זרם קטנה.

מכאן, הפעלת שדה מגנטי חיצוני יכולה להשפיע על החומר (או על הדיפולים בחומר) ב - 2 דרכים שונות:

איור 2

1. לסובב וליישר את הדיפולים ה"טבעיים" הקיימים, כך שיווצר עבורה כיוון מועדף, ואז הדיפול הממוצע לא יהיה אפס.
2. לשנות את גודלו של הזרם בלולאות כך שעוצמת הדיפול תשתנה. דבר זה קורה בעקבות כא"מ מושרה בלולאות.

דיאמגנטים - Orbital Magnetization (איור 3)

איור 3

נסתכל על טבעת זרם.

נניח כי הזרם נוצר כתוצאה של תנועה של חלקיקים בעלי מסה q ומטען m.

כעת, נניח שנדליק אט - אט שדה מגנטי הניצג ללולאה מחוק פארדיי:

$$\underset{loop}{\int }\overrightarrow{E}\cdot dl=-\frac{d}{dt}\iint ({\mu }_0\overrightarrow{H})\hat{n}dS$$$$\Rightarrow E\cdot 2\pi r=-\frac{dB}{dt}\cdot \pi r^2\Rightarrow E=-\frac{r}{2}{\mu }_0\frac{d\overrightarrow{H}}{dt}$$כלומר, בעקבות שינוי השטף נוצר שדה חשמלי היקפי המפעיל כוח על המטענים הזורמים בטבעת.

סימן המינוס מרמז על כך שהכוח יפעל על הזרם כדי "לזרז" את השינוי בשטף (עיקרון לנץ).

בסך הכל, אם נבצע "רעיונית" אינטגרציה בזמן, נגלה שבכל תהליך ההפעלה של $\overrightarrow{B}$ פעל כוח על המטענים בטבעת והקטין את הזרם, ולכן הקטין את מומנט הדיפול.

או, בשפה מעט יותר מתאימה, הפעלת השדה המגנטי $\overrightarrow{H}$, הוסיפה לחומר דיפול המנוגד לכיוונו של $\overrightarrow{H}$.

חומרים המגיבים בעזרת מנגנון זה נקראים דיאמגנטיים.

דוגמאות - כספית, כסף, ביסמוט, נחושת, מים.

פאראמגנטים(Paramagnets), פרומגנטים(Ferromagnets) - Spin Magnetization

כאשר החומר מורכב מדיפולים של spin, הפעלה של שדה חיצוני "תסדר" את הדיפולים בכיוון השדה, ולכן תוסיף לחומר דיפול ממוצע בכיוון השדה.

חומרים אלו נראים פאראמגנטיים.

יש חומרים מסוימים שעבורם יש בחומר דיפולים ומבנה המאפשרית תגובה מאוד חזקה באופן הזה אלו נקראים פרומגנטיים (ברזל, קובלט), ותגובתם לשדה מגנטי חזקה מאוד.

חשוב לציין: כדי לנתח באופן כמותי תופעות מגנטיות בחומר, יש להשתמש בכלים ממכניקת הקוונטים - אלו אינן תופעות בעולם הקלאסי.

עם זאת, ולמרות היותו שגוי, ההסבר הקלאסי יכול להיות אינטואיטיבי, ואפילו לפרקים לתת תוצאות כמותיות נכונות.

וקטור מגנטיזציה - $\overrightarrow{M}$

כעת, כאשר התרשמנו וקיבלנו קצת אינטואיציה על המנגנונים היוצרים את המגניטציה, נרצה לקבל תאור כמותי. גם כאן נגדיר לנו את $\overrightarrow{M}$ - וקטור המגנטיזציה המייצג את הצפיפות המגנטית בחומר. נסתכל על אלמנט מגנטיזציה קטן:$$d\overrightarrow{m}=\sum \overrightarrow{m}=\overrightarrow{M}\cdot dv\iff \frac{d\overrightarrow{m}}{dv}=\overrightarrow{M}$$ישנם שני מודלים לתיאור המקורות השקולים המייצגים את המגנטיזציה:

1. מודל הזרם האמפרי
2. מודל המטען המגנטי

1.מודל הזרם האמפרי (איורים 5,4)

איור 4

איור 5

כאשר באזור מסוים משתנה המגנטיזציה, תהיה צפיפות זרם שקולה המייצגת שינוי זה.

נרצה לשכנע שמתקיים: ${\overrightarrow{J}}_a=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{M}$. נתחיל מלהסתכל שוב על אלמנט מגנטיזציה קטן:$$d\overrightarrow{m}=\overrightarrow{M}(d\overrightarrow{l}\cdot d\overrightarrow{a})=(\overrightarrow{M}\cdot d\overrightarrow{l})d\overrightarrow{a}$$מתקיים $I=\overrightarrow{M}\cdot d\overrightarrow{l}$ ולכן:$$d\overrightarrow{m}=Id\overrightarrow{a}$$קיבלנו את התוצאה שקיבלנו דרך מגנטוסטטיקה עבור מומנט הדיפול של לולאת זרם בשטח $d\overrightarrow{a}$.

מה סך הזרם שעובר דרך הלולאה שהגדרנו?$$I=\oint \overrightarrow{M}\cdot d\overrightarrow{l}$$מצד אחד, ישנו הקשר בין הזרם לצפיפות הזרם:$$I=\iint {\overrightarrow{J}}_a\cdot d\overrightarrow{a}$$מצד שני, לפי משפט סטוקס נוכל לומר:$$\oint \overrightarrow{M}\cdot d\overrightarrow{l}=\iint \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{M}\cdot d\overrightarrow{a}$$מאחר שאין תלות בלולאה בה נבחר, נקבל את השוויון:$${\overrightarrow{J}}_a=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{M}$$והוכחנו.

זרמי מגנטיזציה משטחיים

איור 6

נמצא תנאי שפה במעבר בין תווכים בהם $\overrightarrow{H}$ שונה:$$\text{(1) }\mathrm{\nabla }\times H=J+\frac{\partial D}{\partial t}\Rightarrow \hat{n}\times ({\overrightarrow{H}}_2-{\overrightarrow{H}}_1)=\overrightarrow{k}$$ובין תווכים בהם $\overrightarrow{M}$ שונה:$$\text{(2) }\mathrm{\nabla }\times M=J_a\Rightarrow \hat{n}\times ({\overrightarrow{M}}_2-{\overrightarrow{M}}_1)={\overrightarrow{k}}_a$$

משוואות מקסוול בחומר

נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות מגנטיזציה:$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_a)}{\partial t}\\ \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{D}={\rho }_f\\ \mathrm{\nabla }\times {\overrightarrow{H}}_a=\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}+{\overrightarrow{J}}_f+\underset{\overrightarrow{J_a}}{\underbrace{\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{M}}}\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_a)=0\end{array}$$ותנאי השפה:$$\{\begin{array}{l}\hat{n}\times ({\overrightarrow{E}}_2-{\overrightarrow{E}}_1)=0\\ \hat{n}\cdot ({\overrightarrow{D}}_2-{\overrightarrow{D}}_1)={\eta }_f\\ \hat{n}\times ({\overrightarrow{H}}_{a,2}-{\overrightarrow{H}}_{a,1})={\overrightarrow{K}}_f+\underset{\overrightarrow{K_a}}{\underbrace{\hat{n}\times ({\overrightarrow{M}}_2-{\overrightarrow{M}}_1)}}\\ \hat{n}\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_{a,2}-{\mu }_0{\overrightarrow{H}}_{a,1})=0\end{array}$$

2. מודל המטענים המגנטיים (איור 7)

איור 7

למרות שעד כה אין ראיות להמצאות מטענים מגנטיים "בודדים" (מונופולים) בטבע, לפחות מתמטית ניתן להניח את קיומם כדי לבנות מודל שמתבסס על השוואה בין פולריזציה לבין המגנטיזציה:$$\overrightarrow{P}\iff {\mu }_0\overrightarrow{M}$$צפיפות המטען הנפחית:$${\rho }_p=-\mathrm{\nabla }\cdot P\iff {\rho }_m=-\mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0\overrightarrow{M})$$צפיפות הזרם:$$\overrightarrow{J_p}=\frac{\partial \overrightarrow{P}}{\partial t}\iff \overrightarrow{J_m}=\frac{\partial }{\partial t}({\mu }_0\overrightarrow{M})$$צפיפות המטען המשטחית:$${\eta }_p=-\hat{n}\cdot ({\overrightarrow{P}}_2-{\overrightarrow{P}}_1)\iff {\eta }_m=-\hat{n}\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{M}}_2-{\mu }_0{\overrightarrow{M}}_1)$$

חוק שימור המטען המגנטי

קיבלנו את הביטוי לצפיפות המטען המשטחית:$${\eta }_m=-\hat{n}\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{M}}_2-{\mu }_0{\overrightarrow{M}}_1)$$נגזור אותו בזמן:$$\frac{\partial {\eta }_m}{\partial t}=-\hat{n}\cdot ({\mu }_0\overrightarrow{\frac{\partial M_2}{\partial t}}-{\mu }_0\frac{\partial {\overrightarrow{M}}_1}{\partial t})=-\hat{n}\cdot (\overrightarrow{J_{m_2}}-\overrightarrow{J_{m_1}})$$וקיבלנו את חוק שימור המטען המגנטי:$$-\frac{\partial {\eta }_m}{\partial t}=\hat{n}\cdot (\overrightarrow{J_{m_2}}-\overrightarrow{J_{m_1}})$$

משוואות מקסוול במודל המטען (אנלוגיה עם מודל הפולריזציה החשמלית)

נרשום את משוואות מקסוול:$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_{0}E)={\rho }_f+(-\mathrm{\nabla }\cdot P)\\ \mathrm{\nabla }\times H=\frac{\partial ({ϵ}_{0}E)}{\partial t}+J_f+\frac{\partial P}{\partial t}\\ \hat{n}\cdot ({ϵ}_0{E}_2-{ϵ}_0{E}_1)={\eta }_f+(-\hat{n}\cdot [P_2-P_1])\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0\overrightarrow{H})=\underset{=0}{\underbrace{{\rho }_{mf}}}+{\rho }_m={\rho }_m\\ \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial }{\partial t}({\mu }_0\overrightarrow{H})-\underset{J_m}{\underbrace{\frac{\partial }{\partial t}({\mu }_0\overrightarrow{M})}}-\underset{=0}{\underbrace{J_{mf}}}\\ \hat{n}\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_2-{\mu }_0{\overrightarrow{H}}_1)=\underset{=0}{\underbrace{{\eta }_{mf}}}+{\eta }_m=-\hat{n}\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{M}}_2-{\mu }_0{\overrightarrow{M}}_1)\end{array}$$

סיכום המודלים - משוואות מקסוול בחומר

מודל הזרם האמפרי:$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_a)}{\partial t}\\ \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{D}={\rho }_f\\ \mathrm{\nabla }\times ({\overrightarrow{H}}_a-\overrightarrow{M})=\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}+{\overrightarrow{J}}_f\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_a)=0\\ \hat{n}\times ({\overrightarrow{E}}_2-{\overrightarrow{E}}_1)=0\\ \hat{n}\cdot ({\overrightarrow{D}}_2-{\overrightarrow{D}}_1)={\eta }_f\\ \hat{n}\times ([{\overrightarrow{H}}_{a,2}-{\overrightarrow{M}}_2]-[{\overrightarrow{H}}_{a,1}-{\overrightarrow{M}}_1])={\overrightarrow{K}}_f\\ \hat{n}\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_{a,2}-{\mu }_0{\overrightarrow{H}}_{a,1})=0\end{array}$$מודל המטען המגנטי:$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_a)}{\partial t}\\ \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{D}={\rho }_f\\ \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}+{\overrightarrow{J}}_f\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0[\overrightarrow{H}+\overrightarrow{M}])=0\\ \hat{n}\times ({\overrightarrow{E}}_2-{\overrightarrow{E}}_1)=0\\ \hat{n}\cdot ({\overrightarrow{D}}_2-{\overrightarrow{D}}_1)={\eta }_f\\ \hat{n}\times ({\overrightarrow{H}}_2-{\overrightarrow{H}}_1)={\overrightarrow{K}}_f\\ \hat{n}\cdot ({\mu }_0[{\overrightarrow{H}}_2+{\overrightarrow{M}}_2]-{\mu }_0[{\overrightarrow{H}}_1+{\overrightarrow{M}}_1])=0\end{array}$$נשים לב לכך שאם נגדיר $\overrightarrow{H}+\overrightarrow{M}={\overrightarrow{H}}_a$ נקבל בדיוק את אותן משוואות!

משוואות מקסוול בחומר - צפיפות השטף המגנטי

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial B}{\partial t}\\ \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{D}={\rho }_f\\ \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}+{\overrightarrow{J}}_f\\ \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{B}=0\\ \hat{n}\times ({\overrightarrow{E}}_2-{\overrightarrow{E}}_1)=0\\ \hat{n}\cdot ({\overrightarrow{D}}_2-{\overrightarrow{D}}_1)={\eta }_f\\ \hat{n}\times ({\overrightarrow{H}}_2-{\overrightarrow{H}}_1)={\overrightarrow{K}}_f\\ \hat{n}\cdot ({\overrightarrow{B}}_2-{\overrightarrow{B}}_1)=0\end{array}$$נגדיר $\overrightarrow{B}={\mu }_0{\overrightarrow{H}}_a={\mu }_0(\overrightarrow{H}+\overrightarrow{M})$ צפיפות השטף המגנטי.

תזכורת: $\overrightarrow{D}={ϵ}_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}$

דוגמה 1 (איור 8)

איור 8

גליל קטן בעל מגנטיזציה אחידה $\overrightarrow{M}=M\hat{z}$.

מודל המטען:$${\rho }_m=-\mathrm{\nabla }\cdot ({\overrightarrow{\mu }}_0\overrightarrow{M})=0$$צפיפות המטען המשטחית על חלקו העליון של הגליל:$${\eta }_{m,top}=-\hat{z}\cdot (0-{\mu }_{0}M\hat{z})={\mu }_{0}M$$צפיפות המטען המשטחית בתחתית הגליל:$${\eta }_{m,bottom}=-\hat{z}\cdot ({\mu }_{0}M\hat{z}-0)=-{\mu }_{0}M$$רחוק מאוד מהגליל נראה דיפול בעל מגנטיזציה:$$\overrightarrow{m}=\overrightarrow{M}\cdot V=M\pi a^{2}h\hat{z}$$אם נסתכל על הגליל כדיפול נקבל:$${\mu }_0\overrightarrow{m}={\mu }_{0}M\pi a^2\cdot h\hat{z}$$קיבלנו את אותו הביטוי! כעת אפשר להציב בביטוי לשדה דיפולי.

מודל הזרם האמפרי:$${\overrightarrow{J}}_a=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{M}=0$$$${\overrightarrow{K}}_a=\hat{r}\times (0-M\hat{z})=M\hat{\phi }$$$${\overrightarrow{H}}_a=\overrightarrow{H}+\overrightarrow{M}\Rightarrow \overrightarrow{B}=\stackrel{\text{connection between models}}{\overbrace{{\mu }_0{\overrightarrow{H}}_a={\mu }_0(\overrightarrow{H}+\overrightarrow{M})}}$$

דוגמה 2 (איור 9)

איור 9

כדור בעל מגנטיזציה אחידה. מהו $\overrightarrow{B}$ בכל המרחב?

נשתמש במודל המטען:$${\eta }_m=-\hat{n}\cdot ({\overrightarrow{M}}_{out}-{\overrightarrow{M}}_{in}){\mu }_0=-\hat{r}\cdot (0-M\hat{z}{\mu }_0)=M\hat{r}\cdot \hat{z}{\mu }_0=M\cos \theta {\mu }_0$$צפיפות המטען:$${\rho }_m=-\mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0\overrightarrow{M})=0$$נפתור באמצעות פוטנציאל סקלרי:$$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\underset{=0}{\underbrace{{\overrightarrow{J}}_f}}+\underset{=0\text{ static}}{\underbrace{\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}}}+\underset{=0\text{ Not using this field}}{\underbrace{{\overrightarrow{J}}_a}}=0\Rightarrow \overrightarrow{H}=-\mathrm{\nabla }{\varphi }_m$$נציב ונקבל ממקסוול:$$\mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0\overrightarrow{H})={\rho }_m=0\Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_0\cdot (-\mathrm{\nabla }{\varphi }_m))=0$$קיבלנו את משוואת לפלס:$${\mathrm{\nabla }}^2{\varphi }_m=0$$נפתור את משוואת לפלס עם מקורות משטחיים בלבד:$$\{\begin{array}{l}{\varphi }_m(r>>a)\to 0\\ {\varphi }_m(r\to 0)<\mathrm{\infty }\\ \hat{n}\times ({\overrightarrow{H}}_2-{\overrightarrow{H}}_1)={\overrightarrow{K}}_f=0\\ \hat{n}\cdot ({\mu }_0{\overrightarrow{H}}_2-{\mu }_0{\overrightarrow{H}}_1)={\eta }_m={\mu }_{0}M\cos \theta \end{array}$$נבחר פתרון כללי $(l=0,n=1)$:$$\varphi =(c_{1}r+\frac{c_2}{r^2})\cos \theta$$$${\varphi }_{m_1}=Ar\cos \theta ,{\varphi }_{m_2}=\frac{C}{r^2}\cos \theta$$נציב בתנאי השפה:$$Aa\cos \theta =\frac{C}{a^2}\cos \theta \Rightarrow a^{3}A=C$$מתנאי השפה האחרון:$$\hat{r}\cdot [{\mu }_0\cdot (-\mathrm{\nabla }{\varphi }_{m_2})-{\mu }_0(-\mathrm{\nabla }{\varphi }_{m_1})]={\mu }_{0}M\cos \theta$$$$-\frac{\partial {\varphi }_{m_2}}{\partial r}+\frac{\partial {\varphi }_{m_1}}{\partial r}=M\cos \theta \Rightarrow -[\frac{-2C}{a^3}\cos \theta ]+A\cos \theta =M\cos \theta \Rightarrow \frac{2C}{a^3}+A=M$$נקבל את המקדמים:$$A=\frac{M}{3},C=a^3\frac{M}{3}$$נציב את המקדם חזרה בפוטנציאל הראשון:$${\varphi }_{m_1}=\frac{M}{3}r\cos \theta \Rightarrow {\overrightarrow{H}}_1=-\mathrm{\nabla }{\varphi }_{m_1}=-\frac{M}{3}\hat{z}$$נמצא את השדה המגנטי:$$\Rightarrow {\overrightarrow{B}}_1={\mu }_0\cdot ({\overrightarrow{H}}_1+\overrightarrow{M})={\mu }_0\cdot (-\frac{M}{3}\hat{z}+M\hat{z})=\frac{2}{3}{\mu }_{0}M\hat{z}$$כעת נציב את המקדם בפוטנציאל השני:$${\varphi }_{m_2}=\frac{M}{3}\frac{a^3}{r^2}\cos \theta \Rightarrow {\overrightarrow{H}}_2=-\mathrm{\nabla }{\varphi }_{m_2}=\frac{M{a}^3}{3r^3}[2\cos \theta \hat{r}+\sin \theta \hat{\theta }],{\overrightarrow{B}}_2={\mu }_0{\overrightarrow{H}}_2$$תזכורת - שדה מגנטי של דיפול:$${\overrightarrow{H}}_{dip}=\frac{m}{4\pi r^3}[2\cos \theta \hat{r}+\sin \theta \hat{\theta }]$$נשווה מקדמים ונקבל:$$\frac{m}{4\pi }=\frac{M{a}^3}{3}\Rightarrow m=M\cdot \underset{V_{ball}}{\underbrace{\frac{4}{3}\pi a^3}}$$

יחסי חוקה - סוספטביליות מגנטית, פרמאביליות

איור 10 - קשר לינארי, והיסטרזיס של חומרים מגנטיים

כפי שראינו במקרה החשמלי, גם כאן תכונות החומר מתוארות על ידי ביטוי בקשר $\overrightarrow{M}\to \overrightarrow{H}$.

עבור שדה מגנטי, המקרה בו היחס אינו לינארי נפוץ מאוד.

אך, בכל זאת קיימות סיטואציות רבות בהן ניתן להגדיר את הקשר באופן לינארי, ולקבל:$$\overrightarrow{M}={\chi }_m\overrightarrow{H}\Rightarrow \overrightarrow{B}={\mu }_0(\overrightarrow{H}+\overrightarrow{M})=\stackrel{\equiv \mu }{\overbrace{{\mu }_0\underset{\equiv {\mu }_r}{\underbrace{(1+{\chi }_m)}}}}\overrightarrow{H}$$כאשר ${\chi }_m$ הסוספטביליות המגנטית.

משוואות מקסוול בחומר לינארי

נוכל לעדכן את משוואות מקסוול עבור חומרים לינאריים:$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial (\mu \overrightarrow{H})}{\partial t}\\ \mathrm{\nabla }\cdot (ϵ\overrightarrow{E})={\rho }_f\\ \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\frac{\partial (ϵ\overrightarrow{E})}{\partial t}+{\overrightarrow{J}}_f\\ \mathrm{\nabla }\cdot (\mu \overrightarrow{H})=0\\ \hat{n}\times ({\overrightarrow{E}}_2-{\overrightarrow{E}}_1)=0\\ \hat{n}\cdot ({ϵ}_2{\overrightarrow{E}}_2-{ϵ}_1{\overrightarrow{E}}_1)={\eta }_f\\ \hat{n}\times ({\overrightarrow{H}}_2-{\overrightarrow{H}}_1)={\overrightarrow{K}}_f\\ \hat{n}\cdot ({\mu }_2{\overrightarrow{H}}_2-{\mu }_1{\overrightarrow{H}}_1)=0\end{array}$$

חומרים לא מגנטיים

• חומרים פאראמגנטיים - כפי שאמרנו, התגובה חלשה והדיפולים יכולים להסתדר בכיוון $\overrightarrow{A}$. לכן, $0<{\chi }_m<<1$
• חומרים דיאמגנטיים - כתוצאה מתגובה השראתית, הדיפול משתנה כדי לאזר שינוי כשטף. מתוך עיקרון לנץ התגובה בכיוון הפוך ל - $\overrightarrow{H}$ שמעורר, ולכן ${\chi }_m<0,|{\chi }_m|<<1$.

חומרים לא מגנטיים (תגובה חלשה) (סיכום)

פאראמגנטים	דיאמגנטים	סוג החומר
$0<{\chi }_m<<1$	$|{\chi }_m|<<1,{\chi }_m<0$	${\chi }_m$

חומרים מגנטיים

• חומרים פרומגנטיים - חומרים בעלי תגובה חזקה מאוד לשדה מגנטי. מבנה האטום, והאלקטרונים בקליפה גורמים לאינטרקציה בין הדיפולים המגנטיים בחומר, מה שגורם להן להסתדר בכיוון זהה. בחומרים אלו כאשר מכבים את השדה המגנטי נשארת מגנטיזציה שיורית, ויש להשקיע אנרגיה כדי לבטלה (לדוגמא לחמם מתכת) בד"כ במתכות מעבר כגון ברזל, ניקל, קובלט. תגובה חזקה זו גורמת לערכי ${\chi }_m$ מאוד גבוהים (${\chi }_m>1000$).
• חומרים פרימגנטיים - גם בעלי תגובה חזקה. מנגנון המגנוט מורכבים, יש בהם 2 אטומים שונים בעלי מומנט דיפול שונה שיכולים להסתדר הפוך, ולהשאיר דיפול שקול שונה.

חומרים מגנטיים (תגובה חזקה) (סיכום)

פרומגנטים	פרימגנטים	סוג החומר
תגובה חזקה מאוד, בד"כ לא לינארית	תגובה חזקה מאוד	אופי התגובה