Editing פרק 6 - פתרון משוואה לפלאס - תכונות, ופתרון בהפרדת משתנים בקורדינטות קרטזיות (section)

==== קורדינטות קרטזיות - דוגמא 2 ====
[[File:Pic605.png|200px|thumb|left|איור 5]]

באיור 5 נתון המבנה הבא - חריץ דו-ממדי (אינסופי בכיוון הניצב לדף), ומעליו קובעים את הפוטנציאל על השפה העליונה, <math display="inline"> \phi(y=a)=V(x) </math>.
נרצה לחשב את הפוטנציאל בתוך החריץ.

מאחר והבעיה דו-ממדית, נצפה שהפוטנציאל כלל לא יהיה תלוי בקורדינטה <math> z </math>, ולכן <math> k_z=0 </math>.
המשוואה שהפוטנציאל מקיים בתוך החריץ היא משוואת לפלאס, ולכן אנו יכולים לבחור את הפתרון מתוך "קטלוג" הפתרונות שפיתחנו לבעיות קרטזיות. 

<math display="block">\begin{cases} 
\text{No charge: } \nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}=0 \\
\text{Static problem: } \nabla \times \vec E = \mu_0 \frac{\partial H}{\partial t}=0 
\Rightarrow \vec E = -\nabla \phi
\end{cases}</math>

תנאי שפה:
<math display="block">\begin{cases} 
\phi(x=0)=\phi(x=d)=0 \\
\phi(y=0)=0 \\ 
\phi(y=a)=V(x) 
\end{cases}</math><math display="block">k_x^2+k_y^2=0\Rightarrow
|k_x|=|k_y|\equiv k</math>ולכן נכתוב את הפיתרון כך:

<math display="block">\phi = (A\sin(k x) + B\cos(k x))\cdot (C\sinh(k y) + D\cosh(k y))</math>
כאשר האינטואיציה לבחירת צורה זו נובעת מהעובדה שהפוטנציאל בבעיה זו מתאפס בשתי קורדינטות <math> X </math> שונות, ולכן בכיוון זה חייב להיות פתרון טריגונומטרי. נציב בתנאי שפה:

<math display="block">\begin{cases} 
\phi(x=0)=B\cdot f(y)=0 \Rightarrow B=0 \\ 
\phi(x=d)=A\sin(k d)\cdot f(y)=0 \Rightarrow \sin(kd)=0\Rightarrow k=\frac{\pi n}{d} , n\in\N\\ 
\phi(y=0)=g(x)\cdot D=0 \Rightarrow D=0
\end{cases}
</math>
עד כה, את הפיתרון ניתן לייצג באופן הבא:

<math display="block">
\phi = \sum_n \tilde A_n \sin(\frac{\pi n}{d}x) 
\underbrace{\sinh(\frac{\pi n a}{d})}_{\text{Constant}} =V(x)
</math>
ניתן לכתוב לפיכך:

<math display="block">\phi = \sum_n \tilde B_n \sin(\frac{\pi n}{d} x), \tilde B_n\equiv \tilde A_n
\sinh(\frac{\pi n a}{d})</math>
הערות:

# הטור הוא מייצג של פיתוח של פונקציות מחזוריות. נשאלת השאלה - אז איזו פונקציה אנחנו מפתחים לטור?
# מה המחזור של הפונקציה שמיוצגת על ידי הטור הנתון?

המחזור הכי גדול הוא של האיבר הראשון <math>\sin(\frac{\pi x}{d})</math>, שהמחזור שלו הוא <math> 2d </math>. נסיק כי המחזור של הפונקציה הוא <math> 2d </math>.

לפונקציה המחזורית המלאה נקרא <math>\tilde V(x)</math>.

בתחום <math>0<x<d</math> מתקיים: <math>\tilde V(x) = V(x)</math>. מאחר ומדובר בפיתוח לטור סינוסים נרחיב את הפונקציה <math> V(x) </math> הנתונה הרחבה אי-זוגית כדי לקבל את <math> \tilde{V}(x) </math>, למחזור של <math> 2d </math>.

עכשיו רק נותר למצוא את המקדמים בפיתוח של <math>\tilde V(x)</math> לטור הסינוסים:

<math display="block">\tilde V(x) = \sum_n B_n \sin(\frac{\pi n}{d} x) \text{ (*)}</math>
נשתמש בפונקציה <math>V(x)=V_0</math>:

נכפול את הביטוי (*) ב <math>\int_{-d}^d \sin(\frac{\pi}{d} mx) dx</math>:

<math display="block">
\int_{-d}^d \sum_n \tilde B_n \sin(\frac{\pi}{d} nx) \sin(\frac{\pi}{d}mx) dx=
\int_{-d}^d \sin(\frac{\pi}{d} mx) \cdot \tilde V(x) dx
</math>

נשתמש בעובדה שבאגף ימין יש אינטגרציה על פונקציה זוגית בקטע סימטרי, ובנוסף באורתוגונליות של פונקציות הבסיס באגף שמאל:

<math display="block">
\tilde B_m \int_{-d}^d \sin^2(mx)dx =
2\int^d_0 V_0 \sin(\frac{\pi}{d} mx) dx
</math>

נקבל:

<math display="block">
\tilde B_m \cdot d =
2\int_0^d V_0 \sin\left(mx \cdot \frac{\pi}{d}\right)  dx</math><math display="block">\Rightarrow \tilde B_m = 
\frac{4 V_0}{\pi m} \cdot 
\begin{cases} 0 , & \text{if }m\text{ is even} \\ 1, & \text{if }m\text{ is odd} \end{cases}
</math>

<math display="block">
\Rightarrow
\phi = \sum_n \frac{4V_0}{(2n-1)\pi} \cdot 
\frac{1}{\sinh\left[\frac{\pi a}{d}\cdot (2n-1)\right]}\cdot
\sin\left(\frac{(2n-1)\cdot \pi x}{d}\right)\cdot
\sinh\left[\frac{(2n-1)\pi}{d}y\right]
</math>
<math display="block">\Rightarrow
\vec E = -\nabla \phi = 
\sum_n \frac{-4V_0}{d \sinh(\frac{(2n-1)\pi a}{d})}\left[
\cos\left(\frac{(2n-1)\pi x}{d} \right)\cdot \sinh\left[\frac{(2n-1)\pi y}{d}\right] \hat x +
\sin\left(\frac{(2n-1)\pi x}{d} \right)\cdot \cosh\left[\frac{(2n-1)\pi y}{d}\right] \hat y
\right]
</math>
<gallery widths="900px" heights="450px" class="center">
File:Pic607.png| איור 7 - תרשים שדה (אדום) וקווים שווי פוטנציאל (שחור)
</gallery>

באיור 7 ניתן לראות בהגדלה את הפוטנציאל המתקבל בפינות. נשים לב כי אין לנו אפשרות מעשית לסכום אינסוף איברים בטור, ולכן עלינו לקחת מספר סופי של איברים. דבר זה גורם לכך שבאיזורים שבהם בפוטנציאל משתנה ב"חדות" (ובמקרה זה ממש בקפיצה) נוצרות תנודות בגלל סכום סופי זה, ושגיאה מסוימת ביחס לערך הפוטנציאל האמיתי שאמור להתקבל (תופעת גיבס).

'''מה הקיבול?'''

[[File:Pic608b.png|200px|thumb|left|איור 8]]

כדי לחשב את הקיבול, עלינו לחשב את סך המטען על האלקטרודה. עם זאת, צפיפות המטען המשטחית תהיה תלויה גם בשדה בחוץ, אותו כלל לא חישבנו. ניתן להניח שתרומת השדה בחוץ לסך המטען היא זניחה, או לחילופין ניתן להסתכל על המבנה הנתון באיור (8). פתרון השדה בחלק העליון יהיה סימטרי לפתרון בחלק התחתון אותו כבר חישבנו, ולכן נחשב את המטען על האלקטרודה באופן הבא

<math display="block">
\eta = \hat y \cdot \left(\epsilon_0 \vec E_{up} - \epsilon_0 \vec E_{down}\right)=
-2\hat y \cdot \epsilon_0 \cdot \vec E_{down}|_{\text{middle board}}=
-2 \epsilon_0 \left(-\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)|_{y=a} = ...</math>
<math display="block">...=
\sum_n \frac{-8 V_0 \epsilon_0}{d} \cdot (-2) \cdot \coth\left(\frac{(2n-1)\pi a}{d}\right)
\cdot \sin\left(\frac{(2n-1)\pi x}{d}\right)</math>

נחשב את סך המטען:

<math display="block">Q = \int^d_0 \eta dx = 
\sum_n \frac{32 V_0 \epsilon_0}{2n-1} \coth\left(\frac{(2n-1)\pi a}{d}\right)
</math>

אך זה מתבדר בגלל אי הרציפות של הפוטנציאל ב"פינות".

בבעיה אמיתית ניתן להניח שקיים רווח קטן, בגודל <math> \delta </math> בין האלקטרודה למעטפת המוליך האידאלי. איננו יודעים כיצד הפוטנציאל משתנה ברווח זה, אך על מנת להעריך את הקיבול ניתן להניח לדוגמא שהפוטנציאל משתנה לינארית בקירוב במרווח. באיור (9) אנו מציגים גרף מקורב של הקיבול כתלות במרווח עבור מימדים שונים של המבנה.

[[File:Pic609.png|400px|thumb|left|איור 9 - גרף מקורב לקיבול]]