פרק 1 - משוואות מקסוול (חוקים אינטגרליים, חוקים דיפרנציאליים)

בפרק 1 של הקורס שדות אלקטרומגנטיים נגדיר מושגי יסוד, וננסח את החוקים הפיסיקליים המכתיבים את התנהגות השדה האלקטרומגנטי.

כוח לורנץ

כל תופעות הטבע נגזרות מכוחות הפועלים על גופים. בהקשר שלנו, הכוח האלקטרומגנטי הפועל על חלקיק בעל מטען $q$ ומהירות ${\vec {v}}$ הוא כוח לורנץ, המתואר על ידי

${\vec {F}}=q\left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times \mu _{0}{\vec {H}}\right)$

כאשר ${\vec {E}}$ הוא השדה החשמלי ו-${\vec {H}}$ הוא השדה המגנטי. על מנת לדעת את הכוח שיפעל על כל חלקיק ולתאר את משוואות התנועה שלו, עלינו למצוא חוקים המתארים את הקשרים בין השדה החשמלי והשדה המגנטי למקורות היוצרים אותם. חוקים אלו מתוארים על ידי מערכת משוואות - משוואות מקסוול (על שם הפיסיקאי ג'יימס קלרק מקסוול). בעזרת מערכת משוואות אלו נרצה לקבל טכניקה סדורה לפתרון השדות האלקטרומגנטיים בבעיה כללית מתוך ידיעת מקורות השדה, ותכונות הסביבה. מתוך משוואות מקסוול נוכל גם למצוא קשר בין השדות האלקטרומגנטיים לגדלים פיסיקליים נוספים כגון אנרגיה ותנע. בקורס זה נלמד כיצד לפתור את משוואות מקסוול ממספר נקודות מבט שונות:

• נבצע הנחות מקלות המאפשרות רדוקציה של המשוואות הכלליות למשוואות פשוטות יותר, ברות פתרון אנליטי במקרים רבים.
• נחקור את התכונות המתמטיות של הפתרונות.
• נסווג משפחות שונות של פתרונות לשדות.
• נבנה באופן שיטתי מודלים המאפשרים לנו פתרון של שדות בסביבות שונות: בתוך חומרים או בקרבת גופים שונים.

מושג השדה

שדה הוא סט של ערכים המוגדרים בכל נקודה בתחום מסוים של המרחב, ומשויכים לגודל פיסיקלי

שדה סקלרי

שדה סקלרי, $\phi :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$, הוא פונקציה המתאימה לכל נקודה במרחב סקלר (יכול להיות תלוי גם בזמן). באופן כללי הוא גם יכול לתת ערכים מרוכבים, אך בקורס זה נעסוק בעיקר בשדות המקבלים ערכים ממשיים. דוגמאות הן שדה לחץ, שדה טמפרטורה. באופן יותר ספציפי לקורס זה - צפיפות מטען נפחית $\rho ({\vec {r}},t)$, פוטנציאל $\phi ({\vec {r}})$.

שדה וקטורי

שדה וקטורי ${\vec {F}}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$, הוא פונקציה המתאימה לכל נקודה במרחב וקטור, כך שרכיביו של הוקטור הן פוקנציות של המיקום ואולי גם של הזמן ${\vec {F}}=F_{x}({\vec {r}}){\hat {x}}+F_{y}({\vec {r}}){\hat {y}}+F_{z}({\vec {r}}){\hat {z}}$. דוגמאות - שדה מהירות / זרימה. בקורס שלנו השדה החשמלי ${\vec {E}}$ והשדה המגנטי ${\vec {H}}$ הם שדות וקטוריים.

הנחות היסוד

על מנת לנסח את התורה האלקטרומגנטית עלינו להניח הנחות שיאפשרו לנו לבנות חוקים מתמטיים. משוואות מתמטיות אלו יאפשרו לנו לתאר את הקשר בין מקורות השדות והתפלגותם במרחב לשדות עצמם.

• קיים מטען חשמלי - הראשון שטיפל בצורה מסודרת במושג המטען החשמלי היה בן פרנקלין, באמצע המאה ה-18. פרנקלין תאר תהליך בו שפשוף שני גופים זה כנגד זה מעביר "נוזל חשמלי" מהאחד לשני. כיום אנו מבינים שזו תכונה בסיסית של החומר, כמו מסה.
• סך המטען במערכת סגורה נשמר - זהו חוק שימור המטען. מטען חיובי יכול "להעלם" רק אם מטען שלילי "נעלם" מנגד.
• על מטען חשמלי הנע בשדה חשמלי ומגנטי פועל כוח - כוח זה הוא כוח לורנץ.

לשלושת ההנחות הבסיסיות האלו, נוסיף עוד שתי הנחות / עקרונות חשובים הנוגעים לאופן בו אנו ממדלים את השדות האלקטרומגנטיים, ואת האינטראקציה של שדות אלו עם הסביבה.

• החוקים הפיסיקליים המתארים את התנהגות השדות האלקטרומגנטיים בואקום (משוואות מקסוול) הם חוקים שנוסחו באופן אמפירי, ולכן אנו מניחים את נכונותם.
• ההשפעה של חומרים וגופים שונים על פילוג השדות האלקטרומגנטיים במרחב נובעת רק מהעובדה שבחומר יש מטענים שיכולים לזוז ממקום למקום בתגובה להפעלת שדות עליהם. מכאן - חומר הוא פילוג של מטענים בואקום, וכל השפעתו של החומר על השדות הנוצרים במרחב, מגיעה דרך השדות היוצרים מטענים אלו. מטרתם של המודלים הפיסיקליים שנראה בהמשך, שנועדו להביא בחשבון נוכחות של גופים וחומרים שונים במרחב, היא לפתור את העובדה שבמקרים רבים אין לנו את האפשרות לדעת מראש כיצד יתפלגו המטענים בתוך החומר (אחרת היינו פשוט יכולים להניח מטענים אלו בואקום, ולחשב את השדות באופן ישיר).

מקורות השדות

צפיפות מטען חשמלי

אנו יודעים שלא קיימים בטבע חלקיקים / גופים שמטענם אינו כפולה שלמה של קבוע בסיסי, $e=1.602177\times 10^{-19}C$. יחידות הקבוע הן קולון (Coulomb, על שם שארל דה-קולון). עם זאת, פיתוח משוואות האלקטרומגנטיות הרבה יותר ישיר ופשוט אם מתייחסים להתפלגויות רציפות של מטען ליח' נפח (או שטח, או אורך). אם נגדיר אלמנט נפח קטן $\delta V$ שבו יש מטען $\delta Q$ ניתן להגדיר את צפיפות המטען הנפחית על ידי

$Q=\int \rho ({\vec {r}})dV\Longleftrightarrow \rho =\lim _{\delta V\rightarrow 0}{\frac {\delta Q}{\delta V}}$

יחידות צפיפות המטען הנפחית הן $[C/m^{3}]$. באותו אופן כמובן ניתן להגדיר גם צפיפות מטען משטחית $\eta ({\vec {r}})[C/m^{2}]$, עבורה $Q=\int \eta ({\vec {r}})dS$, וגם צפיפות מטען אורכית $\lambda ({\vec {r}})[C/m]$, עבורה $Q=\int \lambda ({\vec {r}})d\ell$.

תרשים 1: הגדרת צפיפות מטען רציפה על ידי "החלקה" של אוסף מטענים בדידים

בנוסף להתפלגויות הרציפות, שימושי להגדיר גם "מטען נקודתי" - אובייקט בעל גודל זניח הנושא כמות סופית של מטען. ניתן להגדיר את פונקציית צפיפות המטען הנפחית עבור אובייקט זה (וגם עבור $\eta ({\vec {r}}),\lambda ({\vec {r}})$) על ידי שימוש בפונקציית דלתא של דיראק. אם נניח שבמרחב מפוזרים $n$ מטענים נקודתיים, $\{q_{1},q_{2},...,q_{n}\}$ הממוקמים בנקודות $\{{\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},...,{\vec {r}}_{n}\}$, ניתן לרשום את צפיפות המטען הנפחית ע"י

$\rho ({\vec {r}})=\sum _{k=1}^{n}q_{k}\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{k})$

ומכאן שסך המטען במרחב מקיים $\int _{V}\rho ({\vec {r}})dV=\sum q_{k}$.

זרם חשמלי

זרם חשמלי הוא תנועה סדורה של מטענים. הראשון שהבין את מהותו הפיסיקלית של הזרם הוא הפיסיקאי האיטלקי אלסנדרו וולטה שביצע ניסויים שונים בצפרדעים, והראה שהעברת זרם בגופן של הצפרדעים גורם לגפיים שלהם לנוע. אם נגדיר חתך כלשהו $S$, דרכו חולף סך מטען $\delta q$ בפרק זמן $\delta t$, ניתן להגדיר את הזרם החולף דרך החתך על ידי

$I={\frac {\delta q}{\delta t}}[A]$

כאשר כאן השתמשנו בפרמטרים המתאימים להתפלגויות הרציפות אותם הגדרנו (אחרת הזרם החולף דרך החתך אינו רציף, אלא מגיע בפולסים של מטענים נקודתיים וזו דינמיקה שאיננו מעוניינים להביא בחשבון). יחידות הזרם, המסומנות ב-$[A]$ הן Ampere, על שם הפיסיקאי הצרפתי אנדרה-מארי אמפר.

תרשים 2: הגדרת חתך דרכו זורם זרם חשמלי

מכאן, ניתן להגדיר את צפיפות הזרם הנפחית על ידי

${\vec {J}}={\frac {\delta I}{\delta a_{\perp }}}{\hat {v}}$

כאשר ${\hat {v}}$ הוא וקטור יחידה בכיוון הזרימה ו-$\delta a_{\perp }$ הוא אלמנט שטח חתך הניצב ל-${\hat {v}}$ (אם אינו ניצב, אז יש להטיל אותו על הכיוון הניצב). יחידות צפיפות הזרם נפחית הן $[A/m^{2}]$. אם נשתמש בהגדרות אלו, ונניח שהזרם נוצר על ידי תנועה של צפיפות מטען נפחית $\rho ({\vec {r}})$ במהירות ${\vec {v}}({\vec {r}})$, אז נוכל לרשום את צפיפות הזרם על ידי ${\vec {J}}=\rho {\vec {v}}$. באופן דומה, ניתן להגדיר צפיפות זרם משטחית ${\vec {K}}$ (כאשר תנועת המטענים מוגבלת למשטח כלשהו, ראו תרשים 2, חלק תחתון). אם נגדיר עקום $\ell$ דרכו חולף הזרם אז צפיפות הזרם וסך הזרם יוגדרו על ידי

${\vec {K}}={\frac {\delta I}{\delta \ell _{\perp }}}{\hat {v}}\;\Longleftrightarrow \;I=\int _{\ell }{\vec {K}}\cdot {\hat {n}}_{\ell }d\ell$

כאשר $d\ell _{\perp }$ הוא אלמנט אורך קטן הניצב לכיוון הזרימה, ${\hat {n}}_{\ell }$ הוא הנורמל לעקום במישור. ניתן גם להביע את סך הזרם על ידי $I=\int _{\ell }{\vec {K}}\cdot ({\hat {n}}\times {\vec {d\ell }})$ כאשר במקרה זה ${\hat {n}}$ הוא הנורמל למשטח עצמו. סה"כ, אם קיימים במרחב סוגים שונים של זרם החולפים דרך חתך מסוים, סך הזרם יינתן על ידי

תרשים 3: התפלגות זרמים כללית

$I=\int _{S}{\vec {J}}\cdot {\hat {n}}dS+\int _{\ell }{\vec {K}}\cdot {\hat {n}}_{\ell }d\ell +\sum I_{k}$

שימור מטען

למיטב ידיעתנו, בכל התהליכים בטבע מתקיים שימור מטען - מטען לא יכול להעלם או להווצר מעצמו, והדרך היחידה לשנות את כמות המטען באיזור מסוים היא להעביר גופים טעונים פנימה או החוצה. מכאן, ניתן לרשום עבור נפח סגור כללי כלשהו, $V$

$I_{net}=-{\frac {\partial }{\partial t}}Q_{total}$

כאשר $I_{net}$ הוא הזרם נטו היוצא מהנפח $V$, כלומר מחברים את כל הזרמים כאשר זרם יוצא מחובר בסימן חיובי, וזרם נכנס בסימן שלילי. $Q_{total}$ הוא סך המטען הכלא בתוך הנפח $V$. בניסוח אינטגרלי, אם נניח שכל צפיפויות המטען והזרם רציפות, נקבל

$\oint _{S=\partial V}{\vec {J}}\cdot {\hat {n}}dS=-{\frac {\partial }{\partial t}}\iiint _{V}\rho dV$

גם כאן, אגף ימין מקבל סימן מינוס מאחר ואנו מחשבים את הזרם היוצא - מאחר ומדובר על נפח סגור הנורמל למשטח $S$ התוחם את $V$ מכוון החוצה מהנפח, ובאופן טבעי מסכם זרמים יוצאים בסימן חיובי ונכנסים בסימן שלילי.

משוואות מקסוול בוואקום (ניסוח אינטגרלי)

המשוואות הסיבוביות (Rotational equations)

תרשים 4

נגדיר משטח $A$ התחום על ידי שפה $\ell$ (תרשים 4 עליון).

חוק פאראדיי

חוק זה קרוי על שמו של מייקל פאראדיי.

$\oint _{\ell }{\vec {E}}\cdot {\vec {d\ell }}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\iint _{A}\mu _{0}{\vec {H}}\cdot {\vec {da}}$

חוק אמפר

חוק זה קרוי על שמו של אנדרה-מארי אמפר אותו כבר הזכרנו בפרק זה. לולאת האינטגרציה (השפה של המשטח המוגדר) נקראת במקרה זה "לולאה אמפרית".

$\oint _{\ell }{\vec {H}}\cdot {\vec {d\ell }}={\color {red}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\iint _{A}{\vec {E}}\cdot {\vec {da}}}+\iint _{A}{\vec {J}}\cdot {\vec {da}}$

האיבר המסומן באדום נקרא תיקון מקסוול, הקרוי גם זרם העתקה. על אף שפעמים רבות יישום והסבר איבר התיקון נעשה באמצעות דוגמא של זרם ההעתקה בקבל, מקסוול הוסיף תיקון זה מאחר והוא ידע שקיימים למשוואות מקסוול פתרונות בעלי אופי גלי, עם גלים המתפשטים בואקום, ובהעדר קיומו של איבר זה פתרונות אלו יעמדו בסתירה לחוק שימור המטען.

חוקי גאוס

נגדיר נפח $V$ התחום על ידי משטח $A$.

$\iint _{S=\partial V}\epsilon _{0}{\vec {E}}\cdot {\vec {da}}=\iiint _{V}\rho dV$

$\iint _{S=\partial V}\mu _{0}{\vec {H}}\cdot {\vec {da}}=0$

הערה חשובה - חוקים אלו מתארים קשרים גלובליים, בין אינטגרלים שונים על השדות ועל המקורות. כדי להשתמש בקשרים אלו על מנת לחשב את השדות עצמם בכל נקודה ונקודה במרחב, יש להניח סימטריה מסוימת של השדות.

דוגמאות

דוגמא לשימוש בחוק גאוס

נתון גליל שאורכו אינסופי ורדיוסו $a$. הגליל טעון במטען חשמלי שצפיפותו הנפחית אחידה $\rho _{0}$ (תרשים 5א). יש לחשב את השדה החשמלי בכל המרחב.

תרשים 5

.

מטעמי הסימטריה בבעיה, ניתן להניח שהשדה החשמלי יהיה מהצורה ${\vec {E}}=E(r){\hat {r}}$. נגדיר מעטפת גלילית סגורה בגובה $h$ וברדיוס $r$, ונציג בחוק גאוס עבור השדה החשמלי. נקבל

$E(r)=\left\{{\begin{matrix}\rho _{0}{\frac {r}{2\epsilon _{0}}}&r<a\\\rho _{0}{\frac {a^{2}}{2r\epsilon _{0}}}&r>a\end{matrix}}\right.$

כאן ניתן לראות גרף של פילוג השדות, בו ניתן גם "לשחק" עם הפרמטרים השונים.

דוגמא לשימוש בחוק אמפר

נתון גליל שאורכו אינסופי ורדיוסו $a$. בגליל זורם זרם חשמלי שצפיפותו הנפחית אחידה ${\vec {J}}=J_{0}{\hat {z}}$ (תרשים 5ב). יש לחשב את השדה המגנטי בכל המרחב.

מטעמי סימטריה נניח שהשדה המגנטי הוא מהצורה ${\vec {H}}=H_{\varphi }(r){\hat {\varphi }}$. נגדיר לולאה מעגלית שרדיוסה $r$ ומרכזה נמצא על ציר הגליל. התוצאה המתקבלת לאחר הצבה בחוק אמפר

$H(r)=\left\{{\begin{matrix}J_{0}{\frac {r}{2}}&r<a\\J_{0}{\frac {a^{2}}{2r}}&r>a\end{matrix}}\right.$

כפי שציינו קודם, המשוואות האינטגרליות מהוות כלי לחישוב השדות עצמם כאשר מדובר במערכת עם סימטריה גבוהה כלשהי, ממנה ניתן להשיג מבנה שדה פשוט. כדי לפתור בעיות מורכבות וכלליות יותר, נדרש לקבל קשרים נקודתיים בין השדות למקורות - כיצד מתנהג השדה בסביבה קטנה של נקודה מסוימת, כתלות בפילוג המקורות סביב אותה נקודה? כיצד יש לטפל באי-רציפות בשדה,בפילוג המקורות, או בתכונות המרחב? מבחינה מתמטית, הבעת קשרים אלו היא למעשה רישום המשוואות הדיפרנציאליות שמקיימים השדות והמקורות.

משוואות מקסוול בוואקום (ניסוח דיפרנציאלי)

על מנת לקבל את משוואות מקסוול בצורתן הדיפרנציאלית, המייצגת קשרים נקודתיים בין השדות והמקורות, נבצע "לוקליזציה" של הייצוג האינטגרלי, באופן דומה מאוד לצורה שבה קשרנו בין המשפטים האינטגרליים להגדרות הדיברגנץ והרוטור בפרק 0 - מבוא מתמטי.

חוק שימור המטען

בצורתו האינטגרלית, חוק שימור המטען נתון על ידי

$\iint _{S=\partial V}{\vec {J}}\cdot {\hat {n}}dS=-{\frac {\partial }{\partial t}}\iiint _{V}\rho dV$

כאשר הגאומטריה מוגדרת בתרשים 4. אם נשאיף את הנפח לאפס, נקבל

$\iint _{S=\partial V}{\vec {J}}\cdot {\hat {n}}dS=-{\frac {\partial }{\partial t}}\rho dV\;\Longrightarrow \;\lim _{V\rightarrow 0}{\frac {1}{V}}\iint _{S=\partial V}{\vec {J}}\cdot {\hat {n}}dS=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

מכאן, ניתן להשתמש בהגדרת הדיברגנץ, ולקבל את הניסוח הדיפרנציאלי לחוק שימור המטען

$\nabla \cdot {\vec {J}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

מאחר והאינטואיציה שלנו לאופרטור הדיברגנץ היא "מקורות השטף", קיבלנו שמקורות שטף לשדה הזרם חייבים לנבוע משינוי של צפיפות המטען בנק' המקור. הערה - מחוק זה נובע גם KCL. אם ניקח צומת כלשהי בה נפגשים מספר חוטים שבהם זורם זרם, ונניח שבצומת לא יכול להצבר מטען, נקבל מיד מיישום של חוק שימור המטען על מעטפת קטנה המקיפה את הצומת $\sum I=0$.

חוקי גאוס

באופן אנלוגי לחלוטין, ניתן לקבל

$\iint _{S=\partial V}\epsilon _{0}{\vec {E}}\cdot {\hat {n}}dS=\iiint _{V}\rho dV\;\Longrightarrow \;\nabla \cdot \epsilon _{0}{\vec {E}}=\rho$

$\iint _{S=\partial V}\mu _{0}{\vec {H}}\cdot {\hat {n}}dS=0;\Longrightarrow \;\nabla \cdot \mu _{0}{\vec {H}}=0$

המשוואות הסיבוביות

חוק פאראדיי בניסוח אינטגרלי,

$\oint _{\ell }{\vec {E}}\cdot {\vec {d\ell }}=-\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\iint _{A}\mu _{0}{\vec {H}}\cdot {\vec {da}}$

כמובן שהחוק תקף לכל לולאה, ולכן נבחר לולאה קטנה מאוד, ונקבל (בהנחה שלולאה מספיק קטנה כך שהשדה המגנטי כמעט ולא משתנה על פניה)

$\oint _{\ell }{\vec {E}}\cdot {\vec {d\ell }}=-\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\mu _{0}{\vec {H}}\cdot {\vec {da}}$

כמובן שהמשוואה נשארת נכונה בין אם אנו בוחרים את הנורמל ללולאה להיות בכיוון אחד כלשהו ${\hat {u}}$, ואז מקבלים את היטל הרוטור על ${\hat {u}}$, או בין אם אנחנו "סורקים" על כל כיווני הנורמל האפשריים עד שמקבלים את הערך הגדול ביותר מהאינטגרל עבור הלולאה, ואז למעשה מצאנו את כיוון הרוטור. בכל מקרה ניתן לראות שאנו מקבלים חזרה את הגדרת הרוטור.

$\lim _{S\rightarrow 0}{\frac {1}{S}}\oint _{\ell =\partial S,{\hat {n}}={\hat {u}}}{\vec {E}}\cdot {\vec {d\ell }}=curl\left[{\vec {E}}\right]\cdot {\hat {u}}=\nabla \times {\vec {E}}\cdot {\hat {u}}$

ומכאן ניתן מיד לקבל

$\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\mu _{0}{\vec {H}}$

באופן אנלוגי לחלוטין ניתן לטפל בחוק אמפר ולקבל

$\oint _{\ell }{\vec {H}}\cdot {\vec {d\ell }}=\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\iint _{A}{\vec {E}}\cdot {\vec {da}}+\iint _{A}{\vec {J}}\cdot {\vec {da}}\Longrightarrow \nabla \times {\vec {H}}={\frac {\partial }{\partial t}}\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {J}}$

הקשר לשימור המטען

עבור כל שדה ${\vec {F}}$ מתקיים

$\nabla \cdot \left(\nabla \times {\vec {F}}\right)=0$

ובפרט עבור השדה המגנטי. אם נשתמש בחוק אמפר נקבל

$\nabla \cdot \left(\nabla \times {\vec {H}}\right)=0\;\Rightarrow \;\nabla \cdot \left({\frac {\partial }{\partial t}}\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {J}}\right)=0$

וכעת, אם נשתמש בחוק גאוס בנוסף,

$\nabla \cdot {\vec {J}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \cdot \epsilon _{0}{\vec {E}}\right)\;\Rightarrow \;\nabla \cdot {\vec {J}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

וקיבלנו את חוק שימור המטען. נשים לב, שללא זרם ההעתקה, היינו מקבלים $\nabla \cdot {\vec {J}}=0$, דבר שכמובן לא נכון באופן כללי, אלא רק כשהשינויים הזמניים במערכת זניחים (בהמשך נעסוק במושג זה בצורה מסודרת). דוגמא נוספת לנחיצותו של זרם ההעתקה ניתן לראות במקרה המתואר בתרשים 6.

תרשים 6

נתון קבל שמהווה חלק ממערכת כלשהי, ונתונות שתי בחירות שונות עבור משטחי אינטגרציה, בעלי לולאה אמפרית זהה. מכאן, שעבור שתי הבחירות, האינטגרל $\oint {\vec {H}}\cdot {\vec {d\ell }}$ יתן את אותה תוצאה, ולכן גם אגף ימין יתן את אותה תוצאה. עם זאת, ברור שהזרם החוצה את המשטח שונה בשני המקרים, (אפס בצד ימין, וזרם כלשהו בצד שמאל) ולכן חייב להיות באגף ימין איבר ש"מפצה" על שוני זה - זרם ההעתקה. עם זאת, כפי שהזכרנו קודם, הדבר ששכנע את מקסוול בנכונות ובנחיצות תיקון זה, הוא הידיעה שתיקון זה הכרחי על מנת לקבל פתרונות גליים למשוואות מקסוול. מאוחר יותר, כאשר התגלו הגלים האלקטרומגנטיים (בתחום המיקרוגל) על ידי הרץ, התואמים בדיוק את התכונות הצפויות להם ממשוואות מקסוול, כולם השתכנעו בנכונות ונחיצות התיקון שהכניס מקסוול.

סיכום

נסכם את התוצאות שקיבלנו

	משוואה
חוק פאראדיי	$\nabla \times {\vec {E}}=-\mu _{0}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}$
חוק אמפר	$\nabla \times {\vec {H}}=\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}+J$
חוק גאוס מגנטי	$\nabla \cdot \left(\epsilon _{0}{\vec {E}}\right)=\rho$
חוק גאוס חשמלי	$\nabla \cdot \left(\mu _{0}{\vec {H}}\right)=0$
חוק שימור המטען	$\nabla \cdot J=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$