פרק 10 - שדות חשמליים בחומר

שדות חשמליים בחומר

איור 1

עד כה עסקנו בהתנהגות השדה החשמלי והמגנטי בואקום - כלומר בהעדר חומר כלשהו. במציאות, כמובן שכל התופעות מתרגשות בתוך חומר כלשהו. מטרתנו בפרק זה היא להבין כיצד מתארים את האינטראקציה של החומר עם השדה החשמלי, ומתוך תאור זה לקבל מודל כמותי המאפשר להביא בחשבון את תכונות החומרים בתוך משוואות מקסוול. נקודה חשובה אותה כבר הזכרנו, ועומדת בבסיס המודלים אותם נציג בפרק זה היא הנקודה הבאה:

• תגובת החומר לשדה החשמלי באה לידי ביטוי בתגובת המטענים שבחומר לשדה, ובפרט ביצירת פילוג מטענים "חדש" בחומר בתגובה להפעלת שדה חיצוני. ברגע שנדע לחשב את פילוג המטענים ה"מושרה" על ידי השדה החיצוני, השדה הכולל יהיה השדה החינוני בתוספת לשדה אותו יוצר הפילוג המושרה, כאילו היו מונחים בואקום.

חומרים מוליכים

בפרקים קודמים כבר הזכרנו את התנהגות השדות החשמליים בתוך חומרים מוליכים, כאשר את תגובת החומר (הזרם שנוצר כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי כלשהו) תארנו באמצעות חוק אוהם $$\overrightarrow{J}=\sigma \overrightarrow{E}$$

בפרק זה ננסה להסביר מעט יותר טוב מאיפה חוק זה נובע, באמצעות מודל פשטני למדי, אך יעיל. נניח כי קיים במרחב "ענן" פילוג מטען כלשהו $\rho (\overrightarrow{r})$ כמוראה באיור 1, ונושאי המטען נעים במהירות $\overrightarrow{v}(\overrightarrow{r})$. על פי הגדרת הזרם כמטען שחולף דרך חתך מסוים ליחידת זמן, ניתן לרשום ביטוי לצפיפות הזרם $$\overrightarrow{J}=\rho (r)\cdot \overrightarrow{v}(r)$$ אם נניח שפילוג המטען בנוי מחלקיקים נושאי מטען בצפיפות נפחית $n(\overrightarrow{r})$, ומטענו של כל חלקיק הוא $q$, נקבל $$\overrightarrow{J}=n(\overrightarrow{r})\cdot q\cdot \overrightarrow{v}(r)$$

איור 2

במקרה הכללי ביותר, ייתכן ופילוג המטען מורכב מיותר מסוג אחד של חלקיקים, כאשר לחלקיקים מסוג $k$ תהיה צפיפות $n_k(\overrightarrow{r})$, מטען $q_k$, ופילוג מהירויות $\overrightarrow{v}(\overrightarrow{r})$. במקרה זה ניתן לרשום את צפיפות הזרם המרחבית על ידי $$\overrightarrow{J}=\sum n_k\cdot q_k\cdot {\overrightarrow{v}}_k$$ חשוב לציין ש-$q_k$ יכול להיות גם שלילי וגם חיובי (מה שיוביל לצפיפות זרם הפוכה בכיוונה).

מודל Drude

איור 3 - פאול דרודה

מודל דרודה הוא מודל קלאסי מקורב המתאר את האינטראקציה של מטענים חופשיים בחומר עם שדה חשמלי. במודל דרודה, מסתכלים על מטענים אשר חופשיים לנוע בתגובה להפעלת שדה חשמלי חיצוני $\overrightarrow{E}$. במצב זה, ניתן לכתוב את משוואת התנועה עבור החוק השני בצורה הבאה: $$m\cdot \dot{\overrightarrow{v}}=q\overrightarrow{E}-\nu \overrightarrow{v}$$ כאשר $\nu$ הינו מקדם החיכוך האפקטיבי הגורם לכוחות מעכבים לפעול על המטענים הנעים בחומר. כשהמערכת מתייצבת (בין אם ההתייצבות נובעת משדות סטטיים לחלוטין, ובין אם קצב השינוי של השדות במערכת הרבה יותר איטי מזמן ההתייצבות האופייני), מתקיים $\dot{\overrightarrow{v}}=0$ ואז ניתן לרשום:

$$q\overrightarrow{E}=\nu \overrightarrow{v}\Rightarrow \overrightarrow{v}=\frac{q}{\nu }\overrightarrow{E}={\overrightarrow{v}}_d$$

כאשר ${\overrightarrow{v}}_d$ מוגדרת להיות המהירות בשיווי משקל (נקראת "מהירות הסחיפה", או drift velocity).

מקובל לסמן $\mu =\frac{q}{\nu }$ - מוביליות נושאי המטען.

אם נציב את הביטוי ל-${\overrightarrow{v}}_d$ במשוואה המתארת את צפיפות הזרם, נקבל: $$\overrightarrow{J}=\sum n_k\cdot q_k\cdot {\overrightarrow{v}}_k=\sum n_k\cdot q_k\cdot \frac{q_k}{{\nu }_k}\overrightarrow{E}=\underset{\equiv \sigma }{\underbrace{\sum n_k\cdot \frac{q_k^2}{{\nu }_k}}}\overrightarrow{E}=\sigma \overrightarrow{E}$$ כלומר, קיבלנו מתוך מודל דרודה את חוק אוהם, כאשר $\sigma$ המוליכות הסגולית, והיא פרמטר התלוי בצפיפות נושאי המטען בחומר, מקדם ה"חיכוך", ומטענם של נושאי המטען.

את משוואות השדה ותנאי השפה בחומר המקיים את חוק אוהב כבר ראינו בפרק 8.

פולריזציה

איור 4 - פולריזציה

לא תמיד יש אלקטרונים שחופשיים לנוע, לפעמים האלקטרונים "קשורים" אבל יכולה להיות סטייה במיקומם ביחס לגרעין.

איור 5

אין זה המקום להכנס למודלים מדויקים של פילוג המטען סביב אטום, אך באופן כללי מיקום האלקטרון מתואר ע"י פונקציית גל קוונטית $\mathrm{\Psi }$, כאשר$|\mathrm{\Psi }{|}^2$ מתארת לנו את ההסתברות למצוא את האלקטרון במיקום מסוים סביב הגרעין.

כאשר מופעל שדה חיצוני, הוא "מעוות" את ענן האלקטרונים (פונקציית הגלת איור 4), והמיקום הממוצע של האלקטרונים נתון על ידי הביטוי:

$$\int \overrightarrow{r}\psi (r,t)\cdot {\psi }^{*}(r,t)dr$$

ללא שדה, צפוי שמרכז הכובד של של ההסתברות יהיה במרכז האטום, אך בהפעלת השדה, המיקום הממוצע של האלקטרונים כבר לא יהיה במרכז וייווצר דיפול שקול בחומר.

בחומרים מסוימים, לדוגמא מים (איור 5), למולקולות המרכיבות אותם קיים מומנט דיפול באופן טבעי, ואז הפעלה של שדה חשמלי חיצוני גם נוטה "ליישר" את כל הדיפולים בכיוון השדה.

כמובן, שקיימים מקרים רבים בהם שני מנגנוני קיטוב אלו תורמים לתגובת החומר.

מודל מקרוסקופי

איור 6

המודל המיקרוסקופי (כלומר מודל המתאר תגובה של אטום או מולקולה בודדים לשדה בסביבתם) אותו תארנו אינו קשור באופן ישיר למשוואות מקסוול. המטרה שלנו, כעת, היא למצוא פרמטרים מקרוסקופיים ממוצעים, שאותם נוכל להציב במשוואות מקסוול ולפתור את השדות בנוכחות חומרים.

כבר ציינו, שעל מנת להבין טוב את האינטראקציה בין החומר לשדה עלינו לקבל את פילוג המטען שנוצר בחומר בתגובה להפעלת השדה החיצוני וממנו ניתן יהיה לחשב את השדה המלא כשדה שנוצר ע"י המקורות החיצוניים + פילוג המטען בחומר.

נניח כי קיים חומר כלשהו שהפעלת שדה חיצוני גרמה להתקטבות המטען בתוכו, וליצירת מוומנט דיפול כלשהו באטומים המרכיבים אותו (איור 6). נביט בתיבה קטנה מתוך החומר.

אם נניח שמומנט הדיפול של כל אטום או מולקולה הוא ${\overrightarrow{p}}_{atom}$, ובתיבה יש $N$ דיפולים, נקבל שמומנט הדיפול השקול של החומר בתיבה הוא $\overrightarrow{P}=N\cdot {\overrightarrow{p}}_{atom}$. נוכל להגדיר את צפיפות הדיפולים הנפחית בתור היחס בין מומנט הדיפול לנפח:

$$\overrightarrow{P}=\frac{\overrightarrow{p}}{\delta v}=\frac{\overrightarrow{p}}{\delta \overrightarrow{A}\cdot \delta \overrightarrow{l}}$$

בהינתן $\overrightarrow{P}$, אפשר לרשום:

$$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{P}\cdot \delta v=(\overrightarrow{P}\cdot \delta \overrightarrow{A})\delta \overrightarrow{l}=\delta Q\cdot \delta \overrightarrow{l}$$

מאחר ומומנט דיפול מוגדר על ידי $\overrightarrow{p}=Q\overrightarrow{d}$, נסיק כי את הפולריזציה ניתן לייצג כאילו על פאה יש מטען $\delta Q=\overrightarrow{P}\cdot \delta \overrightarrow{A}$ והם מופרדים זה מזה במרחק של $\delta \overrightarrow{l}$. באופן דומה, אם היינו עושים את החישוב על הפאה התחתונה, היינו מקבלים $\delta Q=-\overrightarrow{P}\cdot \delta \overrightarrow{A}$/

בעצם מה שקיבלנו הוא שכדי ליצור את תגובת החומר שבתיבה לשדה החשמלי, באופן אפקטיבי "הועתקה" כמות מטען של $\delta q$ מהדופן התחתונה לעליונה, למרחק של $\delta \overrightarrow{l}$ בין פילוגי המטען.

אם נכליל את התוצאה, כדי לחשב את סך מטען הפולריזציה המשטחי על דפנות התיבה, עלינו לסכם ולקבל $$Q_{p,surface}=\oint \overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{\delta a}$$

מאחר והחומר הוא ניטרלי מבחינת סך המטען שבו (נזכור כי המודל שלנו עבור הפולריזציה הוא דיפולים שנוצרים בתגובה לשדה, וסך המטען בכל דיפול הוא אפס), ברור כי סך המטען בכל נפח שנבחר חייב להתאפס, ולכן $$Q_{p,volume}=-\oint \overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{da}$$ נביט בקשר הזה, עבור נפח קטן $\mathrm{\Delta }v$:

$${\rho }_p=\frac{Q_{p,volume}}{\mathrm{\Delta }v}=-\frac{1}{\mathrm{\Delta }v}\oint \overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{da}\stackrel{\mathrm{\Delta }\mathrm{v}\mathrm{\to }\mathrm{0}}{=}-\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{P}$$

$$\Rightarrow {\rho }_p=-\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{P}$$ כאשר השתמשנו בהגדרת הדיברגנץ.

נשים לב לכך שאם $\overrightarrow{P}$ אחיד, אז ${\rho }_p=0$.

צפיפות משטחית של מטעני הפולריזציה

כעת, כשיש לנו חוקים אינטגרלים הקושרים את מטעני הפולריזציה לוקטור הפולריזציה בחומר, נוכל לבצע לוקליזציה של הביטויים האינטגרלים סביב שפות, על מנת לקבל את צפיפות מטען הפולריזציה המשטחית. למעשה, אין צורך לחזור על התהליך, וניתן להשתמש בדמיון ה"ויזואלי" לחוק גאוס הקשר בין חוק גאוס האינטגרלי, לתנאי השפה לחוק גאוס הוא $$Q_{in}=\oint {ϵ}_0\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{da}⟹\eta =\hat{n}\cdot ({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2-{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1)$$ ולכן, באופן אנלוגי לחלוטין נקבל את הקשר בין אי רציפות בוקטור הפולריזציה לצפיפות משטחית של מטען הפולריזציה $$Q_p=-\oint \overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{da}⟹{\eta }_p=-\hat{n}\cdot ({\overrightarrow{P}}_2-{\overrightarrow{P}}_1)$$

זרמי פולריזציה

נסתכל על השינוי בזמן באלמנט קטן של מטען פולריזציה משטחי $\delta Q=\overrightarrow{P}\cdot \delta \overrightarrow{A}$. הזרם ה"נכנס" לשפה, קשור לשינוי זה על ידי

$$I=\frac{d(\delta Q)}{dt}=\frac{d}{dt}(\overrightarrow{P}\cdot \delta \overrightarrow{A})=\underset{\equiv {\overrightarrow{J}}_p}{\underbrace{\frac{d\overrightarrow{P}}{dt}}}\cdot \delta \overrightarrow{A}={\overrightarrow{J}}_p\cdot \delta \overrightarrow{A}$$ כאשר השינוי בזמן של $\overrightarrow{P}$ הוא למעשה צפיפות נפחית של זרם שחולף בתיבה - זרם פולריזציה ${\overrightarrow{J}}_p$.

ביחד עם הקשר ${\rho }_p=-\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{P}$ נקבל את חוק שימור מטען הפולריזציה:$$\mathrm{\nabla }\cdot {\overrightarrow{J}}_p=-\frac{d{\rho }_p}{dt}$$נקבל: $${\eta }_p=-\hat{n}\cdot ({\overrightarrow{P}}_2-{\overrightarrow{P}}_1)$$

אם נגזור בזמן את הביטוי שקיבלנו עבור צפיפות המטען המשטחית, נקבל: $$\frac{d{\eta }_p}{dt}=-\hat{n}\cdot (\frac{\partial {\overrightarrow{P}}_2}{\partial t}-\frac{\partial {\overrightarrow{P}}_1}{\partial t}=-\hat{n}\cdot ({\overrightarrow{J}}_{2,p}-{\overrightarrow{J}}_{1,p})$$ כלומר, אין זרמי פולריזציה משטחיים! (אלא אם יש תנועה מכנית)

משוואות מקסוול בחומר

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial ({\mu }_{0}H)}{\partial t}\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_0\overrightarrow{E})={\rho }_f+(-\mathrm{\nabla }\cdot P)\\ \mathrm{\nabla }\times H=\frac{\partial ({ϵ}_{0}E)}{\partial t}+J_f+\frac{\partial P}{\partial t}\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_{0}H)=0\end{array}$$המקורות לשדה החשמלי הם כלל המטענים בבעיה - מטענים חופשיים ומטעני פולריזציה.

תנאי השפה המגיעים ממשוואות מקסוול בתנאים אלו:$$\{\begin{array}{l}\hat{n}\times (E_2-E_1)=0\\ \hat{n}\cdot ({ϵ}_0{E}_2-{ϵ}_0{E}_1)={\eta }_f+(-\hat{n}\cdot [P_2-P_1])\\ \hat{n}\times (H_2-H_1)=K_f\\ \hat{n}\cdot ({\mu }_0{H}_2-{\mu }_0{H}_1)=0\end{array}$$נשים לב, כי ניסוח משוואות מקסוול אותן יש לפתור בסופו של דבר הצריך 3 צעדים עיקריים:

1. מידול התגובה המקרוסקופית של החומר (ענן אלקטרונים שמוסט כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי חיצוני), וחישוב פילוג המקורות שנוצר בעקבותיה.
2. הגדרת וקטור פולריזציה רציף בעזרת המודל המיקרוסקופי. אנחנו למעשה הגדרנו איזשהו תא יחידה, והנחנו שמיצוע פשוט של הדיפולים בתא היחידה הזה יתן את וקטור הפולריזציה. צעד זה נסמך למעשה על תאוריית הלאוזייס - מזוטי, על אף שהיא נפוצה, היא לא מדויקת ובמקרים רבים לא ניתן להשתמש בה כדי להסביר תופעות ניסיוניות.
3. מתוך וקטור הפולריזציה חישוב התפלגות מטען הפולריזציה המקרוסקופיץ צעד זה אינו בעייתי ותמיד נכון, כל עוד אנחנו עובדים בתחום שבו ניתן להגדיר וקטור פולריזציה מקרוסקופי.

דוגמה (איור 7)

איור 7

נתון לוח של חומר פעיל בו שוררת הפולריזציה הנתונה. חשבו את השדה החשמלי בכל המרחב.$${\rho }_p=-\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{P}=-\frac{\partial }{\partial z}{P}_z=-\frac{P_0}{d}$$על השפות:$${\eta }_{p,z=0}=-\hat{z}\cdot (P_{z=0}-0)=0$$$${\eta }_{p,z=d}=-\hat{z}\cdot (0-P_{z=d})=-\hat{z}\cdot (0-P_0\hat{z})=P_0$$$$Q_p={\rho }_p\cdot A\cdot d+{\eta }_{p,z=d}\cdot A=-\frac{P_0}{d}\cdot A\cdot d+P_0\cdot A=0$$הבעיה השקולה: מטעני פולריזציה בואקום!

מאחר וסך מטעני הפולריזציה ליחידת שטח הוא אפס ויש סימטריה של לוח אינסופי, נקבל $\overrightarrow{E}=0$ מחוץ ללוח, כלומר ב-$z<0,z>d$. משיקולי סימטריה: $\overrightarrow{E}=E(z)\hat{z}$.

איור 8

נשתמש בחוק גאוס האינטגרלי. נגדיר מעטפת (הפאה העליונה נמצאת בקואורדינטה $z$)$$\oint {ϵ}_0\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{da}=Q_{in}\Rightarrow {ϵ}_{0}E(z)\cdot A=-\frac{P_0}{d}\cdot A\cdot z\Rightarrow E(z)=-\frac{P_0}{d{ϵ}_0}\cdot z$$ ניתן לראות שרטוט סכמטי של הפיתרון באיור (8).

משוואות מקסוול בחומר - וקטור ההעתקה

נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות פולריזציה בעזרת וקטור ההעתקה $\overrightarrow{D}={ϵ}_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}$, צפיפות שטף חשמלי:$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_0\overrightarrow{E})={\rho }_f+(-\mathrm{\nabla }\cdot P)\Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot \underset{\equiv \overrightarrow{D}\text{ - displacement vector}}{\underbrace{({ϵ}_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P})}}={\rho }_f\\ \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\frac{\partial ({ϵ}_0\overrightarrow{E})}{\partial t}+{\overrightarrow{J}}_f+\frac{\partial \overrightarrow{P}}{\partial t}\Rightarrow \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\frac{\partial }{\partial t}({ϵ}_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P})+{\overrightarrow{J}}_f\\ \hat{n}\cdot ({ϵ}_0{E}_2-{ϵ}_0{E}_1)={\eta }_f+(-\hat{n}\cdot [P_2-P_1])\Rightarrow \hat{n}\cdot (({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2+{\overrightarrow{P}}_2)-({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1+{\overrightarrow{P}}_1))={\eta }_f\end{array}$$נוכל לרשום:$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial ({\mu }_{0}H)}{\partial t}\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_0\overrightarrow{D})={\rho }_f\\ \mathrm{\nabla }\times H=\frac{\partial D}{\partial t}+J_f\\ \mathrm{\nabla }\cdot ({\mu }_{0}H)=0\end{array}$$ותנאי השפה:$$\{\begin{array}{l}\hat{n}\times (E_2-E_1)=0\\ \hat{n}\cdot (D_2-D_1)={\eta }_f\\ \hat{n}\times (H_2-H_1)=K_f\\ \hat{n}\cdot ({\mu }_0{H}_2-{\mu }_0{H}_1)=0\end{array}$$המקורות לשדה ההעתקה $\overrightarrow{D}$ הם המטענים החופשיים בבעיה.

מנגנונים ליצירת פולריזציה:

• Pyroelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה לשינוי בטמפרטורה)
• Piezoelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה להפעלת מאמץ חיצוני)
• Ferroelectric materials (קיים תהליך טבעי שיוצר פולריזציה בלי הפעלת השפעה חיצונית)
• Bi-anisotropic materials

הקשר בין השדה החשמלי E, הפולריזציה P ושדה ההעתקה D

איור 9 - תלות בין P ל E

סוספטביליות ומקדם דיאלקטרי

אנחנו נתעניין בחומרים לינאריים בהם מתקיים:$$\overrightarrow{P}={ϵ}_0{\chi }_e\overrightarrow{E}$$כאשר מגדירים את הסוספטביליות ${\chi }_e$, המתארת בעיקר את התגובה של החומר כאשר השדות חלשים. נוכל כעת לכתוב את וקטור שדה ההעתקה $\overrightarrow{D}$:$$\overrightarrow{D}={ϵ}_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}={ϵ}_0\overrightarrow{E}+{ϵ}_0{\chi }_e\overrightarrow{E}={ϵ}_0(1+{\chi }_e)\overrightarrow{E}$$כאשר $1+{\chi }_e$ הוא המקדם הדיאלקטרי היחסי המסומן ב-${ϵ}_r$, ו-${ϵ}_0(1+{\chi }_e)$ הוא המקדם הדיאלקטרי המסומן ב-$ϵ$.

תכונות של חומרים לינאריים

• איזוטרופיות - החומר מגיב באופן זהה לכל הכיוונים של השדה שמופעלים עליו (או בתוכו). כלומר, $ϵ$ ו-${\chi }_e$ הם סקלרים. אם זה לא כך, $ϵ$ ו-${\chi }_e$ הן מטריצות. במצב זה נוכל לכתוב את שדה ההעתקה באופן הבא:$$\overrightarrow{D}={ϵ}_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}={ϵ}_0(\mathbb{𝕀}+{\chi }_e)\overrightarrow{E}={ϵ}_0{ϵ}_r\overrightarrow{E}$$לדוגמה, אם ${\chi }_e$ תהיה מטריצה $3\times 3$, גם $ϵ$ תהיה מטריצה מסדר זה.
• הומוגניות - כאשר תכונות החומר, $ϵ$, לא תלויות במיקום. כאשר התווך אינו הומוגני מתקיים $ϵ=ϵ(\overrightarrow{r})$

ברגע שיודעים מהו $ϵ$, אז אפשר להכניס אותו לתוך המשוואה ולפתור:$$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{D}={\rho }_f\Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot (ϵ\overrightarrow{E})={\rho }_f$$$$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}+{\overrightarrow{J}}_f\Rightarrow \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\frac{\partial (ϵ\overrightarrow{E})}{\partial t}+J_f$$עם תנאי השפה:$$\hat{n}\cdot ({\overrightarrow{D}}_2-{\overrightarrow{D}}_1)={\eta }_f\Rightarrow \hat{n}\cdot ({ϵ}_2{\overrightarrow{E}}_2-{ϵ}_1{\overrightarrow{E}}_1)={\eta }_f$$

מטען נקודתי בתוך חומר דיאלקטרי

כאשר עסקנו במטען נקודתי בואקום, השדה אותו יוצר המטען למעשה מקיים:

$$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}=\frac{\rho }{{ϵ}_0}=\frac{\delta (r-r_0)}{{ϵ}_0}\Rightarrow {\mathrm{\nabla }}^2\varphi =-\frac{\delta (r-r_0)}{{ϵ}_0}$$התוצאה היא כמובן הפוטנציאל:

$$\varphi =\frac{q}{4\pi {ϵ}_0|r-r^{\prime }|}$$

תווך אינסופי (איור 10)

איור 10

$$\overrightarrow{D}=\frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat{r}$$$$\overrightarrow{D}=ϵ\overrightarrow{E}\Rightarrow \overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{D}}{ϵ}\Rightarrow \overrightarrow{E}=\frac{q}{4\pi ϵr^2}\cdot \hat{r}$$

כדור סופי (איור 11)

איור 11

מטעמי סימטריה מתקיים $\overrightarrow{E}=E(r)\cdot \hat{r},\overrightarrow{D}=D(r)\cdot \hat{r}$. נקבל את תנאי השפה:$$\hat{n}\cdot (D_{out}-D_{in})={\eta }_f=0$$מכאן נובע:$$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{D}={\rho }_f\iff \int \overrightarrow{D}\cdot \hat{n}ds=Q_{f,in}$$שדה ההעתקה:$$\overrightarrow{D}=\frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat{r}$$והשדה החשמלי:$$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{E}=\frac{q}{4\pi ϵr^2}\cdot \hat{r}r<a\\ \overrightarrow{E}=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}\cdot \hat{r}r>a\end{array}$$תנאי שפה עבור $\overrightarrow{E}$ בוואקום:$$\hat{n}\cdot ({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_2-{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_1)={\eta }_{tot}={\eta }_f+{\eta }_{pol}$$נמצא את הפולריזציה:$$\overrightarrow{D}=ϵ\overrightarrow{E}={ϵ}_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}\Rightarrow \overrightarrow{P}=(ϵ-{ϵ}_0)\overrightarrow{E}$$$$\overrightarrow{P}=\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\frac{q}{4\pi ϵr^2}}\cdot \hat{r}(ϵ-{ϵ}_0)r<a\\ 0r>a\end{array}$$כעת נוכל למצוא את צפיפות המטען המשטחית (על שפת הכדור) הנובעת ממטעני הפולריזציה:$${\eta }_p=-\hat{r}\cdot ({\overrightarrow{P}}_{out}-{\overrightarrow{P}}_{in})=\frac{q}{4\pi ϵa^2}\cdot (ϵ-{ϵ}_0)$$$$Q_p=q\frac{ϵ-{ϵ}_0}{ϵ}$$סך מטעני הפולריזציה חייב להיות אפס. את המטען עצמו נוכל לקבל מחוק גאוס:$$\int {ϵ}_0\overrightarrow{E}\cdot \hat{n}ds=Q_f+Q_{pol}$$$${ϵ}_0\frac{q}{4\pi ϵr^2}4\pi r^2=q+Q_{pol}$$$$\frac{{ϵ}_0}{ϵ}q=q+Q_{pol}\Rightarrow Q_{pol}=\frac{-ϵ+{ϵ}_0}{ϵ}q$$וזהו בדיוק $-Q_{p,surface}$ כך שסך מטען הפולריזציה הוא אכן אפס.

דוגמה (איור 12)

איור 12

נתון כדור בעל מקדם דיאלקטרי $ϵ$, מוקף בריק. הכדור מוכנס לשדה אחיד. מצאו את השדות בכל המרחב.

הבעיה סטטית ולכן ניתן לרשום את השדה החשמלי בתור גרדיאנט של פונקציה סקלרית:$$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=0\Rightarrow \overrightarrow{E}=-\mathrm{\nabla }\varphi$$בהצבה במשוואות מקסוול נקבל:$$\mathrm{\nabla }\cdot (ϵE)=0\Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot (ϵ\cdot (-\mathrm{\nabla }\varphi ))=0$$מאחר ו-$ϵ$ הומוגני נקבל:$$ϵ{\mathrm{\nabla }}^2\varphi =0$$וזוהי משוואת לפלס.

תנאי השפה בבעיה:$$\{\begin{array}{l}{\varphi }_{out}(r>>a)=-E_{0}z=-E_{0}r\cos \theta \\ \hat{r}\cdot ({ϵ}_0{\overrightarrow{E}}_{out}-ϵ{\overrightarrow{E}}_{in}){|}_{\text{r=a}}=0\Rightarrow \hat{r}\cdot [-{ϵ}_0\frac{\partial {\varphi }_{out}}{\partial r}-(-ϵ\frac{\partial {\varphi }_{in}}{\partial r}){]}_{\text{r=a}}=0\\ {\varphi }_{out}(r=a)={\varphi }_{in}(r=a)\\ {\varphi }_{in}(r\to 0)<{}^{″}{\mathrm{\infty }}^{″}\end{array}$$נבחר פוטנציאל:$$\{\begin{array}{l}{\varphi }_{out}=(Ar+\frac{B}{r^2})\cos \theta \\ {\varphi }_{in}=Cr\cos \theta \end{array}$$כאשר זרקנו את התלות ב-$\frac{1}{r^2}$ בפוטנציאל הפנימי כדי לקיים את תנאי השפה הרביעי.

מתנאי השפה השלישי והראשון בהתאמה נקבל:$$\{\begin{array}{l}Aa+\frac{B}{a^2}=Ca\\ {\varphi }_{out}(r>>a)=Ar\cos \theta =-E_{0}r\cos \theta \Rightarrow A=-E_0\end{array}$$נציב בתנאי השפה השני את הנגזרות של הפוטנציאל:$$\frac{\partial {\varphi }_{out}}{\partial r}=(A-\frac{2B}{r^3})\cos \theta ,\frac{\partial {\varphi }_{in}}{\partial r}=C\cos \theta$$ונקבל:$${ϵ}_0(A-\frac{2B}{a^3})=ϵC$$בסך הכל, המקדמים אשר נקבל עבור הפוטנציאל הם:$$\{\begin{array}{l}A=-E_0\\ B=-a^3\cdot \frac{{ϵ}_r-1}{{ϵ}_r+2}{E}_0\\ C=a^3\cdot \frac{3}{{ϵ}_r+2}{E}_0\end{array}$$כאשר ${ϵ}_r=\frac{ϵ}{{ϵ}_0}$. לכן, הפוטנציאל והשדה החשמלי מחוץ לכדור:$$\{\begin{array}{l}{\varphi }_{out}=(-E_{0}r+E_0{a}^3\cdot \frac{{ϵ}_r-1}{{ϵ}_r+2}\frac{1}{r^2})\cos \theta \\ {\overrightarrow{E}}_{out}=E_0\hat{z}+\frac{{ϵ}_r-1}{{ϵ}_r+2}\cdot E_0\cdot \frac{a^3}{r^3}\cdot (2\cos \theta \hat{r}+\sin \theta \hat{\theta })\end{array}$$כעת נוכל לחשב את הקיטוביות:$${\varphi }_{dipole}=\frac{p}{4\pi {ϵ}_0}\frac{1}{r^2}\cos \theta$$בבעיה שלנו, נמצא את הקיטוביות בעזרת השוואת מקדמים:$$\frac{p}{4\pi {ϵ}_0}=E_0\cdot a^3\cdot \frac{{ϵ}_r-1}{{ϵ}_r+2}\Rightarrow p=4\pi {ϵ}_0{a}^3\cdot \frac{{ϵ}_r-1}{{ϵ}_r+2}{E}_0$$הקיטוביות מוגדרת על ידי $\overrightarrow{p}={ϵ}_0\alpha \overrightarrow{E}$, לכן נוכל לרשום:$$\alpha =4\pi a^3\cdot \frac{{ϵ}_r-1}{{ϵ}_r+2}=3V\cdot \frac{{ϵ}_r-1}{{ϵ}_r+2}$$כעת נסתכל על השדה והפוטנציאל בתוך הכדור:$$\{\begin{array}{l}{\varphi }_{in}=-\frac{3E_0}{2+{ϵ}_r}\cdot r\cos \theta \\ {\overrightarrow{E}}_{in}=\frac{3}{2+{ϵ}_r}\hat{z}\end{array}$$מתקיים ${\overrightarrow{E}}_{in}={\overrightarrow{E}}_{out}+{\overrightarrow{E}}_{respond}$ ולכן שדה התגובה:$${\overrightarrow{E}}_{respond}=-\frac{{ϵ}_r-1}{{ϵ}_r+2}{E}_0\hat{z}$$

איור 13 - שרטוט הפיתרון

דוגמה 2 (איור 14)

איור 14

חשבו את הקיבול של קבל שכבות.

מטעמי סימטריה מתקיים $\overrightarrow{E}=E(z)\cdot \hat{z},\overrightarrow{D}=D(z)\cdot \hat{z}$

בתוך הקבל $\overrightarrow{D}$ אחיד: $\overrightarrow{D}=D_0\hat{z}$. נסתכל על צפיפות המטען המשטחית על הלוח העליון:$${\eta }_f=\hat{z}\cdot ({\overrightarrow{D}}_{out}-{\overrightarrow{D}}_{in})=-D_0$$ולכן המטען ובהתאם הקיבול:$$Q=|D_0|\cdot A\Rightarrow C=\frac{Q}{V}=\frac{|D_0|\cdot A}{V}$$בשכבה ה-$i$ מתקיים:$$\overrightarrow{D}=ϵ\overrightarrow{E}\Rightarrow D_0\hat{z}={ϵ}_i{\overrightarrow{E}}_i\Rightarrow {\overrightarrow{E}}_i=\frac{D_0}{{ϵ}_i}\hat{z}$$המתח הכולל יתקבל על ידי סכימה על הפוטנציאלים שנצברים בכל שכבה:$$V=\sum \frac{D_0}{{ϵ}_i}\cdot d_i\Rightarrow C=\frac{D_0\cdot A}{\sum \frac{D_0}{{ϵ}_i}\cdot d_i}=\frac{A}{\sum \frac{d_i}{{ϵ}_i}}=\frac{1}{\sum \frac{d_i}{{ϵ}_{i}A}}$$נשים לב לכך שהתוצאה שקיבלנו שקולה לחיבור קבלים בטור.

אם השתנות $ϵ$ רציפה $ϵ=ϵ(z)$ נוכל לחלק לשכבות בעובי $dz$ ונקבל:$$\frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{A}\int \frac{dz}{ϵ(z)}$$במקור הגדרנו: $$\overrightarrow{p}=\alpha \overrightarrow{E}$$נגדיר מחדש: $$\overrightarrow{p}={ϵ}_0\alpha \overrightarrow{E}$$כאשר: $$[\alpha ]=m^3$$