פרק 10 - שדות חשמליים בחומר

שדות חשמליים בחומר

איור 1

עד כה עסקנו בהתנהגות השדה החשמלי והמגנטי בואקום - כלומר בהעדר חומר כלשהו. במציאות, כמובן שכל התופעות מתרחשות בתוך חומר כלשהו. מטרתנו בפרק זה היא להבין כיצד מתארים את האינטראקציה של החומר עם השדה החשמלי, ומתוך תאור זה לקבל מודל כמותי המאפשר להביא בחשבון את תכונות החומרים בתוך משוואות מקסוול. נקודה חשובה אותה כבר הזכרנו, ועומדת בבסיס המודלים אותם נציג בפרק זה היא הנקודה הבאה:

• תגובת החומר לשדה החשמלי באה לידי ביטוי בתגובת המטענים שבחומר לשדה, ובפרט ביצירת פילוג מטענים "חדש" בחומר בתגובה להפעלת שדה חיצוני. ברגע שנדע לחשב את פילוג המטענים ה"מושרה" על ידי השדה החיצוני, השדה הכולל יהיה השדה החיצוני בתוספת לשדה אותו יוצר הפילוג המושרה, כאילו היו מונחים בואקום.

חומרים מוליכים

בפרקים קודמים כבר הזכרנו את התנהגות השדות החשמליים בתוך חומרים מוליכים, כאשר את תגובת החומר (הזרם שנוצר כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי כלשהו) תארנו באמצעות חוק אוהם

$${\vec {J}}=\sigma {\vec {E}}$$

בפרק זה ננסה להסביר מעט יותר טוב מאיפה חוק זה נובע, באמצעות מודל פשטני למדי, אך יעיל. את עיקרי הפיתוח ואת ההנחות הדרושות כבר הצגנו בפרק 2. נחזור בקצרה על הדברים: נניח כי קיים במרחב "ענן" פילוג מטען כלשהו $\rho ({\vec {r}})$ כמוראה באיור 1, ונושאי המטען נעים במהירות ${\vec {v}}({\vec {r}})$. על פי הגדרת הזרם כמטען שחולף דרך חתך מסוים ליחידת זמן, ניתן לרשום ביטוי לצפיפות הזרם

$${\vec {J}}=\rho (r)\cdot {\vec {v}}(r)$$

אם נניח שפילוג המטען בנוי מחלקיקים נושאי מטען בצפיפות נפחית $n({\vec {r}})$, ומטענו של כל חלקיק הוא $q$, נקבל

$${\vec {J}}=n({\vec {r}})\cdot q\cdot {\vec {v}}(r)$$

איור 2

במקרה הכללי ביותר, ייתכן ופילוג המטען מורכב מיותר מסוג אחד של חלקיקים, כאשר לחלקיקים מסוג $k$ תהיה צפיפות $n_{k}({\vec {r}})$, מטען $q_{k}$, ופילוג מהירויות ${\vec {v}}({\vec {r}})$. במקרה זה ניתן לרשום את צפיפות הזרם המרחבית על ידי

$${\vec {J}}=\sum n_{k}\cdot q_{k}\cdot {\vec {v}}_{k}$$

חשוב לציין ש-$q_{k}$ יכול להיות גם שלילי וגם חיובי (מה שיוביל לצפיפות זרם הפוכה בכיוונה).

מודל Drude

איור 3 - פאול דרודה

מודל דרודה הוא מודל קלאסי מקורב המתאר את האינטראקציה של מטענים חופשיים בחומר עם שדה חשמלי. במודל דרודה, מסתכלים על מטענים אשר חופשיים לנוע בתגובה להפעלת שדה חשמלי חיצוני ${\vec {E}}$. במצב זה, ניתן לכתוב את משוואת התנועה עבור החוק השני בצורה הבאה:

$$m\cdot {\dot {\vec {v}}}=q{\vec {E}}-\nu {\vec {v}}$$

כאשר $\nu$ הינו מקדם החיכוך האפקטיבי הגורם לכוחות מעכבים לפעול על המטענים הנעים בחומר. כשהמערכת מתייצבת (בין אם ההתייצבות נובעת משדות סטטיים לחלוטין, ובין אם קצב השינוי של השדות במערכת הרבה יותר איטי מזמן ההתייצבות האופייני), מתקיים ${\dot {\vec {v}}}=0$ ואז ניתן לרשום:

$$q{\vec {E}}=\nu {\vec {v}}\Rightarrow {\vec {v}}={\frac {q}{\nu }}{\vec {E}}={\vec {v}}_{d}$$

כאשר ${\vec {v}}_{d}$ מוגדרת להיות המהירות בשיווי משקל (נקראת "מהירות הסחיפה", או drift velocity).

מקובל לסמן $\mu ={\frac {q}{\nu }}$ - מוביליות נושאי המטען.

אם נציב את הביטוי ל-${\vec {v}}_{d}$ במשוואה המתארת את צפיפות הזרם, נקבל:

$${\vec {J}}=\sum n_{k}\cdot q_{k}\cdot {\vec {v}}_{k}=\sum n_{k}\cdot q_{k}\cdot {\frac {q_{k}}{\nu _{k}}}{\vec {E}}=\underbrace {\sum n_{k}\cdot {\frac {q_{k}^{2}}{\nu _{k}}}} _{\equiv \sigma }{\vec {E}}=\sigma {\vec {E}}$$

כלומר, קיבלנו מתוך מודל דרודה את חוק אוהם, כאשר $\sigma$ המוליכות הסגולית, והיא פרמטר התלוי בצפיפות נושאי המטען בחומר, מקדם ה"חיכוך", ומטענם של נושאי המטען.

את משוואות השדה ותנאי השפה בחומר המקיים את חוק אוהם כבר ראינו בפרק 8.

פולריזציה

איור 4 - פולריזציה

לא תמיד יש אלקטרונים שחופשיים לנוע, לפעמים האלקטרונים "קשורים" אבל יכולה להיות סטייה במיקומם ביחס לגרעין.

איור 5

אין זה המקום להכנס למודלים מדויקים של פילוג המטען סביב אטום, אך באופן כללי מיקום האלקטרון מתואר ע"י פונקציית גל קוונטית $\Psi$, כאשר$|\Psi |^{2}$ מתארת לנו את ההסתברות למצוא את האלקטרון במיקום מסוים סביב הגרעין.

כאשר מופעל שדה חיצוני, הוא "מעוות" את ענן האלקטרונים (פונקציית הגלת איור 4), והמיקום הממוצע של האלקטרונים נתון על ידי הביטוי:

$$\int {\vec {r}}\psi (r,t)\cdot \psi ^{*}(r,t)dr$$

ללא שדה, צפוי שמרכז הכובד של של ההסתברות יהיה במרכז האטום, אך בהפעלת השדה, המיקום הממוצע של האלקטרונים כבר לא יהיה במרכז וייווצר דיפול שקול בחומר.

בחומרים מסוימים, לדוגמא מים (איור 5), למולקולות המרכיבות אותם קיים מומנט דיפול באופן טבעי, ואז הפעלה של שדה חשמלי חיצוני גם נוטה "ליישר" את כל הדיפולים בכיוון השדה.

כמובן, שקיימים מקרים רבים בהם שני מנגנוני קיטוב אלו תורמים לתגובת החומר.

מודל מקרוסקופי

איור 6

המודל המיקרוסקופי (כלומר מודל המתאר תגובה של אטום או מולקולה בודדים לשדה בסביבתם) אותו תארנו אינו קשור באופן ישיר למשוואות מקסוול. המטרה שלנו, כעת, היא למצוא פרמטרים מקרוסקופיים ממוצעים, שאותם נוכל להציב במשוואות מקסוול ולפתור את השדות בנוכחות חומרים.

כבר ציינו, שעל מנת להבין טוב את האינטראקציה בין החומר לשדה עלינו לקבל את פילוג המטען שנוצר בחומר בתגובה להפעלת השדה החיצוני וממנו ניתן יהיה לחשב את השדה המלא כשדה שנוצר ע"י המקורות החיצוניים + פילוג המטען בחומר.

נניח כי קיים חומר כלשהו שהפעלת שדה חיצוני גרמה להתקטבות המטען בתוכו, וליצירת מוומנט דיפול כלשהו באטומים המרכיבים אותו (איור 6). נביט בתיבה קטנה מתוך החומר.

אם נניח שמומנט הדיפול של כל אטום או מולקולה הוא ${\vec {p}}_{atom}$, ובתיבה יש $N$ דיפולים, נקבל שמומנט הדיפול השקול של החומר בתיבה הוא ${\vec {P}}=N\cdot {\vec {p}}_{atom}$. נוכל להגדיר את צפיפות הדיפולים הנפחית בתור היחס בין מומנט הדיפול לנפח:

$${\vec {P}}={\frac {\vec {p}}{\delta v}}={\frac {\vec {p}}{\delta {\vec {A}}\cdot \delta {\vec {l}}}}$$

בהינתן ${\vec {P}}$, אפשר לרשום:

$${\vec {p}}={\vec {P}}\cdot \delta v=({\vec {P}}\cdot \delta {\vec {A}})\delta {\vec {l}}=\delta Q\cdot \delta {\vec {l}}$$

מאחר ומומנט דיפול מוגדר על ידי ${\vec {p}}=Q{\vec {d}}$, נסיק כי את הפולריזציה ניתן לייצג כאילו על פאה יש מטען $\delta Q={\vec {P}}\cdot \delta {\vec {A}}$ והם מופרדים זה מזה במרחק של $\delta {\vec {l}}$. באופן דומה, אם היינו עושים את החישוב על הפאה התחתונה, היינו מקבלים $\delta Q=-{\vec {P}}\cdot \delta {\vec {A}}$/

בעצם מה שקיבלנו הוא שכדי ליצור את תגובת החומר שבתיבה לשדה החשמלי, באופן אפקטיבי "הועתקה" כמות מטען של $\delta q$ מהדופן התחתונה לעליונה, למרחק של $\delta {\vec {l}}$ בין פילוגי המטען.

אם נכליל את התוצאה, כדי לחשב את סך מטען הפולריזציה המשטחי על דפנות התיבה, עלינו לסכם ולקבל

$$Q_{p,surface}=\oint {\vec {P}}\cdot {\vec {\delta a}}$$

מאחר והחומר הוא ניטרלי מבחינת סך המטען שבו (נזכור כי המודל שלנו עבור הפולריזציה הוא דיפולים שנוצרים בתגובה לשדה, וסך המטען בכל דיפול הוא אפס), ברור כי סך המטען בכל נפח שנבחר חייב להתאפס, ולכן

$$Q_{p,volume}=-\oint {\vec {P}}\cdot {\vec {da}}$$

נביט בקשר הזה, עבור נפח קטן $\Delta v$:

$$\rho _{p}={\frac {Q_{p,volume}}{\Delta v}}=-{\frac {1}{\Delta v}}\oint {\vec {P}}\cdot {\vec {da}}{\overset {\underset {\mathrm {\Delta v\rightarrow 0} }{}}{=}}-\nabla \cdot {\vec {P}}$$

$$\Rightarrow \rho _{p}=-\nabla \cdot {\vec {P}}$$

כאשר השתמשנו בהגדרת הדיברגנץ.

נשים לב לכך שאם ${\vec {P}}$ אחיד, אז $\rho _{p}=0$.

צפיפות משטחית של מטעני הפולריזציה

כעת, כשיש לנו חוקים אינטגרלים הקושרים את מטעני הפולריזציה לוקטור הפולריזציה בחומר, נוכל לבצע לוקליזציה של הביטויים האינטגרלים סביב שפות, על מנת לקבל את צפיפות מטען הפולריזציה המשטחית. למעשה, אין צורך לחזור על התהליך, וניתן להשתמש בדמיון ה"ויזואלי" לחוק גאוס הקשר בין חוק גאוס האינטגרלי, לתנאי השפה לחוק גאוס הוא

$$Q_{in}=\oint \epsilon _{0}{\vec {E}}\cdot {\vec {da}}\;\;\Longrightarrow \;\;\eta ={\hat {n}}\cdot (\epsilon _{0}{\vec {E}}_{2}-\epsilon _{0}{\vec {E}}_{1})$$

ולכן, באופן אנלוגי לחלוטין נקבל את הקשר בין אי רציפות בוקטור הפולריזציה לצפיפות משטחית של מטען הפולריזציה

$$Q_{p}=-\oint {\vec {P}}\cdot {\vec {da}}\;\;\Longrightarrow \;\;\eta _{p}=-{\hat {n}}\cdot ({\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1})$$

זרמי פולריזציה

נסתכל על השינוי בזמן באלמנט קטן של מטען פולריזציה משטחי $\delta Q={\vec {P}}\cdot \delta {\vec {A}}$. הזרם ה"נכנס" לשפה, קשור לשינוי זה על ידי

$$I={\frac {d(\delta Q)}{dt}}={\frac {d}{dt}}({\vec {P}}\cdot \delta {\vec {A}})=\underbrace {\frac {d{\vec {P}}}{dt}} _{\equiv {\vec {J}}_{p}}\cdot \delta {\vec {A}}={\vec {J}}_{p}\cdot \delta {\vec {A}}$$

כאשר השינוי בזמן של ${\vec {P}}$ הוא למעשה צפיפות נפחית של זרם שחולף בתיבה - זרם פולריזציה ${\vec {J}}_{p}$.

ביחד עם הקשר $\rho _{p}=-\nabla \cdot {\vec {P}}$ נקבל את חוק שימור מטען הפולריזציה:

$$\nabla \cdot {\vec {J}}_{p}=-{\frac {d\rho _{p}}{dt}}$$

נקבל:

$$\eta _{p}=-{\hat {n}}\cdot ({\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1})$$

אם נגזור בזמן את הביטוי שקיבלנו עבור צפיפות המטען המשטחית, נקבל:

$${\frac {d\eta _{p}}{dt}}=-{\hat {n}}\cdot \left({\frac {\partial {\vec {P}}_{2}}{\partial t}}-{\frac {\partial {\vec {P}}_{1}}{\partial t}}\right)=-{\hat {n}}\cdot ({\vec {J}}_{2,p}-{\vec {J}}_{1,p})$$

כלומר, אין זרמי פולריזציה משטחיים! (אלא אם יש תנועה מכנית)

משוואות מקסוול בחומר

אם נסכם את פרטי המודל עד כה, קיבלנו שקיומה של פולריזציה בחומר ניתן לתאור על ידי פילוג מטען אפקטיבי המונח בואקום. אם נכניס פילוג מטען זה למשוואות מקסוול, נקבל

$${\begin{cases}\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial (\mu _{0}H)}{\partial t}}\\\nabla \cdot (\epsilon _{0}{\vec {E}})=\rho _{f}+(-\nabla \cdot {\vec {P}})\\\nabla \times {\vec {H}}={\frac {\partial (\epsilon _{0}{\vec {E}})}{\partial t}}+{\vec {J}}_{f}+{\frac {\partial {\vec {P}}}{\partial t}}\\\nabla \cdot (\mu _{0}{\vec {H}})=0\end{cases}}$$

המקורות לשדה החשמלי הם כלל המטענים בבעיה - מטענים חופשיים ומטעני פולריזציה.

תנאי השפה המגיעים ממשוואות מקסוול בתנאים אלו:

$${\begin{cases}{\hat {n}}\times ({\vec {E}}_{2}-{\vec {E}}_{1})=0\\{\hat {n}}\cdot (\epsilon _{0}{\vec {E}}_{2}-\epsilon _{0}{\vec {E}}_{1})=\eta _{f}+(-{\hat {n}}\cdot [{\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}])=\eta _{f}+\eta _{p}\\{\hat {n}}\times ({\vec {H}}_{2}-{\vec {H}}_{1})={\vec {K}}_{f}\\{\hat {n}}\cdot (\mu _{0}{\vec {H}}_{2}-\mu _{0}{\vec {H}}_{1})=0\end{cases}}$$

נשים לב, כי ניסוח משוואות מקסוול אותן יש לפתור בסופו של דבר הצריך 3 צעדים עיקריים:

1. מידול התגובה המקרוסקופית של החומר (ענן אלקטרונים שמוסט כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי חיצוני), וחישוב פילוג המקורות שנוצר בעקבותיה.
2. הגדרת וקטור פולריזציה מקרוסקופי, רציף וממוצע בעזרת המודל המיקרוסקופי. למעשה הגדרנו תא יחידה, והנחנו שמיצוע פשוט של הדיפולים בתא היחידה הזה יתן את וקטור הפולריזציה. צעד זה נסמך למעשה על תאוריית קלאוזיוס - מזוטי. על אף שהיא נפוצה, היא לא מדויקת ובמקרים רבים לא ניתן להשתמש בה כדי להסביר תופעות ניסיוניות.
3. מתוך וקטור הפולריזציה חישוב התפלגות מטען הפולריזציה המקרוסקופית צעד זה אינו בעייתי ותמיד נכון, כל עוד אנחנו עובדים בתחום שבו ניתן להגדיר וקטור פולריזציה מקרוסקופי.

דוגמה - לוח בעל פולריזציה אחידה

איור 7

נתון לוח של חומר פעיל בו שוררת הפולריזציה ${\vec {P}}=P_{0}{\hat {z}}$ (איור 7). חשבו את השדה החשמלי בכל המרחב.

נתחיל מחישוב צפיפות מטעני הפולריזציה

$$\rho _{p}=-\nabla \cdot {\vec {P}}=-{\frac {\partial }{\partial z}}P_{z}=-{\frac {P_{0}}{d}}$$

על השפות:

$$\eta _{p,z=0}=-{\hat {z}}\cdot (P_{z=0}-0)=0$$

$$\eta _{p,z=d}=-{\hat {z}}\cdot (0-P_{z=d})=-{\hat {z}}\cdot (0-P_{0}{\hat {z}})=P_{0}$$

נוודא שאכן מתקיים שסך מטעני הפולריזציה מתאפס

$$Q_{p,total}=\rho _{p}\cdot A\cdot d+\eta _{p,z=d}\cdot A=-{\frac {P_{0}}{d}}\cdot A\cdot d+P_{0}\cdot A=0$$

הבעיה השקולה - מטעני פולריזציה בואקום.

מאחר וסך מטעני הפולריזציה ליחידת שטח הוא אפס ויש סימטריה של לוח אינסופי, נקבל ${\vec {E}}=0$ מחוץ ללוח, כלומר ב-$z<0,z>d$. משיקולי סימטריה: ${\vec {E}}=E(z){\hat {z}}$.

איור 8

נשתמש בחוק גאוס האינטגרלי. נגדיר מעטפת (הפאה העליונה נמצאת בקואורדינטה $z$)

$$\oint \epsilon _{0}{\vec {E}}\cdot {\vec {da}}=Q_{in}\Rightarrow \epsilon _{0}E(z)\cdot A=-{\frac {P_{0}}{d}}\cdot A\cdot z\Rightarrow E(z)=-{\frac {P_{0}}{d\epsilon _{0}}}\cdot z$$

ניתן לראות שרטוט סכמטי של הפיתרון באיור (8).

משוואות מקסוול בחומר - וקטור ההעתקה

נשים לב שבאופן אלטרנטיבי ניתן לרשום את משוואות מקסוול שבהן מופיעה הפולריזציה גם באופן הבא

$${\begin{cases}\nabla \cdot (\epsilon _{0}{\vec {E}})=\rho _{f}+(-\nabla \cdot P)\Longrightarrow \nabla \cdot (\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}})=\rho _{f}\\\nabla \times {\vec {H}}={\frac {\partial (\epsilon _{0}{\vec {E}})}{\partial t}}+{\vec {J}}_{f}+{\frac {\partial {\vec {P}}}{\partial t}}\Rightarrow \nabla \times {\vec {H}}={\frac {\partial }{\partial t}}(\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}})+{\vec {J}}_{f}\\{\hat {n}}\cdot (\epsilon _{0}E_{2}-\epsilon _{0}E_{1})=\eta _{f}+(-{\hat {n}}\cdot [P_{2}-P_{1}])\Rightarrow {\hat {n}}\cdot ((\epsilon _{0}{\vec {E}}_{2}+{\vec {P}}_{2})-(\epsilon _{0}{\vec {E}}_{1}+{\vec {P}}_{1}))=\eta _{f}\end{cases}}$$

מבנה זה מרמז שיהיה שימושי להגדיר את וקטור ההעתקה ${\vec {D}}=\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}$ ואז נוכל לרשום

$${\begin{cases}\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial (\mu _{0}H)}{\partial t}}\\\nabla \cdot ({\vec {D}})=\rho _{f}\\\nabla \times H={\frac {\partial D}{\partial t}}+J_{f}\\\nabla \cdot (\mu _{0}H)=0\end{cases}}$$

ותנאי השפה:

$${\begin{cases}{\hat {n}}\times (E_{2}-E_{1})=0\\{\hat {n}}\cdot (D_{2}-D_{1})=\eta _{f}\\{\hat {n}}\times (H_{2}-H_{1})=K_{f}\\{\hat {n}}\cdot (\mu _{0}H_{2}-\mu _{0}H_{1})=0\end{cases}}$$

המקורות לשדה ההעתקה ${\vec {D}}$ הם המטענים החופשיים בלבד, בעוד שכבר ראינו שהמקורות לשדה החשמלי ${\vec {E}}$ הם המטענים החופשיים ומטעני הפולריזציה.

הקשר בין השדה החשמלי E, הפולריזציה P ושדה ההעתקה D

קיימים סוגים רבים של חומרים, בהם מתקיימים קשרים שונים בין השדה החשמלי השורר בחומר ווקטור הפורלריזציה. אצלנו בקורס אנחנו נעסוק בעיקר בתכונות של חומרים שבהם פולריזציה נוצרת בתגובה לשדה חשמלי בתוך החומר, אז אין זה המנגנון היחיד ליצירת פולריזציה. קיימות דוגמאות נוספות:

• Pyroelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה לשינוי בטמפרטורה. דוגמא - העצמות בגוף האדם הן בעלות תכונה זו)
• Piezoelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה להפעלת מאמץ חיצוני. דוגמא - גבישים פייזואלקטריים הנמצאים במתמר אולטראסאונד, מיקרופונים, גיטרות חשמליות)
• Ferroelectric materials (קיים תהליך טבעי שיוצר פולריזציה בלי הפעלת השפעה חיצונית. Rochelle Salt. גם כן שימושי במיקרופונים, ומשמש במיקרופון electret.)
• Bi-anisotropic materials (חומרים ששבהם נוצרת פולריזציה חשמלית בתגובה לשדה מגנטי).

באיור 9 מוצגות מספר דוגמאות למקרים שונים של קשר בין שדה חשמלי לפולריזציה. מימין - חומר אלקטרו-פעיל טהור בו שוררת פולריזציה קבועה ללא תלות בשדה החשמלי המופעל. במרכז, חומר פסיבי, בו פולריזציה נוצרת רק בתגובה לשדה חיצוני, ומתאפסת כאשר ערך השדה חוזר לאפס. משמאל - מודל היסטרזיס. חומר שבו לאחר כיבוי השדה החשמלי נותרת פולריזציה שיורית (בדומה למגנוט של פיסת ברזל). חומרים שמגיבים כך יותר נפוצים במקרה המגנטי, ונדון בתגובה מסוג זה (לולאת היסטרזיס) כאשר נדון בחומרים מגנטיים. הקשר בין הפולריזציה לשדה החשמלי ${\vec {P}}({\vec {E}})$ נקרא יחס חוקה (Constitutive relation), והוא מאפיין חומר מסוים.

איור 9 - תלות בין P ל E

סוספטביליות ומקדם דיאלקטרי

אנחנו נתעניין בחומרים לינאריים בהם מתקיים:

$${\vec {P}}}=\epsilon _{0}\chi _{e}{\vec {E}$$

כאשר $\chi _{e}$ היא הסוספטיביליות החשמלית. חומרים רבים בטבע מגיבים בצורה זו כאשר השדות בחומר אינם חזקים מדי. נוכל כעת לכתוב את וקטור שדה ההעתקה ${\vec {D}}$ באופן הבא

$${\vec {D}}=\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}=\epsilon _{0}{\vec {E}}+\epsilon _{0}\chi _{e}{\vec {E}}=\epsilon _{0}(1+\chi _{e}){\vec {E}}=\epsilon _{0}\epsilon _{r}{\vec {E}}=\epsilon {\vec {E}}$$

כאשר $1+\chi _{e}$ הוא המקדם הדיאלקטרי היחסי המסומן ב-$\epsilon _{r}$, ו-$\epsilon _{0}(1+\chi _{e})$ הוא המקדם הדיאלקטרי המסומן ב-$\epsilon$.

תכונות של חומרים לינאריים

• איזוטרופיות - החומר מגיב באופן זהה לכל הכיוונים של השדה שמופעלים עליו (או בתוכו). כלומר, $\epsilon$ ו-$\chi _{e}$ הם סקלרים. אם זה לא כך, ${\underline {\underline {\epsilon }}}$ ו-${\underline {\underline {\chi _{e}}}}$ הן מטריצות. במצב זה נוכל לכתוב את שדה ההעתקה באופן הבא:

$${\vec {D}}=\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}=\epsilon _{0}({\underline {\underline {\mathbb {I} }}}+{\underline {\underline {\chi _{e}}}}){\vec {E}}=\epsilon _{0}{\underline {\underline {\epsilon _{r}}}}{\vec {E}}$$

לדוגמה, אם $\chi _{e}$ תהיה מטריצה $3\times 3$, גם $\epsilon$ תהיה מטריצה מסדר זה.

• הומוגניות - כאשר תכונות החומר, $\epsilon$, לא תלויות במיקום. כאשר התווך אינו הומוגני מתקיים $\epsilon =\epsilon ({\vec {r}})$

ברגע שיודעים מהו $\epsilon$, אז אפשר להכניס אותו לתוך המשוואה ולפתור:

$$\nabla \cdot {\vec {D}}=\rho _{f}\Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon {\vec {E}})=\rho _{f}$$

$$\nabla \times {\vec {H}}={\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}+{\vec {J}}_{f}\Rightarrow \nabla \times {\vec {H}}={\frac {\partial (\epsilon {\vec {E}})}{\partial t}}+J_{f}$$

עם תנאי השפה:

$${\hat {n}}\cdot ({\vec {D}}_{2}-{\vec {D}}_{1})=\eta _{f}\Rightarrow {\hat {n}}\cdot (\epsilon _{2}{\vec {E}}_{2}-\epsilon _{1}{\vec {E}}_{1})=\eta _{f}$$

מטען נקודתי בתוך חומר דיאלקטרי

כאשר עסקנו במטען נקודתי בואקום, השדה אותו יוצר המטען למעשה מקיים:

$$\nabla \cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}={\frac {\delta (r-r_{0})}{\epsilon _{0}}}\Rightarrow \nabla ^{2}\phi =-{\frac {\delta (r-r_{0})}{\epsilon _{0}}}$$

התוצאה היא כמובן הפוטנציאל:

$$\phi ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}|r-r'|}}$$

כעת, נביט על אותה הבעיה, אך כאשר המטען הנקודתי מונח בתוך חומר דיאלקטרי (איור 10) מבחינת וקטור ההעתקה ${\vec {D}}$, מתקיים

איור 10

$$\nabla \cdot {\vec {D}}=\rho _{free}=q\delta (r-r_{0})\Rightarrow {\vec {D}}={\frac {1}{4\pi }}{\frac {q}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{2}}}{\hat {r}}$$

מאחר והמקור ל-${\vec {D}}$ הוא המטענים החופשיים, אני מקבלים שהוא זהה ל-${\vec {D}}$ שהיה מתקבל בואקום.

לעומת זאת, אם נסתכל על המשוואה עבור השדה החשמלי ${\vec {E}}$ נקבל

$$\nabla \cdot {\vec {D}}=\rho _{free}=q\delta (r-r_{0})\;,\;{\vec {D}}=\epsilon {\vec {E}}\Rightarrow \nabla \cdot {\vec {E}}=\rho _{free}/\epsilon ={\frac {q}{\epsilon }}\delta (r-r_{0})$$

כלומר המקור לשדה החשמלי ${\vec {E}}$ הוא מטען "ממוסך" פי $\epsilon _{0}/\epsilon$, והשדה החשמלי המתקבל הוא

$${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {q}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{2}}}{\hat {r}}$$

מטען נקודתי בתוך כדור דיאלקטרי סופי

איור 11

באיור 11 נתון מטען נקודתי במרכזו של כדור דיאלקטרי סופי. מטעמי סימטריה מתקיים ${\vec {E}}=E(r)\cdot {\hat {r}},{\vec {D}}=D(r)\cdot {\hat {r}}$. על שפת הכדור הדיאלקטרי צריך להתקיים תנאי השפה:

$${\hat {n}}\cdot (D_{out}-D_{in})=\eta _{f}=0$$

שדה ההעתקה צריך לקיים את חוק גאוס

$$\nabla \cdot {\vec {D}}=\rho _{f}\Leftrightarrow \int {\vec {D}}\cdot {\hat {n}}ds=Q_{f,in}$$

ולכן מתקבל

$${\vec {D}}={\frac {q}{4\pi r^{2}}}\cdot {\hat {r}}$$

ומתוכו ניתן לקבל את השדה החשמלי:

$${\begin{cases}{\vec {E}}={\frac {q}{4\pi \epsilon r^{2}}}\cdot {\hat {r}}\qquad r<a\\{\vec {E}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\cdot {\hat {r}}\qquad r>a\end{cases}}$$

כעת, נמצא את הפולריזציה:

$${\vec {D}}=\epsilon {\vec {E}}=\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}\Rightarrow {\vec {P}}=(\epsilon -\epsilon _{0}){\vec {E}}$$

$${\vec {P}}={\begin{cases}{\vec {\frac {q}{4\pi \epsilon r^{2}}}}\cdot {\hat {r}}(\epsilon -\epsilon _{0})\qquad r<a\\0\qquad \qquad \qquad \qquad \ \ r>a\end{cases}}$$

כעת נוכל למצוא את צפיפות המטען המשטחית (על שפת הכדור) הנובעת ממטעני הפולריזציה:

$$\eta _{p}=-{\hat {r}}\cdot ({\vec {P}}_{out}-{\vec {P}}_{in})={\frac {q}{4\pi \epsilon a^{2}}}\cdot (\epsilon -\epsilon _{0})$$

ולכן סף מטען הפולריזציה על השפה יהיה

$$Q_{p}=q{\frac {\epsilon -\epsilon _{0}}{\epsilon }}$$

סך מטעני הפולריזציה חייב להיות אפס, ולכן ברור כי במקום כלשהו בבעיה חייב להיות עוד מטען פולריזציה ש"יאזן" את המטען על השפה. מטען זה למעשה נמצא בראשית, ונצבר כמטען נקודתי ש"ממסך" את השפעתו של המטען הנתון בתוך החומר הדיאלקטרי. את גודל המטען עצמו נוכל לקבל מחוק גאוס:

$$\int \epsilon _{0}{\vec {E}}\cdot {\hat {n}}ds=Q_{f}+Q_{pol}$$

$$\epsilon _{0}{\frac {q}{4\pi \epsilon r^{2}}}4\pi r^{2}=q+Q_{pol}$$

$${\frac {\epsilon _{0}}{\epsilon }}q=q+Q_{pol}\Rightarrow Q_{pol}={\frac {-\epsilon +\epsilon _{0}}{\epsilon }}q$$

וזהו בדיוק $-Q_{p,surface}$ כך שסך מטען הפולריזציה הוא אכן אפס.

דוגמא - כדור דיאלקטרי בשדה אחיד

איור 12

נתון כדור בעל מקדם דיאלקטרי $\epsilon$, מוקף בריק, כמוראה באיור 12. הכדור מוכנס לשדה אחיד. מצאו את השדות בכל המרחב.

הבעיה סטטית ולכן ניתן לרשום את השדה החשמלי בתור גרדיאנט של פונקציה סקלרית:

$$\nabla \times {\vec {E}}=0\Rightarrow {\vec {E}}=-\nabla \phi$$

בהצבה בחוק גאוס נקבל:

$$\nabla \cdot (\epsilon E)=0\Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \cdot (-\nabla \phi ))=0$$

מאחר ו-$\epsilon$ הומוגני נקבל:

$$\epsilon \nabla ^{2}\phi =0$$

וזוהי משוואת לפלס.

תנאי השפה בבעיה:

$${\begin{cases}\phi _{out}(r>>a)=-E_{0}z=-E_{0}r\cos \theta \\{\hat {r}}\cdot (\epsilon _{0}{\vec {E}}_{out}-\epsilon {\vec {E}}_{in})|_{\text{r=a}}=0\Rightarrow {\hat {r}}\cdot [-\epsilon _{0}{\frac {\partial \phi _{out}}{\partial r}}-(-\epsilon {\frac {\partial \phi _{in}}{\partial r}})]_{\text{r=a}}=0\\\phi _{out}(r=a)=\phi _{in}(r=a)\\\phi _{in}(r\rightarrow 0)<\ ''\infty ''\end{cases}}$$

נבחר פוטנציאל:

$${\begin{cases}\phi _{out}=(Ar+{\frac {B}{r^{2}}})\cos \theta \\\phi _{in}=Cr\cos \theta \end{cases}}$$

כאשר זרקנו את התלות ב-${\frac {1}{r^{2}}}$ בפוטנציאל הפנימי כדי לקיים את תנאי השפה הרביעי.

מתנאי השפה השלישי והראשון בהתאמה נקבל:

$${\begin{cases}Aa+{\frac {B}{a^{2}}}=Ca\\\phi _{out}(r>>a)=Ar\cos \theta =-E_{0}r\cos \theta \Rightarrow A=-E_{0}\end{cases}}$$

נציב בתנאי השפה השני את הנגזרות של הפוטנציאל:

$${\frac {\partial \phi _{out}}{\partial r}}=(A-{\frac {2B}{r^{3}}})\cos \theta \qquad ,\qquad {\frac {\partial \phi _{in}}{\partial r}}=C\cos \theta$$

ונקבל:

$$\epsilon _{0}(A-{\frac {2B}{a^{3}}})=\epsilon C$$

בסך הכל, המקדמים אשר נקבל עבור הפוטנציאל הם:

$${\begin{cases}A=-E_{0}\\B=-a^{3}\cdot {\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}E_{0}\\C=a^{3}\cdot {\frac {3}{\epsilon _{r}+2}}E_{0}\end{cases}}$$

כאשר $\epsilon _{r}={\frac {\epsilon }{\epsilon _{0}}}$. לכן, הפוטנציאל והשדה החשמלי מחוץ לכדור:

$${\begin{cases}\phi _{out}=(-E_{0}r+E_{0}a^{3}\cdot {\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}{\frac {1}{r^{2}}})\cos \theta \\{\vec {E}}_{out}=E_{0}{\hat {z}}+{\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}\cdot E_{0}\cdot {\frac {a^{3}}{r^{3}}}\cdot (2\cos \theta {\hat {r}}+\sin \theta {\hat {\theta }})\end{cases}}$$

נשים לב כי השדה שהתקבל מחוץ לכדור הוא סכום של השדה האחיד החיצוני, ושדה דיפולי. כלומר, השדה החיצוני "מעורר" בכדור הדיאלקטרי דיפול, שבתורו יוצר את שדהה תגובה. על מנת לקבל את הקיטוביות, נחשב ראשית את מומנט הדיפול האפקטיבי המתעורר בכדור. פוטנציאל שנוצר על ידי דיפול בכיוון z:

$$\phi _{dipole}={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r^{2}}}\cos \theta$$

נשווה מקדמים על מנת למצוא את מומנט הדיפול בבעיה שלנו

$${\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}}}=E_{0}\cdot a^{3}\cdot {\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}\Rightarrow p=4\pi \epsilon _{0}a^{3}\cdot {\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}E_{0}$$

הקיטוביות מוגדרת על ידי ${\vec {p}}=\epsilon _{0}\alpha {\vec {E}}$ ולכן נוכל לרשום:

$$\alpha =4\pi a^{3}\cdot {\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}=3V\cdot {\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}$$

כעת נסתכל על השדה והפוטנציאל בתוך הכדור:

$${\begin{cases}\phi _{in}=-{\frac {3E_{0}}{2+\epsilon _{r}}}\cdot r\cos \theta \\{\vec {E}}_{in}={\frac {3}{2+\epsilon _{r}}}{\hat {z}}\end{cases}}$$

מתקיים ${\vec {E}}_{in}={\vec {E}}_{out}+{\vec {E}}_{respond}$ ולכן שדה התגובה:

$${\vec {E}}_{respond}=-{\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}E_{0}{\hat {z}}$$

כלומר שדה התגובה בתוך הכדור הוא שדה אחיד.

איור 13 - שרטוט הפיתרון

דוגמא - קבל שכבות

איור 14

באיור 14 נתון קבל שבין לוחותיו מבנה דיאלקטרי שכבתי. כל שכבה היא בעלת עובי $d_{i}$ ומקדם דיאלקטרי $\epsilon _{i}$. חשבו את הקיבול של קבל שכבות.

מטעמי סימטריה מתקיים ${\vec {E}}=E(z)\cdot {\hat {z}},{\vec {D}}=D(z)\cdot {\hat {z}}$

בתוך הקבל ${\vec {D}}$ אחיד: ${\vec {D}}=D_{0}{\hat {z}}$ מאחר והוא בכיוון z בלבד ועובר בין השכבות באופן רציף (אין צפיפות מטען חופשית). נסתכל על צפיפות המטען המשטחית על הלוח העליון:

$$\eta _{f}={\hat {z}}\cdot ({\vec {D}}_{out}-{\vec {D}}_{in})=-D_{0}$$

ולכן המטען ובהתאם הקיבול:

$$Q=|D_{0}|\cdot A\Rightarrow C={\frac {Q}{V}}={\frac {|D_{0}|\cdot A}{V}}$$

בשכבה ה-$i$ מתקיים:

$${\vec {D}}=\epsilon {\vec {E}}\Rightarrow D_{0}{\hat {z}}=\epsilon _{i}{\vec {E}}_{i}\Rightarrow {\vec {E}}_{i}={\frac {D_{0}}{\epsilon _{i}}}{\hat {z}}$$

המתח הכולל יתקבל על ידי סכימה על הפוטנציאלים שנצברים בכל שכבה:

$$V=\sum {\frac {D_{0}}{\epsilon _{i}}}\cdot d_{i}\Rightarrow C={\frac {D_{0}\cdot A}{\sum {\frac {D_{0}}{\epsilon _{i}}}\cdot d_{i}}}={\frac {A}{\sum {\frac {d_{i}}{\epsilon _{i}}}}}={\frac {1}{\sum {\frac {d_{i}}{\epsilon _{i}A}}}}$$

נשים לב לכך שהתוצאה שקיבלנו שקולה לחיבור קבלים בטור.

אם השתנות $\epsilon$ רציפה $\epsilon =\epsilon (z)$ נוכל לחלק לשכבות בעובי $dz$ ונקבל:

$${\frac {1}{C_{eq}}}={\frac {1}{A}}\int {\frac {dz}{\epsilon (z)}}$$