פרק 11 - מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים

מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים

ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות

פולריזציה	פולריזביליות
ייצוג של דיפולים רבים על ידי צפיפות נפחית ממוצעת	התגובה של חלקיק בודד	מה מתאר?
קיטוב	קיטוביות $\overrightarrow{p}={ϵ}_0\alpha \overrightarrow{E}$	מאפיין

הפולריזביליות כמטריצה

$$\overrightarrow{p}={ϵ}_0\alpha \overrightarrow{E}={ϵ}_0\left(\begin{array}{ccc}{\alpha }_{xx}& 0& 0\\ 0& {\alpha }_{yy}& 0\\ 0& 0& {\alpha }_{zz}\end{array}\right)\overrightarrow{E}$$כאשר במצב של חוסר איזוטרופיות מתקיים אי שוויון של אחד המקדמים לדוגמה ${\alpha }_{xx}\ne {\alpha }_{yy}$.

שדה של דיפול

מאחר ובכל חלקיק מושרה מומנט דיפול בתגובה לשדה חיצוני, השדה שהוא ייצור יהיה כמו שדה דיפולי:$${\varphi }_{dip}=\frac{\overrightarrow{p}\cdot {\hat{i}}_{r^{\prime },r}}{4\pi {ϵ}_0|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }{|}^2}\Rightarrow \overrightarrow{E}=-\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\cdot \frac{1}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }{|}^3}(\overrightarrow{p}-3(\overrightarrow{p}\cdot {\hat{i}}_{r^{\prime },r}){\hat{i}}_{r^{\prime },r})$$כאשר הווקטור ${\hat{i}}_{r^{\prime },r}$ מוגדר באופן הבא:$${\hat{i}}_{r^{\prime },r}=\frac{(x-x^{\prime })\hat{x}+(y-y^{\prime })\hat{y}+(z-z^{\prime })\hat{z}}{\sqrt{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2}}=\left(\begin{array}{c}\frac{x-x^{\prime }}{|r-r^{\prime }|}\\ \frac{y-y^{\prime }}{|r-r^{\prime }|}\\ \frac{z-z^{\prime }}{|r-r^{\prime }|}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{n}_x\\ n_y\\ n_z\end{array}\right)$$ניתן לרשום:$$\underset{\_}{\underset{\_}{I}}\cdot \overrightarrow{p}-3\underset{3{\underset{\_}{\underset{\_}{N}}}^{(s)}\cdot \overrightarrow{p}}{\underbrace{(n_x{p}_x+n_y{p}_y+n_z{p}_z)\left(\begin{array}{c}{n}_x\\ n_y\\ n_z\end{array}\right)}}$$כעת, נוכל לרשום ביטוי מקוצר לביטוי של שדה הדיפול:$${\overrightarrow{E}}_{dip}(\overrightarrow{r},\overrightarrow{p},{\overrightarrow{r}}^{\prime })=\underset{\_}{\underset{\_}{A}}(\overrightarrow{r},{\overrightarrow{r}}^{\prime })\cdot \overrightarrow{p}$$כאשר הגדרנו את המטריצות:$$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0|r-r^{\prime }{|}^3}(3{\underset{\_}{\underset{\_}{N}}}^{(s)}-\underset{\_}{\underset{\_}{I}}),{\underset{\_}{\underset{\_}{N}}}^{(s)}=\left(\begin{array}{ccc}{n}_x^2& n_x{n}_y& n_x{n}_z\\ n_y{n}_x& n_y^2& n_y{n}_z\\ n_z{n}_x& n_z{n}_y& n_z^2\end{array}\right)$$

מערכי חלקיקים ושדה לוקלי

עבור חלקיק בודד נוכל לרשום את הפולריזביליות $\overrightarrow{p}={ϵ}_0\alpha \overrightarrow{E}={ϵ}_0\alpha \overrightarrow{E^L}$ כאשר $\overrightarrow{E^L}$ הוא שדה לוקלי - השדה במיקומו של החלקיק בהיעדר החלקיק עצמו.

נחשב בכל נקודה את השדה הלוקלי $\overrightarrow{E^L}({\overrightarrow{r}}_i)$ ונוכל לרשום ${\overrightarrow{p}}_i={ϵ}_0{\alpha }_i\overrightarrow{E^L}({\overrightarrow{r}}_i)$.

את השדה הלוקלי נמצא באמצעות:$$\overrightarrow{E^L}({\overrightarrow{r}}_i)={\overrightarrow{E}}^{ext}({\overrightarrow{r}}_i)+\sum _{j\ne i}\underset{\_}{\underset{\_}{A}}(r_i,r_j)\cdot {\overrightarrow{p}}_j$$כאשר ${\overrightarrow{r}}_i$ הם מיקומי הנקודות בהם נחשב את השדה, ו-${\overrightarrow{r}}_j$ מיקומי הדיפולים השונים.

כעת נוכל לרשום ביטוי לפולריזביליות עבור כל חלקיק:$${\overrightarrow{p}}_i=\underset{\_}{\underset{\_}{{\alpha }_i}}{ϵ}_0\overrightarrow{E^L}({\overrightarrow{r}}_i)=\underset{\_}{\underset{\_}{{\alpha }_i}}{ϵ}_0[{\overrightarrow{E}}^{ext}({\overrightarrow{r}}_i)+\sum _{j\ne i}\underset{\_}{\underset{\_}{A}}(r_i,r_j)\cdot {\overrightarrow{p}}_j]$$

דוגמה - מערך אינסופי (עירור אורכי)

מאחר והבעיה סימטרית להזזה של $d$, מומנט הדיפול שמתעורר בכל החלקיקים זהה! כלומר:$${\overrightarrow{p}}_n=p_0\hat{x}$$החלקיקים יושבים בנקודות $x_n=nd$. נסתכל על חלקיק בראשית:$${\underset{\_}{\underset{\_}{E}}}^L(0)=E_0\hat{x}+\sum _{n\ne 0}\frac{1}{4\pi {ϵ}_0|nd{|}^3}\underset{3{\underset{\_}{\underset{\_}{N}}}^{(s)}-\underset{\_}{\underset{\_}{I}}}{\underbrace{\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)}}\cdot \left(\begin{array}{c}{p}_0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=E_0\hat{x}+\sum _{n\ne 0}\frac{1\cdot 2p_0}{4\pi {ϵ}_0{d}^3|n{|}^3}\hat{x}$$לכן, השדה הלוקלי של חלקיק בראשית:$${\underset{\_}{\underset{\_}{E}}}^L(0)=E_0\hat{x}+\frac{2p_0}{4\pi {ϵ}_0{d}^3}\sum _{n\ne 0}\frac{1}{|n{|}^3}\hat{x}=E_0\hat{x}+\frac{2p_0}{4\pi {ϵ}_0{d}^3}\cdot 2\underset{\text{Apery's Const-1.202}}{\underbrace{\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{|n{|}^3}}}\hat{x}$$ניתן להביע את הקבוע הדרוש גם על ידי הגדרה של פונקציית זטא של רימן:$${\zeta }_{(s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s},\mathrm{\Re }(s)>1\Rightarrow \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3}={\zeta }_{(3)}$$כעת נוכל למצוא את הפולריזביליות בראשית:$$p_0={ϵ}_0\alpha (E_0+\frac{p_0}{\pi {ϵ}_0{d}^3}{\zeta }_{(3)})\Rightarrow p_0=\frac{{ϵ}_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha }{\pi d^3}{\zeta }_{(3)}}>{ϵ}_0\alpha E_0$$קיבלנו שמומנט הדיפול המתעורר חזק יותר מאשר מומנט הדיפול אשר היה מתעורר באותו חלקיק אם הוא היה מונח לבד במרחב. מדוע? מאחר וכל הדיפולים זהים, השדה שיוצרים החלקיקים האחרים במערך על החלקיק בראשית מחזק את השדה המעורר, ולכן סה"כ מתקבל ש-$E^L$ חזק יותר מ-$E_0$. מה שיוצר דיפול חזק יותר מאשר חלקיק יחיד במרחב חופשי שהיה חשוף לאותו שדה חיצוני. בנוסף, נשים לב לכך שהגדרה מעט שונה של תא היחידה מביאה למומנט דיפול הפוך מזה שחישבנו.

דוגמה - מערך אינסופי (עירור ניצב)

בכל חלקיק מתעורר דיפול:$$p_y=\frac{{ϵ}_0\alpha E_0}{1+\frac{\alpha }{2\pi d^3}{\zeta }_{(3)}}$$קיבלנו הפעם עירור חלש יותר מאשר אם אותו חלקיק היה מונח לבד במרחב.

דוגמה - מערך אינסופי (עירור כללי)

אם נניח כעת שדה מעורר כללי בזווית $\theta$ ביחס לציר ה-$x$:$${\overrightarrow{E}}^{ext}=E_0(\cos \theta \hat{x}+\sin \theta \hat{y})$$נקבל:$$\overrightarrow{p}={ϵ}_0\alpha E_0[\frac{\cos \theta }{1-\frac{\alpha }{\pi d^3}{\zeta }_{(3)}}\hat{x}+\frac{\sin \theta }{1+\frac{\alpha }{2\pi d^3}{\zeta }_{(3)}}\hat{y}]$$הדיפול ייווצר בזווית $\phi$ ביחס לציר ה-$x$ המקיימת:$$\tan \phi =\tan \theta \cdot \frac{1-\frac{\alpha }{\pi d^3}{\zeta }_{(3)}}{1+\frac{\alpha }{2\pi d^3}{\zeta }_{(3)}}$$

דוגמה - מערך סופי

מערכים תלת-מימדיים

במערך תלת מימדי נצטרך שלושה אינדקסים כדי לתאר את המיקום של כל חלקיק:$${\overrightarrow{r}}_{m,n,k}=ma\hat{x}+nb\hat{y}+kc\hat{z},-\mathrm{\infty }<m,n,k,<\mathrm{\infty }$$מה הדיפול שמתעורר בכל חלקיק עבור עירור של שדה חיצוני $\overrightarrow{E}=E_0\hat{y}$?

נרשום את המשוואות עבור החלקיק בראשית:$$\overrightarrow{p}=p_0\hat{y}=\alpha {ϵ}_0\overrightarrow{E^L}=\alpha {ϵ}_0[E_0\hat{y}+\sum _{m,n,k\ne (0,0,0)}\underset{\_}{\underset{\_}{A}}(0,{\overrightarrow{r}}_{m,n,k})\cdot {\overrightarrow{p}}_{m,n,k}]$$$$p_0\hat{y}=\alpha {ϵ}_0[E_0\hat{y}+\sum _{m,n,k\ne (0,0,0)}\underset{\_}{\underset{\_}{A}}(0,{\overrightarrow{r}}_{m,n,k})\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ p_0\\ 0\end{array}\right)]$$$$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0|r_{m,n,k}{|}^3}(3{\underset{\_}{\underset{\_}{N}}}^{(s)}-\underset{\_}{\underset{\_}{I}}),{\hat{i}}_{r^{\prime },r}=\frac{0-(ma\hat{x}+nb\hat{y}+kc\hat{z})}{\sqrt{(ma{)}^2+(nb{)}^2+(kc{)}^2}}=(n_x,n_y,n_z)$$נחשב את המכפלה $\underset{\_}{\underset{\_}{A}}\cdot \overrightarrow{p}$:$$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}(0,{\overrightarrow{r}}_{m,n,k})\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ p_0\\ 0\end{array}\right)=\frac{p_0}{4\pi {ϵ}_0}\cdot \frac{2(nb{)}^2-(ma{)}^2-(kc{)}^2}{[(ma{)}^2+(nb{)}^2+(kc{)}^2{]}^{\frac{5}{2}}}\hat{y}$$ניתן להציג סכומים מסוג זה באופן הבא:$$\sum \underset{\_}{\underset{\_}{A}}(0,{\overrightarrow{r}}_{m,n,k})\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ p_0\\ 0\end{array}\right)=\hat{y}\frac{p_0}{4\pi {ϵ}_0}S(u,v){|}_{u=\frac{a}{b},v=\frac{c}{b}}$$כאשר הגדרנו:$$S(u,v)=\sum _{m,n,k\ne (0,0,0)}\frac{2n^2-(mu{)}^2-(kv{)}^2}{[(mu{)}^2+n^2+(kv{)}^2{]}^{\frac{5}{2}}}$$נציב את הביטוי הזה ונציב במשוואה עבור הדיפול:$$p\hat{y}-\alpha {ϵ}_0\hat{y}(\frac{p}{4\pi {ϵ}_0{b}^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b}))={ϵ}_0\alpha E_0\hat{y}$$נעביר אגפים ונקבל:$$p=\frac{{ϵ}_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha }{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}$$נפרק לרכיבים:$$\{\begin{array}{l}{p}_y=\frac{{ϵ}_0\alpha E_{0,y}}{1-\frac{\alpha }{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}\\ p_x=\frac{{ϵ}_0\alpha E_{0,x}}{1-\frac{\alpha }{4\pi a^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}\\ p_z=\frac{{ϵ}_0\alpha E_{0,z}}{1-\frac{\alpha }{4\pi c^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}\end{array}\Rightarrow \overrightarrow{p}=\underset{\_}{\underset{\_}{C}}\cdot {\overrightarrow{E}}^{ext}$$כאשר הגדרנו את המטריצה $\underset{\_}{\underset{\_}{C}}$:$$\underset{\_}{\underset{\_}{C}}=\left(\begin{array}{ccc}{C}_{xx}& 0& 0\\ 0& C_{yy}& 0\\ 0& 0& C_{zz}\end{array}\right),\{\begin{array}{l}{C}_{xx}=\frac{{ϵ}_0\alpha }{1-\frac{\alpha }{4\pi a^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\ C_{yy}=\frac{{ϵ}_0\alpha }{1-\frac{\alpha }{4\pi b^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\ C_{zz}=\frac{{ϵ}_0\alpha }{1-\frac{\alpha }{4\pi c^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\end{array}$$כיצד נעריך את $S(u,v)$? בעזרת סכום פואסון:$$S(u,v)=\frac{1.202}{\pi }-8\pi \cdot [K_0(2\pi u)+K_0(2\pi v)],u,v\approx 1$$כאשר $K_0$ היא ה-Modiified Bessel function, 2nd kind.

חומרים מלאכותיים

נכתוב את וקטור הפולריזציה עבור חומרים מלאכותיים:$$\overrightarrow{P}={ϵ}_0\underset{\_}{\underset{\_}{\chi }}⟨\overrightarrow{E}⟩$$המהירות הממוצעת:$$⟨\overrightarrow{u}⟩=\frac{1}{V}\iiint \overrightarrow{u}dxdydz$$כאשר $V$ נפח תא היחידה בו ממצעים.$$⟨\overrightarrow{E}⟩=⟨{\overrightarrow{E}}_0⟩+⟨\sum _{m,n,k}{\overrightarrow{E}}_d⟩$$עבור תא יחידה סביב הראשית:$$⟨{\overrightarrow{E}}_{origin}⟩=⟨{\overrightarrow{E}}_0⟩+⟨E_{d,origin}⟩$$השדה ${\overrightarrow{E}}_0$ משתנה במרחב מאוד לאט ולכן:$$⟨{\overrightarrow{E}}_0⟩={\overrightarrow{E}}_0$$לאחר חישוב ארוך ובהנחה של $a=b=c$ ניתן להגיע לכך שמתקיים:$$⟨{\overrightarrow{E}}_{origin}⟩=-\frac{\overrightarrow{p}}{3{ϵ}_{0}V}=-\frac{\overrightarrow{P}}{3{ϵ}_0}$$כאשר $\overrightarrow{P}$ היא הפולריזציה בחומר. לכן, השדה החשמלי הממוצע הוא:$$⟨\overrightarrow{E}⟩={\overrightarrow{E}}_0-\frac{\overrightarrow{p}}{3{ϵ}_0}={\overrightarrow{E}}_0-\frac{\overrightarrow{p}}{e{ϵ}_{0}V}={\overrightarrow{E}}_0-\frac{1}{3{ϵ}_{0}V}\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{C}}\cdot {\overrightarrow{E}}_0$$$$⟨\overrightarrow{E}⟩=(\underset{\_}{\underset{\_}{I}}-\frac{1}{3{ϵ}_{0}V}\underset{\_}{\underset{\_}{C}}){\overrightarrow{E}}_0\Rightarrow {\overrightarrow{E}}_0=(\underset{\_}{\underset{\_}{I}}-\frac{1}{3{ϵ}_{0}V}\underset{\_}{\underset{\_}{C}}{)}^{-1}⟨\overrightarrow{E}⟩$$מכאן, ניזכר בביטוי המקשר בין הפולריזציה לשדה החשמלי:$$\overrightarrow{p}=\underset{\_}{\underset{\_}{C}}\cdot {\overrightarrow{E}}_0\Rightarrow {\overrightarrow{E}}_0={\underset{\_}{\underset{\_}{C}}}^{-1}\cdot \overrightarrow{p}$$נציב במשוואה שמצאנו ל-${\overrightarrow{E}}_0$ ונקבל:$${\underset{\_}{\underset{\_}{C}}}^{-1}\cdot \overrightarrow{p}=(\underset{\_}{\underset{\_}{I}}-\frac{1}{3{ϵ}_{0}V}\underset{\_}{\underset{\_}{C}}{)}^{-1}⟨\overrightarrow{E}⟩$$נחלק בנפח תא היחידה:$${\underset{\_}{\underset{\_}{C}}}^{-1}\cdot \overrightarrow{P}=\frac{1}{V}(\underset{\_}{\underset{\_}{I}}-\frac{1}{3{ϵ}_{0}V}\underset{\_}{\underset{\_}{C}}{)}^{-1}⟨\overrightarrow{E}⟩$$ונקבל ביטוי לפולריזציה הכוללת:$$\overrightarrow{P}=\underset{{ϵ}_0\underset{\_}{\underset{\_}{\chi }},\underset{\_}{\underset{\_}{ϵ}}={ϵ}_0(\underset{\_}{\underset{\_}{I}}+\underset{\_}{\underset{\_}{\chi }})}{\underbrace{\underset{\_}{\underset{\_}{C}}\cdot \frac{1}{V}(\underset{\_}{\underset{\_}{I}}-\frac{1}{3{ϵ}_{0}V}\underset{\_}{\underset{\_}{C}}{)}^{-1}}}⟨\overrightarrow{E}⟩$$