פרק 11 - מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים

מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים

ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות

ראשית, ועל מנת למנוע בלבול, נדבר על ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות:

• פולריזביליות - מתארת את התגובה של חלקיק יחיד להפעלה של שדה חשמלי עליו, על ידי הקשר $\overrightarrow{p}={ϵ}_0\alpha \overrightarrow{E}$ המתאר את מומנט הדיפול המושרה בחלקיק, ויוצר את שדה התגובה ולכן זהו גודל בדיד שמיוחס לחלקיק בודד.
• פולריזציה - מתארת את הצפיפות הנפחית הממוצעת של הדיפולים בחומר, בתגובה לשדה חשמלי בתוכו.

כמובן ששני גדלים אלו לא מנותקים זה מזה.

כאשר תיארנו את המודל הפשטני שלנו לפולריזציה תארנו את התגובה של כל מולקולה להפעלת שדה חשמלי כ"הפלה" של ענן אלקטרונים שמשרה מומנט דיפול (למעשה תיארנו את המולקולה כחלקיק בעל פולריזביליות) ואז מיצענו את המומנט הכולל של מולקולות רבות על מנת לקבל את הפולריזציה.

עכשיו, מתיאור זה ניתן לקבל את התחושב שכאשר יש אוסף של מולקולות שיכולות להתקטב (יכול להיות מושרה בהן מומנט דיפול בתגובה להפעלת שדה), אז ניתן להגדיר פולריזציה, וניתן לתאר את תכונות החומר באופן דואלי ע"י ε.

באותו אופן, ניתן לדמיין מערך של מולקולות מלאכותיות, חלקיקים בעלי קיטוביות כלשהי α.

באופן דומה, אם נסדר אותן באיזושהו אופן במרחב נוכל לתאר את הקשר בין השדה המופעל עליהם למומנט הדיפול המתעורר בהם, ולאחר מכן את הקשר לצפיפות הממוצעת של הדיפולים - הפולריזציה - נוכל לתכנן "חומרים מלאכותיים" על ידי תכנון החלקיקים והמערך בו הם מונחים.

בהרצאה זו ננסה להניח את הבסיס לתיאור זה.

לסיכום:

פולריזציה	פולריזביליות
ייצוג של דיפולים רבים על ידי צפיפות נפחית ממוצעת	התגובה של חלקיק בודד	מה מתאר?
קיטוב	קיטוביות $\overrightarrow{p}={ϵ}_0\alpha \overrightarrow{E}$	מאפיין

הפולריזביליות כמטריצה (איור 1)

איור 1

$$\overrightarrow{p}={ϵ}_0\alpha \overrightarrow{E}={ϵ}_0\left(\begin{array}{ccc}{\alpha }_{xx}& 0& 0\\ 0& {\alpha }_{yy}& 0\\ 0& 0& {\alpha }_{zz}\end{array}\right)\overrightarrow{E}$$כאשר במצב של חוסר איזוטרופיות מתקיים אי שוויון של אחד המקדמים לדוגמה ${\alpha }_{xx}\ne {\alpha }_{yy}$.

שדה של דיפול

מאחר ובכל חלקיק מושרה מומנט דיפול בתגובה לשדה חיצוני, השדה שהוא ייצור יהיה כמו שדה דיפולי:$${\varphi }_{dip}=\frac{\overrightarrow{p}\cdot {\hat{i}}_{r^{\prime },r}}{4\pi {ϵ}_0|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }{|}^2}\Rightarrow \overrightarrow{E}=-\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\cdot \frac{1}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }{|}^3}(\overrightarrow{p}-3(\overrightarrow{p}\cdot {\hat{i}}_{r^{\prime },r}){\hat{i}}_{r^{\prime },r})$$כאשר הווקטור ${\hat{i}}_{r^{\prime },r}$ מוגדר באופן הבא:$${\hat{i}}_{r^{\prime },r}=\frac{(x-x^{\prime })\hat{x}+(y-y^{\prime })\hat{y}+(z-z^{\prime })\hat{z}}{\sqrt{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2}}=\left(\begin{array}{c}\frac{x-x^{\prime }}{|r-r^{\prime }|}\\ \frac{y-y^{\prime }}{|r-r^{\prime }|}\\ \frac{z-z^{\prime }}{|r-r^{\prime }|}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{n}_x\\ n_y\\ n_z\end{array}\right)$$ניתן לרשום:$$\underset{\_}{\underset{\_}{I}}\cdot \overrightarrow{p}-3\underset{3{\underset{\_}{\underset{\_}{N}}}^{(s)}\cdot \overrightarrow{p}}{\underbrace{(n_x{p}_x+n_y{p}_y+n_z{p}_z)\left(\begin{array}{c}{n}_x\\ n_y\\ n_z\end{array}\right)}}$$כעת, נוכל לרשום ביטוי מקוצר לביטוי של שדה הדיפול:$${\overrightarrow{E}}_{dip}(\overrightarrow{r},\overrightarrow{p},{\overrightarrow{r}}^{\prime })=\underset{\_}{\underset{\_}{A}}(\overrightarrow{r},{\overrightarrow{r}}^{\prime })\cdot \overrightarrow{p}$$כאשר הגדרנו את המטריצות:$$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0|r-r^{\prime }{|}^3}(3{\underset{\_}{\underset{\_}{N}}}^{(s)}-\underset{\_}{\underset{\_}{I}}),{\underset{\_}{\underset{\_}{N}}}^{(s)}=\left(\begin{array}{ccc}{n}_x^2& n_x{n}_y& n_x{n}_z\\ n_y{n}_x& n_y^2& n_y{n}_z\\ n_z{n}_x& n_z{n}_y& n_z^2\end{array}\right)$$

מערכי חלקיקים ושדה לוקלי (איור 2)

איור 2

עבור חלקיק בודד נוכל לרשום את הפולריזביליות $\overrightarrow{p}={ϵ}_0\alpha \overrightarrow{E}={ϵ}_0\alpha \overrightarrow{E^L}$ כאשר $\overrightarrow{E^L}$ הוא שדה לוקלי - השדה במיקומו של החלקיק בהיעדר החלקיק עצמו.

נחשב בכל נקודה את השדה הלוקלי $\overrightarrow{E^L}({\overrightarrow{r}}_i)$ ונוכל לרשום ${\overrightarrow{p}}_i={ϵ}_0{\alpha }_i\overrightarrow{E^L}({\overrightarrow{r}}_i)$.

את השדה הלוקלי נמצא באמצעות:$$\overrightarrow{E^L}({\overrightarrow{r}}_i)={\overrightarrow{E}}^{ext}({\overrightarrow{r}}_i)+\sum _{j\ne i}\underset{\_}{\underset{\_}{A}}(r_i,r_j)\cdot {\overrightarrow{p}}_j$$כאשר ${\overrightarrow{r}}_i$ הם מיקומי הנקודות בהם נחשב את השדה, ו-${\overrightarrow{r}}_j$ מיקומי הדיפולים השונים.

כעת נוכל לרשום ביטוי לפולריזביליות עבור כל חלקיק:$${\overrightarrow{p}}_i=\underset{\_}{\underset{\_}{{\alpha }_i}}{ϵ}_0\overrightarrow{E^L}({\overrightarrow{r}}_i)=\underset{\_}{\underset{\_}{{\alpha }_i}}{ϵ}_0[{\overrightarrow{E}}^{ext}({\overrightarrow{r}}_i)+\sum _{j\ne i}\underset{\_}{\underset{\_}{A}}(r_i,r_j)\cdot {\overrightarrow{p}}_j]$$מכאן למעשה ניתן לכתוב מערכת משוואות ממנה ניתן לחלץ את מומנטי הדיפול (הם הנעלמים כאן):

$${\overrightarrow{p}}_i-{\alpha }_i\sum _{j\ne i}^{N}A({\overrightarrow{r}}_i,{\overrightarrow{r}}_j){\overrightarrow{p}}_j={\alpha }_i{\overrightarrow{E}}_0$$כל מערכת משוואות $3N\times 3N$ (לכל מומנט דיפול יש 3 רכיבים: x,y,z).

מתי המשוואה הזאת תקפה?

כאשר ניתן להניח שהשדה הממוצע על החלקיק הוא בקירוב השדה בנקודה בה נמצא החלקיק, והשדה בקירוב אחיד.

בדרך כלל ניתן להשתמש כאשר:

$$r>3\cdot \underset{\text{biggest dimension in each particle}}{\underbrace{d}}$$

דוגמה - מערך אינסופי (עירור אורכי, איור 3)

איור 3

מאחר והבעיה סימטרית להזזה של $d$, מומנט הדיפול שמתעורר בכל החלקיקים זהה! כלומר:$${\overrightarrow{p}}_n=p_0\hat{x}$$החלקיקים יושבים בנקודות $x_n=nd$. נסתכל על חלקיק בראשית:$${\underset{\_}{\underset{\_}{E}}}^L(0)=E_0\hat{x}+\sum _{n\ne 0}\frac{1}{4\pi {ϵ}_0|nd{|}^3}\underset{3{\underset{\_}{\underset{\_}{N}}}^{(s)}-\underset{\_}{\underset{\_}{I}}}{\underbrace{\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)}}\cdot \left(\begin{array}{c}{p}_0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=E_0\hat{x}+\sum _{n\ne 0}\frac{1\cdot 2p_0}{4\pi {ϵ}_0{d}^3|n{|}^3}\hat{x}$$לכן, השדה הלוקלי של חלקיק בראשית:$${\underset{\_}{\underset{\_}{E}}}^L(0)=E_0\hat{x}+\frac{2p_0}{4\pi {ϵ}_0{d}^3}\sum _{n\ne 0}\frac{1}{|n{|}^3}\hat{x}=E_0\hat{x}+\frac{2p_0}{4\pi {ϵ}_0{d}^3}\cdot 2\underset{\text{Apery's Const-1.202}}{\underbrace{\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{|n{|}^3}}}\hat{x}$$ניתן להביע את הקבוע הדרוש גם על ידי הגדרה של פונקציית זטא של רימן:$${\zeta }_{(s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s},\mathrm{\Re }(s)>1\Rightarrow \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3}={\zeta }_{(3)}$$כעת נוכל למצוא את הפולריזביליות בראשית:$$p_0={ϵ}_0\alpha (E_0+\frac{p_0}{\pi {ϵ}_0{d}^3}{\zeta }_{(3)})\Rightarrow p_0=\frac{{ϵ}_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha }{\pi d^3}{\zeta }_{(3)}}>{ϵ}_0\alpha E_0$$קיבלנו שמומנט הדיפול המתעורר חזק יותר מאשר מומנט הדיפול אשר היה מתעורר באותו חלקיק אם הוא היה מונח לבד במרחב. מדוע? מאחר וכל הדיפולים זהים, השדה שיוצרים החלקיקים האחרים במערך על החלקיק בראשית מחזק את השדה המעורר, ולכן סה"כ מתקבל ש-$E^L$ חזק יותר מ-$E_0$. מה שיוצר דיפול חזק יותר מאשר חלקיק יחיד במרחב חופשי שהיה חשוף לאותו שדה חיצוני. בנוסף, נשים לב לכך שהגדרה מעט שונה של תא היחידה מביאה למומנט דיפול הפוך מזה שחישבנו.

דוגמה - מערך אינסופי (עירור ניצב, איור 4)

איור 4

בכל חלקיק מתעורר דיפול:$$p_y=\frac{{ϵ}_0\alpha E_0}{1+\frac{\alpha }{2\pi d^3}{\zeta }_{(3)}}$$קיבלנו הפעם עירור חלש יותר מאשר אם אותו חלקיק היה מונח לבד במרחב.

דוגמה - מערך אינסופי (עירור כללי, איור 5)

איור 5

אם נניח כעת שדה מעורר כללי בזווית $\theta$ ביחס לציר ה-$x$:$${\overrightarrow{E}}^{ext}=E_0(\cos \theta \hat{x}+\sin \theta \hat{y})$$נקבל:$$\overrightarrow{p}={ϵ}_0\alpha E_0[\frac{\cos \theta }{1-\frac{\alpha }{\pi d^3}{\zeta }_{(3)}}\hat{x}+\frac{\sin \theta }{1+\frac{\alpha }{2\pi d^3}{\zeta }_{(3)}}\hat{y}]$$הדיפול ייווצר בזווית $\phi$ ביחס לציר ה-$x$ המקיימת:$$\tan \phi =\tan \theta \cdot \frac{1-\frac{\alpha }{\pi d^3}{\zeta }_{(3)}}{1+\frac{\alpha }{2\pi d^3}{\zeta }_{(3)}}$$למרות שהחלקיקים איזוטרופיים, התגובה אינה איזוטרופית בגלל תכונות המערך.

איור 6 - שרטוט הפיתרון עבור מערך אינסופי עם עירור כללי

דוגמה - מערך סופי

איור 7

מערכים תלת-מימדיים (איורים 8,9)

איור 8

איור 9

במערך תלת מימדי נצטרך שלושה אינדקסים כדי לתאר את המיקום של כל חלקיק:$${\overrightarrow{r}}_{m,n,k}=ma\hat{x}+nb\hat{y}+kc\hat{z},-\mathrm{\infty }<m,n,k,<\mathrm{\infty }$$מה הדיפול שמתעורר בכל חלקיק עבור עירור של שדה חיצוני $\overrightarrow{E}=E_0\hat{y}$?

נרשום את המשוואות עבור החלקיק בראשית:$$\overrightarrow{p}=p_0\hat{y}=\alpha {ϵ}_0\overrightarrow{E^L}=\alpha {ϵ}_0[E_0\hat{y}+\sum _{m,n,k\ne (0,0,0)}\underset{\_}{\underset{\_}{A}}(0,{\overrightarrow{r}}_{m,n,k})\cdot \underset{p_0\hat{y}}{\underbrace{{\overrightarrow{p}}_{m,n,k}}}]$$$$p_0\hat{y}=\alpha {ϵ}_0[E_0\hat{y}+\sum _{m,n,k\ne (0,0,0)}\underset{\_}{\underset{\_}{A}}(0,{\overrightarrow{r}}_{m,n,k})\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ p_0\\ 0\end{array}\right)]$$$$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0|r_{m,n,k}{|}^3}(3{\underset{\_}{\underset{\_}{N}}}^{(s)}-\underset{\_}{\underset{\_}{I}}),{\hat{i}}_{r^{\prime },r}=\frac{0-(ma\hat{x}+nb\hat{y}+kc\hat{z})}{\sqrt{(ma{)}^2+(nb{)}^2+(kc{)}^2}}=(n_x,n_y,n_z)$$נחשב את המכפלה $\underset{\_}{\underset{\_}{A}}\cdot \overrightarrow{p}$:$$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}(0,{\overrightarrow{r}}_{m,n,k})\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ p_0\\ 0\end{array}\right)=\frac{p_0}{4\pi {ϵ}_0}\cdot \frac{2(nb{)}^2-(ma{)}^2-(kc{)}^2}{[(ma{)}^2+(nb{)}^2+(kc{)}^2{]}^{\frac{5}{2}}}\hat{y}$$ניתן להציג סכומים מסוג זה באופן הבא:$$\sum \underset{\_}{\underset{\_}{A}}(0,{\overrightarrow{r}}_{m,n,k})\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ p_0\\ 0\end{array}\right)=\hat{y}\frac{p_0}{4\pi {ϵ}_0}S(u,v){|}_{u=\frac{a}{b},v=\frac{c}{b}}$$כאשר הגדרנו:$$S(u,v)=\sum _{m,n,k\ne (0,0,0)}\frac{2n^2-(mu{)}^2-(kv{)}^2}{[(mu{)}^2+n^2+(kv{)}^2{]}^{\frac{5}{2}}}$$נציב את הביטוי הזה ונציב במשוואה עבור הדיפול:$$p\hat{y}-\alpha {ϵ}_0\hat{y}(\frac{p}{4\pi {ϵ}_0{b}^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b}))={ϵ}_0\alpha E_0\hat{y}$$נעביר אגפים ונקבל:$$p=\frac{{ϵ}_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha }{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}$$נפרק לרכיבים:$$\{\begin{array}{l}{p}_y=\frac{{ϵ}_0\alpha E_{0,y}}{1-\frac{\alpha }{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}\\ p_x=\frac{{ϵ}_0\alpha E_{0,x}}{1-\frac{\alpha }{4\pi a^3}\cdot S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\ p_z=\frac{{ϵ}_0\alpha E_{0,z}}{1-\frac{\alpha }{4\pi c^3}\cdot S(\frac{a}{c},\frac{b}{c})}\end{array}\Rightarrow \overrightarrow{p}=\underset{\_}{\underset{\_}{C}}\cdot {\overrightarrow{E}}^{ext}$$כאשר הגדרנו את המטריצה $\underset{\_}{\underset{\_}{C}}$:$$\underset{\_}{\underset{\_}{C}}=\left(\begin{array}{ccc}{C}_{xx}& 0& 0\\ 0& C_{yy}& 0\\ 0& 0& C_{zz}\end{array}\right),\{\begin{array}{l}{C}_{xx}=\frac{{ϵ}_0\alpha }{1-\frac{\alpha }{4\pi a^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\ C_{yy}=\frac{{ϵ}_0\alpha }{1-\frac{\alpha }{4\pi b^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\ C_{zz}=\frac{{ϵ}_0\alpha }{1-\frac{\alpha }{4\pi c^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\end{array}$$כיצד נעריך את $?S(u,v)$

איור 10

בעזרת סכום פואסון (איור 10): $$S(u,v)=\frac{1.202}{\pi }-8\pi \cdot [K_0(2\pi u)+K_0(2\pi v)],u,v\approx 1$$כאשר $K_0$ היא ה-Modiified Bessel function, 2nd kind.

חומרים מלאכותיים

נכתוב את וקטור הפולריזציה עבור חומרים מלאכותיים,שהוא היחס בין הפולריזציה לשדה הממוצע (מיצוע מרחבי בתוך החומר):$$\overrightarrow{P}={ϵ}_0\underset{\_}{\underset{\_}{\chi }}⟨\overrightarrow{E}⟩$$המהירות הממוצעת:$$⟨\overrightarrow{u}⟩=\frac{1}{V}\iiint \overrightarrow{u}dxdydz$$כאשר $V$ נפח תא היחידה בו ממצעים.

פורנולציה זו תקפה עבור חומר טבעי, וגם עבור מערכי החלקיקים שתארנו.

ניתן להשתמש בקשר זה כדי לקבל ${\chi }_e$ אפקטיבי, ואת ${\epsilon }_r$ האפקטיבי, של החומר העשוי חלקיקים קטנים.

אם נסתכל על תא יחידה של המערך התלת - מימדי שקיבלנו, את השדה הממוצע בתוכו נוכל לרשום כך:$$⟨\overrightarrow{E}⟩=⟨{\overrightarrow{E}}_0⟩+⟨\sum _{m,n,k}{\overrightarrow{E}}_d⟩$$כיוון שהמבנה מחזורי, נתמקד בתא היחידה סביב הראשית.

עבור תא יחידה סביב הראשית:$$⟨{\overrightarrow{E}}_{origin}⟩=⟨{\overrightarrow{E}}_0⟩+⟨E_{d,origin}⟩$$השדה ${\overrightarrow{E}}_0$ משתנה במרחב מאוד לאט ולכן:$$⟨{\overrightarrow{E}}_0⟩={\overrightarrow{E}}_0$$לאחר חישוב ארוך ובהנחה של $a=b=c$ ניתן להגיע לכך שמתקיים:$$⟨{\overrightarrow{E}}_{origin}⟩=-\frac{\overrightarrow{p}}{3{ϵ}_{0}V}=-\frac{\overrightarrow{P}}{3{ϵ}_0}$$כאשר $\overrightarrow{P}$ היא הפולריזציה בחומר. לכן, השדה החשמלי הממוצע הוא:$$⟨\overrightarrow{E}⟩={\overrightarrow{E}}_0-\frac{\overrightarrow{P}}{3{ϵ}_0}={\overrightarrow{E}}_0-\frac{\overrightarrow{p}}{3{ϵ}_{0}V}={\overrightarrow{E}}_0-\frac{1}{3{ϵ}_{0}V}\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{C}}\cdot {\overrightarrow{E}}_0$$$$⟨\overrightarrow{E}⟩=(\underset{\_}{\underset{\_}{I}}-\frac{1}{3{ϵ}_{0}V}\underset{\_}{\underset{\_}{C}}){\overrightarrow{E}}_0\Rightarrow {\overrightarrow{E}}_0=(\underset{\_}{\underset{\_}{I}}-\frac{1}{3{ϵ}_{0}V}\underset{\_}{\underset{\_}{C}}{)}^{-1}⟨\overrightarrow{E}⟩$$מכאן, ניזכר בביטוי המקשר בין הפולריזציה לשדה החשמלי:$$\overrightarrow{p}=\underset{\_}{\underset{\_}{C}}\cdot {\overrightarrow{E}}_0\Rightarrow {\overrightarrow{E}}_0={\underset{\_}{\underset{\_}{C}}}^{-1}\cdot \overrightarrow{p}$$נציב במשוואה שמצאנו ל-${\overrightarrow{E}}_0$ ונקבל:$${\underset{\_}{\underset{\_}{C}}}^{-1}\cdot \overrightarrow{p}=(\underset{\_}{\underset{\_}{I}}-\frac{1}{3{ϵ}_{0}V}\underset{\_}{\underset{\_}{C}}{)}^{-1}⟨\overrightarrow{E}⟩$$נחלק בנפח תא היחידה:$${\underset{\_}{\underset{\_}{C}}}^{-1}\cdot \overrightarrow{P}=\frac{1}{V}(\underset{\_}{\underset{\_}{I}}-\frac{1}{3{ϵ}_{0}V}\underset{\_}{\underset{\_}{C}}{)}^{-1}⟨\overrightarrow{E}⟩$$ונקבל ביטוי לפולריזציה הכוללת:$$\overrightarrow{P}=\underset{{ϵ}_0\underset{\_}{\underset{\_}{\chi }},\underset{\_}{\underset{\_}{ϵ}}={ϵ}_0(\underset{\_}{\underset{\_}{I}}+\underset{\_}{\underset{\_}{\chi }})}{\underbrace{\underset{\_}{\underset{\_}{C}}\cdot \frac{1}{V}(\underset{\_}{\underset{\_}{I}}-\frac{1}{3{ϵ}_{0}V}\underset{\_}{\underset{\_}{C}}{)}^{-1}}}⟨\overrightarrow{E}⟩$$

איור 11- שרטוט סכמטי של הפיתרון